二面角的平面角的特征

α、β是由出發(fā)的兩個(gè)半平面,O是l上任意一點(diǎn)，OCα，且OC⊥l；CDβ，且OD⊥l。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。

它有如下列特征：

（1）過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；

（2）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

另外，若在OC上任取上一點(diǎn)A，作AB⊥OD于B,則由特征（2）知AB⊥β.通過l、OA、OB、AB，之間的關(guān)系，便得到另一特征；

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對(duì)其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對(duì)這一點(diǎn)，來談一談平日教學(xué)中體會(huì)。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個(gè)平面,O是ι上任意一點(diǎn),OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

二面角的平面角的特征

α、β是由出發(fā)的兩個(gè)半平面,O是l上任意一點(diǎn)，OCα，且OC⊥l；CDβ，且OD⊥l。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。

它有如下列特征：

（1）過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；

（2）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

另外，若在OC上任取上一點(diǎn)A，作AB⊥OD于B,則由特征（2）知AB⊥β.通過l、OA、OB、AB，之間的關(guān)系，便得到另一特征；

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對(duì)其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對(duì)這一點(diǎn)，來談一談平日教學(xué)中體會(huì)。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個(gè)平面,O是ι上任意一點(diǎn),OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對(duì)其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對(duì)這一點(diǎn)，來談一談平日教學(xué)中體會(huì)。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個(gè)平面,O是ι上任意一點(diǎn),OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對(duì)其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對(duì)這一點(diǎn)，來談一談平日教學(xué)中體會(huì)。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個(gè)平面,O是ι上任意一點(diǎn),OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

一、類比推理在高中數(shù)學(xué)新概念學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

目前，我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種知識(shí)和概念分布相對(duì)分散，然而在開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的整體性和各個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在聯(lián)系．相關(guān)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在聯(lián)系教師可以通過類比推理法來進(jìn)行整理和設(shè)計(jì)后向?qū)W生展示，不斷優(yōu)化學(xué)生的概念網(wǎng)絡(luò)和知識(shí)結(jié)構(gòu)．教師在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)新概念或新知識(shí)的講解時(shí)，可以將新知識(shí)或新概念與之前學(xué)習(xí)的相近或相似的概念進(jìn)行類比，推導(dǎo)出新概念的含義，同時(shí)也可以通過與相似舊概念的類比，讓新概念成為舊概念某些方面的延伸和拓展，不斷拓展和延伸學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)架．相比于單獨(dú)講解數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)概念，類比推理在高中數(shù)學(xué)新概念學(xué)習(xí)中的應(yīng)用能夠加深學(xué)生對(duì)新概念或新知識(shí)的掌握和記憶，通過復(fù)習(xí)舊知識(shí)或舊概念，對(duì)舊概念和舊知識(shí)的定義、推理、運(yùn)用進(jìn)行系統(tǒng)的回憶，然后在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生去探索新概念和新知識(shí)，這樣能夠降低學(xué)生對(duì)新知識(shí)或新概念的記憶難度，避免與舊知識(shí)或舊概念出現(xiàn)混淆．筆者在講解高中二面角相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，通過“角”的概念來進(jìn)行二面角概念的類比推理，從而幫助學(xué)生理解和掌握二面角概念．從一點(diǎn)所發(fā)出的兩條射線組成的圖形是角，同理，從一條直線發(fā)出兩個(gè)半平面所組成的圖形是二面角;其中角是由射線———點(diǎn)———射線構(gòu)成，同理，二面角是由半平面———直線———半平面構(gòu)成．角和二面角的定義、構(gòu)成以及結(jié)構(gòu)圖形之間非常類似，教師可以將角和二面角的概念進(jìn)行類比推理，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想角和二面角之間的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生更好地理解二面角的概念．

二、類比推理在高中數(shù)學(xué)知識(shí)整合中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)概念或知識(shí)進(jìn)行整合時(shí)，類比推理能夠有效對(duì)相關(guān)概念和知識(shí)進(jìn)行歸納和分類．如筆者在講解向量相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，為了幫助學(xué)生對(duì)共線向量、平面向量以及空間向量相關(guān)知識(shí)的理解和掌握，尤其是這三個(gè)向量定理關(guān)系的區(qū)分，避免學(xué)生在學(xué)習(xí)這三種向量時(shí)產(chǎn)生混亂，采用了類比推理法．在進(jìn)行類比推理時(shí)，讓學(xué)生先理解和掌握共線向量的定理和共線向量的相關(guān)運(yùn)算，再將共線向量的相關(guān)知識(shí)推廣到平面向量中，在學(xué)生理解和掌握相關(guān)平面向量的定量以及計(jì)算后，進(jìn)一步推廣到空間向量上．類比推理在高中數(shù)學(xué)知識(shí)整合中的應(yīng)用，能夠讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性和和諧性，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的思想模式，不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，不斷提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果．又如筆者在整合等比數(shù)列和等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)時(shí)，由于等差數(shù)列和等比數(shù)列在某些方面有著相似的性質(zhì)，在進(jìn)行等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)的整合時(shí)，可以采用類比推理法進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用此種方法進(jìn)行推理、計(jì)算，加強(qiáng)這種方法的運(yùn)用，從而使得學(xué)生的數(shù)列相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)更加完整和有條理，提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率．

