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關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)文化 微積分 價(jià)值研究

高等數(shù)學(xué)在教學(xué)中多圍繞數(shù)學(xué)知識(shí)及了理想，通過(guò)宏觀知識(shí)和數(shù)學(xué)命題來(lái)探討其應(yīng)用。隨著數(shù)學(xué)文化價(jià)值的不斷研究，從關(guān)注數(shù)學(xué)教育到重視數(shù)學(xué)文化，已經(jīng)從傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)定理、公式等方法上，逐步形成數(shù)學(xué)技術(shù)教育的雙重功能。從整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的結(jié)構(gòu)來(lái)看，微積分的思想和方法是人類智慧的偉大成就之一。微積分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是打開(kāi)數(shù)學(xué)之門的鑰匙。學(xué)者科朗提出“微積分作為人類思維的重要內(nèi)容，是聯(lián)系自然科學(xué)與人文科學(xué)的橋梁”。因此，加大對(duì)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的挖掘，從其教育實(shí)踐中來(lái)引導(dǎo)學(xué)生體味數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并通過(guò)具體的教學(xué)課程來(lái)進(jìn)行文化滲透。

一、微積分中的數(shù)學(xué)文化及價(jià)值

從高等數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)看，微積分占據(jù)重要位置，尤其是微積分思想和方法在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用更為廣泛。作為人類思維藝術(shù)之一，微積分中的文化價(jià)值熠熠生輝。從微積分學(xué)科起源來(lái)看，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德從《圓的測(cè)量》與《論球與圓柱》中就提到微分和積分思想，我國(guó)古代史料中的《莊子》?天下篇中也有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，劉徽的《割圓術(shù)》，也提出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入，基于微積分理論的應(yīng)用日益凸顯其價(jià)值，特別是在研究天文學(xué)、物理學(xué)中更成為科學(xué)界的重要理論。然而，對(duì)于微積分知識(shí)的教學(xué)，由于其理論證明和公式推導(dǎo)的復(fù)雜性，在邏輯上難以理解，如“無(wú)窮小量”與“是否為零”等認(rèn)識(shí)上的模糊性，因此需要從數(shù)學(xué)教育的價(jià)值實(shí)踐中來(lái)突出。

高等數(shù)學(xué)中的微積分教學(xué)，不僅需要從知識(shí)和方法的學(xué)習(xí)上，幫助學(xué)生理解和掌握微積分，更重要的是，利用微積分思想中的辯證法，可以促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力、運(yùn)算能力和創(chuàng)新能力的養(yǎng)成。一是微積分有助于提升學(xué)生的創(chuàng)造力。從微積分的理性精神和理性思維中，將自然界的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)與變化作為數(shù)學(xué)知識(shí)描述的宏觀世界，并利用微積分來(lái)解釋運(yùn)動(dòng)的變化和無(wú)限的思想。另外，微積分從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的應(yīng)用中，將人的思維方式作為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新力的指導(dǎo)，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。二是微積分從數(shù)學(xué)美育價(jià)值中促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。數(shù)學(xué)不僅是數(shù)學(xué)符號(hào)的表述，在數(shù)學(xué)美育價(jià)值中，正確的認(rèn)知數(shù)學(xué)美，將有助于從微積分中來(lái)探討數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性、對(duì)稱性、和諧性、精巧性。利用微積分來(lái)養(yǎng)成學(xué)生的數(shù)學(xué)態(tài)度，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生從欣賞數(shù)學(xué)美中來(lái)優(yōu)化審美能力，促進(jìn)學(xué)生品德和智能的發(fā)展。三是微積分有助于學(xué)生掌握現(xiàn)代工程技術(shù)等知識(shí)。從微積分的應(yīng)用實(shí)踐來(lái)看，對(duì)于物理學(xué)、電學(xué)等自然科學(xué)，利用函數(shù)、微分方程、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方法，將有助于學(xué)生從中來(lái)認(rèn)識(shí)新的科研知識(shí)，掌握微積分工具，來(lái)更好的學(xué)習(xí)其他相關(guān)學(xué)科知識(shí)。