三、類比推理在高中數(shù)學(xué)提出和解決問題中的應(yīng)用

人們的學(xué)習(xí)和相關(guān)思維過程都源自于對(duì)問題的提問，通過對(duì)問題的提問，從而激發(fā)人們進(jìn)行思考和求知，最終解決問題，并獲得知識(shí)．學(xué)生提出問題的價(jià)值能夠有效衡量學(xué)生思維能力．類比推理在高中數(shù)學(xué)提出和解決問題中的應(yīng)用能夠有效幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題和進(jìn)行問題的猜想以及探索，進(jìn)而有效解決問題．同時(shí)，類比推理在高中數(shù)學(xué)提出和解決問題中的應(yīng)用，能夠有效鍛煉學(xué)生思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生從“學(xué)會(huì)新知識(shí)”朝著“會(huì)學(xué)新知識(shí)”方面不斷發(fā)展，不斷提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和研究能力．例如，在課堂上，教師可以通過對(duì)正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三角形三條邊的距離之和是一個(gè)定值進(jìn)行類比推理，使得學(xué)生能得出正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四面體各面的距離之和是一個(gè)定值．

［摘要］面對(duì)數(shù)量繁多的高中數(shù)學(xué)知識(shí)，如何才能快速準(zhǔn)確地將其掌握呢？發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用知識(shí)內(nèi)容間的規(guī)律是必不可少的。在高中數(shù)學(xué)的眾多學(xué)習(xí)方法當(dāng)中，類比法不得不提。

［關(guān)鍵詞］高中數(shù)學(xué);類比法

既然數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)持續(xù)發(fā)展的過程，那么，在這之中所出現(xiàn)的內(nèi)容，必然會(huì)存在著相似之處。抓住這些相似之處，并將之作為探索新知的線索，就是適用類比法開展學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

一、類比相對(duì)內(nèi)容，打造高效課堂

將知識(shí)進(jìn)行類比的一個(gè)重要切入點(diǎn)就是知識(shí)的相對(duì)性。在高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域，很多知識(shí)內(nèi)容都是以相對(duì)的形式出現(xiàn)的，從知識(shí)結(jié)構(gòu)到內(nèi)容特點(diǎn)，都像是對(duì)稱的一般。如果能夠把握住這個(gè)規(guī)律，學(xué)生們便可以通過喚醒一個(gè)知識(shí)點(diǎn)而很自然地聯(lián)想到另一個(gè)，讓學(xué)習(xí)效率大增。例如：在對(duì)二面角的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，我發(fā)現(xiàn)，在其基本概念當(dāng)中，存在著很多和平面角相對(duì)應(yīng)的地方，于是借此展開類比，實(shí)現(xiàn)了很好的二面角教學(xué)效果。我從圖形、定義、構(gòu)成和表示法這四個(gè)角度分別進(jìn)行類比：第一，從圖形角度來看，二者的形態(tài)表示自然是不同的；第二，從定義的角度來看，平面角是指從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線（半直線）所組成的圖形；二面角則是指從空間一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形；第三，從構(gòu)成的角度來看，平面角是由射線（半直線）——點(diǎn)（頂點(diǎn)）——射線構(gòu)成的，二面角則是由半平面——線（棱）——半平面構(gòu)成的；第四，從表示法的角度來看，平面角可以表示為∠AOB，而二面角則可以表示為α-a-β。通過對(duì)相對(duì)內(nèi)容進(jìn)行類比，學(xué)生們?cè)邳c(diǎn)與線、線與面、平面與空間的移轉(zhuǎn)中全面掌握了二面角的概念，教學(xué)效果很好。將相對(duì)內(nèi)容進(jìn)行類比，為相似的數(shù)學(xué)知識(shí)之間搭建起了一座聯(lián)系的橋梁。學(xué)生們只要掌握了其中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，便可以很順利地觸發(fā)到與之相關(guān)的內(nèi)容，大大減輕了每一次重新認(rèn)知知識(shí)的精力負(fù)擔(dān)，讓新知的接受過程簡(jiǎn)單高效。