二、在微積分教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)文化是建構(gòu)數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，也是人類理性思維的重要內(nèi)容。在微積分教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)及教學(xué)目標(biāo)，不斷延伸數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)文化，從中來(lái)幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。如對(duì)于函數(shù)中康托的生平、集合論等數(shù)學(xué)悖論的引入，介紹數(shù)學(xué)危機(jī)中的發(fā)展過(guò)程，從微分、導(dǎo)數(shù)教學(xué)中來(lái)探討導(dǎo)數(shù)符合的演變等等。從中來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)價(jià)值的理解。如對(duì)于π的研究，從π的相關(guān)文獻(xiàn)梳理中，來(lái)介紹人們從π的精確值追求中來(lái)發(fā)掘智力的意義。π又稱為“徽率”、“衡率”、“阿基米德數(shù)”等，這些不同名稱背后的故事，開(kāi)啟了對(duì)π的理論探究。同時(shí)，在微積分中所展示的嚴(yán)密的邏輯性和抽象性，有助于學(xué)生從“思維的體操”中增強(qiáng)抽象能力，喚醒學(xué)生的好奇心。如在數(shù)學(xué)中的邏輯美，我們從數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)中，從符號(hào)的簡(jiǎn)潔性中來(lái)進(jìn)行形象直觀的數(shù)學(xué)表示。對(duì)于某一曲邊梯形，在計(jì)算器面積時(shí)就需要用積分符號(hào) 。另外，在數(shù)學(xué)的對(duì)稱性研究中，微積分將數(shù)與形的對(duì)稱性進(jìn)行了詮釋，更是對(duì)抽象概念及方法的直觀應(yīng)用。如在微積分的實(shí)例證明中，對(duì)于對(duì)稱性的利用，可以減少繁復(fù)的計(jì)算。對(duì)于分部積分中的 ，可以進(jìn)行變形得到 ；對(duì)于某一對(duì)稱區(qū)間[a，b]上的積分，如果

，當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，則 ；當(dāng)f（x）為偶函數(shù)時(shí)，則 。對(duì)于微積分中的和諧性研究，從其公式中即可體現(xiàn)。微分在局部性質(zhì)與積分的整體性質(zhì)中獲得統(tǒng)一。積分的運(yùn)算過(guò)程是微分的逆運(yùn)算，我們可以從基本導(dǎo)數(shù)的計(jì)算中獲得基本積分公式；當(dāng)次微分與積分進(jìn)行成對(duì)出現(xiàn)時(shí)，微分與積分公式顯示出對(duì)稱性。如微分中的中值定理與積分中的中值定理，也是微積分和諧美的重要內(nèi)容。另外，對(duì)于拉格朗日中值定理的特殊性，以及柯西中值定理，再加上泰勒定理想高階導(dǎo)數(shù)的推廣等，都是微分中值定理的不同形式，這些公式都能夠從其內(nèi)在聯(lián)系中幫助學(xué)生從中感受數(shù)學(xué)美。

三、在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐研究

抽象性思維是數(shù)學(xué)的靈魂，對(duì)于高等數(shù)學(xué)中的符號(hào)化、抽象化問(wèn)題，可以從數(shù)學(xué)文化的滲透中來(lái)構(gòu)建模型，引導(dǎo)學(xué)生從中認(rèn)識(shí)、判斷和推導(dǎo)、計(jì)算。如在歐幾里德《幾何原本》中，對(duì)于數(shù)學(xué)中概念及命題是建立數(shù)學(xué)邏輯推理的基礎(chǔ)，這些思想和方法更是多門學(xué)科知識(shí)廣泛采用的方法。如形象思維是激發(fā)人的創(chuàng)造力的有力工具，數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)代數(shù)與幾何圖形的對(duì)應(yīng)中，為我們的想象力創(chuàng)造了條件，也為更深刻的理解高等數(shù)學(xué)概念提供了基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)中的猜測(cè)與想象，將直覺(jué)思維運(yùn)用到數(shù)學(xué)哲學(xué)中，以復(fù)雜的數(shù)學(xué)想象和抽象的邏輯，在直覺(jué)中將數(shù)學(xué)敏銳的洞察力作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從中完善自我認(rèn)知。可見(jiàn)，在高職階段數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透數(shù)學(xué)教育觀首先要更新教育理念，從教育的特殊性上來(lái)全面審視數(shù)學(xué)教學(xué)，并非從單純的數(shù)學(xué)演練中來(lái)訓(xùn)練，更多的是通過(guò)數(shù)學(xué)文化的邏輯思想和方法，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)中發(fā)現(xiàn)和欣賞美。再次，借助于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，從體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值中整合首先內(nèi)涵，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，提升數(shù)學(xué)文化素質(zhì)。其次，拓寬數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中的師生互動(dòng)，注重發(fā)揮師生之間、學(xué)生之間的交流與協(xié)作，能夠從倡導(dǎo)探究中來(lái)鼓勵(lì)學(xué)生觀察生活，聯(lián)系實(shí)踐，從問(wèn)題情境中來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，展開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)。最后，注重課堂教學(xué)評(píng)價(jià)創(chuàng)新，特別是在體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化中，要依托現(xiàn)有的評(píng)價(jià)方式，加大對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法、數(shù)學(xué)精神的主動(dòng)考察，讓學(xué)生從探討交流中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從良好的情感、態(tài)度、價(jià)值觀上來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念，掌握多種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及評(píng)價(jià)方法，充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，改進(jìn)和提升學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1] 曾艷妮.微積分教學(xué)中如何融入數(shù)學(xué)文化[J]. 湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)（人文社會(huì)科學(xué)版）. 2014（12）.

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【關(guān)鍵詞】 微積分；MM教學(xué)模式；數(shù)學(xué)認(rèn)知

21世紀(jì)以來(lái)，世界各國(guó)將微積分引入職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程. 然而微積分的教學(xué)卻面臨極大挑戰(zhàn). 首先，高等數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的沖突. 其次，教師教學(xué)方式與內(nèi)部動(dòng)機(jī)的對(duì)立. 再有，強(qiáng)調(diào)重中之重與學(xué)無(wú)所用的矛盾. 高職微積分教育的最高目標(biāo)是：以知識(shí)為載體，提煉“極限”中的返璞歸真思想，感受導(dǎo)數(shù)的演繹推理觀點(diǎn)，掌握積分計(jì)算的一般計(jì)算方法等，并運(yùn)用這些思想、觀點(diǎn)、方法去分析、探究、解決今后學(xué)習(xí)工作上的難題. 而此最高目標(biāo)的達(dá)成需要改變教育方式，實(shí)踐證明，MM教育方式是適合微積分教學(xué)的目標(biāo)達(dá)成度最高的方式.

一、選擇MM數(shù)學(xué)教育方式的必然性

（一）MM教育方式掠影

MM教育方式，即數(shù)學(xué)方法論的教育方式，取“Mathematical

methodology education pattern”前兩個(gè)詞頭，是波利亞方法論在中國(guó)數(shù)學(xué)的實(shí)踐運(yùn)用，是由無(wú)錫市教科所的徐瀝泉同志在1989年提出并付諸實(shí)踐. 該方式的理論精髓：運(yùn)用數(shù)學(xué)方法論的觀點(diǎn)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，即應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法、數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和創(chuàng)新機(jī)制設(shè)計(jì)和改革數(shù)學(xué)教學(xué)的一種數(shù)學(xué)教學(xué)方式.[4]使用MM方式在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程中遵循“2238”原則，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的2個(gè)功能：科學(xué)技術(shù)功能和文化教育功能；自覺(jué)遵循2條原則：教學(xué)、研究、發(fā)現(xiàn)同步協(xié)調(diào)原則和既教證明又教猜想原則；瞄準(zhǔn)3項(xiàng)具體目標(biāo)：一般科學(xué)素養(yǎng)、社會(huì)文化素養(yǎng)、數(shù)學(xué)品質(zhì)；恰當(dāng)操作8個(gè)變量：返璞歸真教育、數(shù)學(xué)美育、發(fā)現(xiàn)法教育、數(shù)學(xué)家優(yōu)秀品質(zhì)教育、數(shù)學(xué)史志教育、演繹推理教育、合情推理教育、一般解題方法教育. 從而全面提高學(xué)生素質(zhì).