二、類比新舊內(nèi)容，打造高效課堂

一、教材應(yīng)當(dāng)適度提高對(duì)綜合推理的訓(xùn)練

二面角作為空間中最重要的角之一，我們認(rèn)為不管是哪一種教材體系，都應(yīng)當(dāng)把它列為重要的研究對(duì)象。而教材對(duì)二面角的處理僅僅設(shè)置了1課時(shí)，給師生以一帶而過的感覺。特別是對(duì)二面角平面角的作法，絕大多數(shù)學(xué)生在一節(jié)課的時(shí)間內(nèi)難以掌握，所以當(dāng)學(xué)生都無法找到計(jì)算對(duì)象時(shí)，就更談不上去求解它了。另外，該部分內(nèi)容又不容易自然地納入向量方法體系之中。因此，建議增加關(guān)于二面角的例題。一方面，把二面角的求解與向量方法結(jié)合起來；另一方面，借此適當(dāng)?shù)靥岣呔C合推理的訓(xùn)練。因?yàn)榭臻g中的角度(也包括距離)是立體幾何中重要的度量問題，這些問題的解決又一定程度依賴于綜合推理。正如課程標(biāo)準(zhǔn)中要求所說：“把幾何推理與代數(shù)運(yùn)算推理有機(jī)地結(jié)合起來，為學(xué)生的思維活動(dòng)開發(fā)了更加廣闊的空間，在教學(xué)中要緊緊把握這個(gè)大方向，不能有所偏廢?！?/p>

二、用向量方法研究平行關(guān)系的問題相對(duì)較少

教材中利用向量方法研究垂直關(guān)系的例題、練習(xí)及習(xí)題比比皆是，但利用向量方法研究平行關(guān)系的例題卻為數(shù)不多。且不能很好地體現(xiàn)向量方法的優(yōu)越性。

例如教材第30頁例3，課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生首先想到的不是用向量方法，反而更容易想到的是用相似三角形這一較為熟知的知識(shí)點(diǎn)去推證四邊形EFGH與，平行四邊形ABCD的各邊對(duì)應(yīng)平行，并且簡(jiǎn)潔易行。類似這樣的題目還有第41頁例5(該題用反證法也很容易證明)，第79頁參考例題2(該題用三角形中位線及等腰三角形底邊上的中線也是高線的知識(shí)也很容易解決)，限于篇幅，不再一一贅述。總之，這些題口給我們的感覺只是為了介紹向量方法，但卻不能顯示出向量方法的優(yōu)越性。另外，在練習(xí)和習(xí)題中再很難找到用向量方法來研究平行關(guān)系的題目了。筆者建議，教材要讓所選例題更具有典型性和代表性，并且在練習(xí)和習(xí)題中編擬一些利用向量方法研究，平行關(guān)系(包括線線，平行、線面平行、面面平行）的題目，來充分顯示用向量方法解決立體幾何問題的優(yōu)越性。

三、教材的知識(shí)體系需要進(jìn)一步條理和完整

[摘要]將現(xiàn)代教育技術(shù)應(yīng)用于中小學(xué)教學(xué)，已成為教育發(fā)展的必然趨勢(shì)，更是推進(jìn)素質(zhì)教育的突破口。現(xiàn)代教育技術(shù)使數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程與結(jié)果的教育得到更好的結(jié)合，使數(shù)學(xué)興趣、情感與數(shù)學(xué)的理性思維教育得到有機(jī)的融合，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)改革的實(shí)施提供了有利的技術(shù)保障。本文筆者通過自己的實(shí)踐與思考，從教學(xué)內(nèi)容、教師的教、學(xué)生的學(xué)三方面就如何運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)整合做了初步研究，并對(duì)存在的問題及對(duì)策進(jìn)行了探討。

[關(guān)鍵詞]現(xiàn)代教育技術(shù)整合情境促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)

1.引言

當(dāng)我們步入21世紀(jì)時(shí)，以計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)為核心的現(xiàn)代技術(shù)的不斷發(fā)展，正在越來越深刻的改變著我們的生活、工作和學(xué)習(xí)方式；同時(shí)以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論和認(rèn)知主義學(xué)習(xí)理論為代表的現(xiàn)代教育理論的蓬勃發(fā)展和廣泛傳播，以及新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，使我國基礎(chǔ)教育特別是高中教育面臨著難得的發(fā)展機(jī)遇，也面臨著嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。如何運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，提高教育教學(xué)質(zhì)量，就成了我們探討和研究的一個(gè)重要課題。

簡(jiǎn)單的說，現(xiàn)代教育技術(shù)主要指現(xiàn)代教育媒體和現(xiàn)代教育理論在教育中的運(yùn)用。李克東教授根據(jù)我國國情，結(jié)合美國教育技術(shù)學(xué)會(huì)（AECT）的1994年新定義，給出了更為全面的說明，即：“現(xiàn)代教育技術(shù)是指運(yùn)用現(xiàn)代教育理論和現(xiàn)代信息技術(shù)，通過對(duì)教與學(xué)過程和教與學(xué)資源的設(shè)計(jì)、開發(fā)、評(píng)價(jià)和管理，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)最優(yōu)化的理論和實(shí)踐?！北疚墓P者結(jié)合自己的實(shí)踐與思考，就如何運(yùn)用以現(xiàn)代信息技術(shù)為依托，以現(xiàn)代教育與心理學(xué)的理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代教育技術(shù)來優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)，做了一些初步的研究。

2．實(shí)踐與思考