（二）大浪淘沙始見(jiàn)金――MM教育方式能實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)

20世紀(jì)80年代至今，各種數(shù)學(xué)教育理論、教改方案、教學(xué)方法層出不窮，有“探究性學(xué)習(xí)”理論、“情境設(shè)置”方案、“活動(dòng)課”教學(xué)方法等，然而探究無(wú)度、情境無(wú)限、活動(dòng)無(wú)目的造成很多方法的片面使用. 因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的復(fù)雜性、相關(guān)度等的不同，教條主義已不適用，需要使用組合拳. 而MM教育方式正是幾十年來(lái)碩果僅存的數(shù)學(xué)教育方式，它不光存活，還在發(fā)展.

（三）MM教育方式對(duì)微積分教學(xué)的積極意義

對(duì)高職校的學(xué)生而言，微積分理論高深，符號(hào)語(yǔ)言抽象，解題方法多樣. 然而徐瀝泉認(rèn)為：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難，并不是它本身的抽象形式，而是離開(kāi)了它抽象的背景，離開(kāi)了用似真推理來(lái)發(fā)現(xiàn)它的過(guò)程，離開(kāi)了在受到挫折以后對(duì)反饋信息的分析，離開(kāi)了生動(dòng)活潑的創(chuàng)造發(fā)明的活動(dòng)機(jī)制. ”[4]那么要問(wèn)：這些背景、過(guò)程、分析、發(fā)明從哪里來(lái)？答案就是MM教育方式. 解決微積分教學(xué)的困難不是把難講的證明刪去，把抽象度高的理論忽略，把考試難度降低，如果這樣，只會(huì)縱容學(xué)生的好逸惡勞、偷工減料和知難而退的心理，造成學(xué)生素質(zhì)的下降. 教師需要MM設(shè)計(jì)，把數(shù)學(xué)的精彩內(nèi)容和完美形式呈現(xiàn)；除了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)之外，教給學(xué)生從“宏觀”到“微觀”的思想，讓學(xué)生感受微積分的神奇，解決初等數(shù)學(xué)沒(méi)有辦法解決的問(wèn)題，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)微積分的自豪感.

二、微積分教學(xué)中“MM設(shè)計(jì)”原則

（一）情境引入恰當(dāng)原則

由于微積分基礎(chǔ)對(duì)象復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，教學(xué)中需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)相應(yīng)的情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入主題學(xué)習(xí)，然而只有恰當(dāng)?shù)那榫巢拍芗ぐl(fā)學(xué)生的求知欲. 教師要根據(jù)微積分教學(xué)內(nèi)容和要求，考慮學(xué)生的認(rèn)知，創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)氛圍，運(yùn)用適合學(xué)生理解的情境，最終促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的遷移.

（二）符號(hào)講解詳盡原則

符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，是數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔抽象特點(diǎn)的重要因素. 只有在設(shè)計(jì)中對(duì)符號(hào)的講解細(xì)致深入，配以學(xué)生的書寫練習(xí)，才能真正對(duì)微積分符號(hào)達(dá)到了然于胸的程度. 極限符號(hào)“■”的講解不光要注重與英文單詞“l(fā)imit”的聯(lián)系，更要關(guān)注字母的書寫. 可以用英文三線格給出正確的示范，讓學(xué)生感受字母相應(yīng)的位置和大小狀況. 不定積分符號(hào)“ ∫”可從它的發(fā)明者萊布尼茨講起，發(fā)現(xiàn)其是由英文單詞“sum”的首字母“s”拉長(zhǎng)得到，這樣不光對(duì)學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)史志教育，更感受了積分的內(nèi)涵是求和.

（三）學(xué)生參與廣泛原則

學(xué)生是課堂的主體，然而微積分的教學(xué)容易變成教師的獨(dú)角戲. 在MM教育方式的指引下，為了實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)法教育，需要設(shè)計(jì)出學(xué)生能夠廣泛參與的MM課堂. 布魯納（Bruner，1966）這樣說(shuō)：“我們講授某個(gè)課程并不是為了形成有關(guān)該課程的小型百科全書，而是讓學(xué)生自己去思考……像歷史學(xué)家那樣去考慮問(wèn)題，去參與獲得知識(shí)的過(guò)程. ”雖然微積分概念的講解學(xué)生的參與度極低，然而教師可以通過(guò)層層推進(jìn)的問(wèn)題幫助學(xué)生思考，用啟發(fā)創(chuàng)新的方式讓學(xué)生自己嘗試定義、命名，用黑板演練的形式加強(qiáng)學(xué)生符號(hào)書寫能力，從而提高參與課堂的廣泛度.

三、微積分教學(xué)中MM模式的使用

下面從微積分最重要的三個(gè)部分極限、導(dǎo)數(shù)、積分出發(fā)，探討一下學(xué)生對(duì)這幾部分的理解和認(rèn)知，并給出MM設(shè)計(jì)案例，展現(xiàn)MM模式的效果.

（一）極限思想

極限思想貫穿微積分始終，是學(xué)習(xí)微積分的敲門磚. 柯?tīng)柲幔–ornu）指出：“極限教與學(xué)的困難不僅在于極限概念本身的豐富性和復(fù)雜性，還在于僅憑定義本身并不足以生成理解該概念所需的認(rèn)知要素. ”[2]為了降低難度，課本刪去了“ε - N”精確定義，只有“描述性”定義. 然而如何幫助學(xué)生理解這種思想，需要精心設(shè)計(jì)，合理解讀，適時(shí)思考. 以“數(shù)列極限概念”為例，簡(jiǎn)述MM設(shè)計(jì)過(guò)程：首先介紹牛頓和萊布尼茨發(fā)明了微積分以及它的用途，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)家優(yōu)秀品質(zhì)教育、數(shù)學(xué)史志教育；從“生活中的極限”出發(fā)，讓學(xué)生暢所欲言，展現(xiàn)他們對(duì)“極限”最本真的認(rèn)知，是一種返璞歸真；多媒體演示割圓術(shù)等古代極限思想，讓學(xué)生模糊感受數(shù)學(xué)當(dāng)中極限這個(gè)詞的意義，初步對(duì)比與自己所想“極限”的異同；學(xué)生討論得出前面給出例子中最重要的信息：一個(gè)量變化，另一個(gè)量的變化趨勢(shì)，數(shù)學(xué)中“極限”是一個(gè)過(guò)程，這遵循了教學(xué)、研究、發(fā)現(xiàn)同步協(xié)調(diào)原則；使用數(shù)軸法讓學(xué)生觀察當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)數(shù)列an的變化趨勢(shì)，用發(fā)現(xiàn)法幫助學(xué)生從不同場(chǎng)景中抽取共性的能力；給出數(shù)列的描述性定義，強(qiáng)調(diào)極限的寫法、讀法和字母大小位置的分配，并提問(wèn)對(duì)“無(wú)限趨近”的理解；師生共議得出無(wú)限趨近是越來(lái)越接近，且接近的過(guò)程不會(huì)停止；通過(guò)考察數(shù)列求極限的例題，讓學(xué)生說(shuō)過(guò)程、寫出極限表示、適度練習(xí). 該節(jié)課學(xué)生積極參與、熱烈討論、認(rèn)真書寫，達(dá)到教學(xué)應(yīng)有的效果.

（二）導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

研究表明，學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算掌握得不錯(cuò)，在于能夠記得公式和運(yùn)算法則. 然而關(guān)于導(dǎo)數(shù)的深層次的理解還相當(dāng)欠缺，舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：為什么（sin x）′ = cos x？答：公式就這么給的. 這也就造成了導(dǎo)數(shù)記公式，應(yīng)用背步驟，考試背題目，毫無(wú)探索、發(fā)現(xiàn)、掌握的樂(lè)趣. 用MM模式設(shè)計(jì)導(dǎo)數(shù)，能夠讓學(xué)生知其然更知其所以然，通過(guò)獲得知識(shí)的努力感受成功的喜悅. 下面就以（sin x）′ = cos x為例給出MM設(shè)計(jì)：首先教師根據(jù)定義證明（sin x）′ = cos x；其次，對(duì)結(jié)論剖析：涉及兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)函數(shù)為f（x） = sin x，另一個(gè)函數(shù)為f（x） = sin x的導(dǎo)（函）數(shù)f′（x） = cos x；再有，從函數(shù)的觀點(diǎn)討論導(dǎo)函數(shù)如何得來(lái)的，每一個(gè)點(diǎn)x0，就有過(guò)x0切線的斜率值即k0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，k0 = f ′（x0），x0與f′（x0）形成一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)成新的函數(shù)y1 = f′（x），我們稱為導(dǎo)（函）數(shù)；最后，選取定義域?yàn)閇0，2π]的函數(shù)圖像（圖1），作出切線斜率變化的趨勢(shì)分析，師生共同完成表格，并觀察表格中的一、三兩行猜想得出結(jié)論：f′（x） = cos x，即（sin x）′ = cos x. 該設(shè)計(jì)既教證明又教猜想，為的是讓學(xué)生感受思維的過(guò)程，體會(huì)結(jié)論得之不易的艱辛，領(lǐng)悟簡(jiǎn)單公式蘊(yùn)藏的深刻聯(lián)系. 經(jīng)過(guò)此番講解，學(xué)生對(duì)求某點(diǎn)切線斜率也就得心應(yīng)手了，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)公式求得的就是導(dǎo)（函）數(shù)，有了導(dǎo)（函）數(shù)就能求得某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，即切線斜率值. 不光如此，在后續(xù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的章節(jié)中學(xué)生也能夠自己分析得出很多重要的結(jié)論.

（三）原函數(shù)概念

積分與微分互為逆運(yùn)算，然而貝里（Berry）和尼曼（Nyman）發(fā)現(xiàn)學(xué)生把積分看成是一系列的運(yùn)算技巧，這也造成了如果不打破常規(guī)，尋求可行的教學(xué)方式，學(xué)生只會(huì)成為照搬結(jié)論、不會(huì)思考的公式的奴隸. 原函數(shù)是積分中一個(gè)重要的概念，下面就從原函數(shù)出發(fā)探討MM設(shè)計(jì)：從最熟悉的公式（x2）′ = 2x與d（x2） = 2xdx出發(fā)，復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分：

從圖示發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)間有關(guān)系，已經(jīng)知道2x稱為x2的導(dǎo)（函）數(shù)，如今也給x2取個(gè)名字，叫2x的原函數(shù)；給出原函數(shù)定義后，師生共同探討原函數(shù)的個(gè)數(shù)；從d（x2） = 2xdx出發(fā)，以小組接龍形式回答d（x2 + 3），d（x2 - 5），d（x2 + 2.5），d（x2 - 7850）的結(jié)果，并說(shuō)出誰(shuí)是誰(shuí)的原函數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的導(dǎo)數(shù)，讓學(xué)生更清楚原函數(shù)的概念；學(xué)生發(fā)現(xiàn)2x的原函數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，并舉出了不同的實(shí)例；進(jìn)一步設(shè)問(wèn)：你能用一個(gè)表達(dá)式表示這無(wú)數(shù)多個(gè)原函數(shù)嗎？學(xué)生思維活躍，x2 + n，x2 - n，x2 ± k，x2 ± C等答案紛紛出爐，最后得出結(jié)論x2 + C（C為常數(shù)）. 有了上述分析，學(xué)生自己很輕松地得出原函數(shù)族定理，獲得極大的成就感，覺(jué)得神圣不可侵犯的定理也可以自己思考得出.

總之，在嘗試“MM教育方式”下，高職數(shù)學(xué)的微積分教學(xué)在不斷地尋求突破、找到捷徑、取得效果. 萬(wàn)里開(kāi)頭難，為了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合提升，需要堅(jiān)持不懈地貫徹MM的“2238”原則，將數(shù)學(xué)應(yīng)有的教育功能完美呈現(xiàn).

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[3]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧：廣西教育出版社，2007.

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一、微積分在處理物理問(wèn)題中的核心思維

與中學(xué)物理相比，大學(xué)物理最大的特點(diǎn)是所研究的物理量由原來(lái)的穩(wěn)恒量和離散量變成了變量和連續(xù)量。利用微積分解決問(wèn)題本質(zhì)上是因?yàn)槲锢硪?guī)律的可加型，如力的疊加原理、電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理、磁感應(yīng)強(qiáng)度等矢量的疊加原理;微積分通過(guò)微分-積分方法實(shí)現(xiàn)了有限向無(wú)限，近似向精確的轉(zhuǎn)化。微積分思想和方法的精髓是：對(duì)物理對(duì)象取微元后，復(fù)雜物理對(duì)象變成簡(jiǎn)單對(duì)象，變量可看成常量，非均勻量可看成均勻量，曲面可看成平面，實(shí)現(xiàn)了變與不變的辯證轉(zhuǎn)換。

二、大學(xué)物理微積分教學(xué)關(guān)注點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)中有大量知識(shí)點(diǎn)和物理問(wèn)題對(duì)應(yīng)，例如：多重積分可以用于求解剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;第二類曲線積分對(duì)應(yīng)物理中的變力做功、靜電場(chǎng)中電勢(shì)的計(jì)算;第二型曲面積分則對(duì)應(yīng)物理中的流量、電通量和磁通量的計(jì)算。但是數(shù)學(xué)是一門高度抽象的科學(xué)，它完全摒棄了具體的現(xiàn)象，具有普適性，而物理研究的是客觀物質(zhì)世界的基本規(guī)律，所以解決物理問(wèn)題的思維方式也并不等同于數(shù)學(xué)，物理學(xué)中的許多微元概念，他們有具體的物理含義，不能簡(jiǎn)單等同于數(shù)學(xué)上的微元。要形成獨(dú)特的用微積分解決物理問(wèn)題的思維。

（一）注重物理圖像，跳出套用公式的思維定式

電通量、磁通量流量等對(duì)應(yīng)高等數(shù)學(xué)中的第二類曲面積分，數(shù)學(xué)中對(duì)這類問(wèn)題通常是已知曲面的函數(shù)，化為重積分計(jì)算，學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)了，會(huì)計(jì)算一定量的積分題目，但是碰到具體的物理問(wèn)題還是覺(jué)得束手無(wú)策，不能達(dá)到融會(huì)貫通。物理中的電通量和磁通量是由通過(guò)與勻強(qiáng)場(chǎng)垂直的平面的通量引入的。并且大學(xué)物理教學(xué)中的問(wèn)題是具有某種對(duì)稱性的，所以從物理意義的角度分析問(wèn)題更快捷，更有普適性。

（二）自覺(jué)用微積分方法分析和解決問(wèn)題

例如，在高斯定理一節(jié)的講解中，有一個(gè)問(wèn)題是求解均勻帶電球面的電場(chǎng)分布，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)“由于電荷分布是球?qū)ΨQ的，電場(chǎng)是由電荷產(chǎn)生的，可判斷出空間的電場(chǎng)分布必然是球?qū)ΨQ的，即與球心O距離相等的球面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向沿半徑呈輻射狀。”這樣的語(yǔ)言并不能使學(xué)生 清楚了解電場(chǎng)為什么是這樣的分布，學(xué)生仍然搞不清楚為什么如此。為解決這個(gè)問(wèn)題，我們以球面外任意一點(diǎn)為例，做過(guò)這個(gè)點(diǎn)的和球心的直線，我們沿垂直于此直線的方向?qū)⑶蛎娣指畛蔁o(wú)數(shù)的小圓環(huán)，我們知道均勻帶點(diǎn)圓環(huán)在軸線上某一點(diǎn)的電場(chǎng)方向是沿軸線的，無(wú)數(shù)小圓環(huán)的電場(chǎng)方向都是沿軸線，所以整個(gè)球面在P點(diǎn)的電場(chǎng)方向就是沿OP軸線方向的，這樣的具體分析使學(xué)生更容易接受，同時(shí)也鍛煉了微積分分析問(wèn)題的思想。

（三）辨明微分的物理意義

物理中有很多物理量，每個(gè)物理量都是為了定量描述某種現(xiàn)象和規(guī)律引入的，每個(gè)物理量都有明確的物理意義大學(xué)物理中的微元分成兩種：通常情況某個(gè)物理量的微分是和微小的時(shí)間段或者微小過(guò)程相關(guān)的，表示的是一個(gè)微小的變化量或微小過(guò)程量例，如：位移微元、速度微元、動(dòng)量增量、元功、微小過(guò)程的吸熱、磁通量的變化量;如果微分形式是在某固定時(shí)刻或狀態(tài)的，則表示的是一個(gè)微小量，例如：計(jì)算電通量及磁通量時(shí)的dS表示的是一個(gè)有方向的面積元;計(jì)算動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)中出現(xiàn)的dl導(dǎo)線的微小一段，都不涉及時(shí)間的改變。

（四）強(qiáng)化注意，形成用微積分解決物理問(wèn)題的思維習(xí)慣

運(yùn)用微積分思想解決物理問(wèn)題的一般步驟是：（1）根據(jù)問(wèn)題的特征將物理對(duì)象或過(guò)程適當(dāng)分解，選取合適的微元;（2）建立合適坐標(biāo)系，計(jì)算微元的待求物理量;（3）確定上下限，并統(tǒng)一變量，積分求解最終結(jié)果。

電流為I的長(zhǎng)直載流導(dǎo)線近旁有一與之共面的導(dǎo)體ab，長(zhǎng)為l.設(shè)導(dǎo)體的a端與長(zhǎng)導(dǎo)線相距為d，ab延長(zhǎng)線與長(zhǎng)導(dǎo)線的夾角為θ，如圖所示.導(dǎo)體ab以勻速度v沿電流方向平移.試求ab上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

第一步：根據(jù)問(wèn)題的特征將物理對(duì)象或過(guò)程適當(dāng)分解，選取合適的微元

分析：這里產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)是由與導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體中的電子受到洛倫茲力而產(chǎn)生，但是，與導(dǎo)線不同距離處，其磁感應(yīng)強(qiáng)度是不同的，為解決問(wèn)題，將復(fù)雜的不能直接處理的問(wèn)題分解為可以處理的問(wèn)題。我們可以將導(dǎo)線分成無(wú)限小的微元dl，因?yàn)閐l非常小，可認(rèn)為dl上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，計(jì)算其電動(dòng)勢(shì)。

第二步：建立合適坐標(biāo)系，計(jì)算微元的待求物理量

v×B的方向根據(jù)右手螺旋判斷為從右指向左，與dl的夾角是+θ，計(jì)算dl上的電動(dòng)勢(shì)：

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作者于2013年9月至2014年1月?lián)瘟私?jīng)管類專業(yè)的微積分教學(xué)工作，總結(jié)了教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的一些問(wèn)題以及提出了相應(yīng)的解決辦法。

第一，有很多學(xué)生在中學(xué)階段的知識(shí)準(zhǔn)備難以快速適應(yīng)微積分學(xué)習(xí)的要求。微積分的核心內(nèi)容是極限，極限定義又是在該門課程中最難理解的內(nèi)容之一。極限定義具體劃分有數(shù)列的定義和函數(shù)的定義。學(xué)生理解該定義的困難在于的任意性以及、的相對(duì)確定性。此時(shí)，教師需要用通俗易懂的語(yǔ)言解釋之，是表示數(shù)列項(xiàng)（或者函數(shù)值）與極限的接近程度，想有多少接近程度都可以，對(duì)于預(yù)先給定的接近程度，數(shù)列從某一項(xiàng)開(kāi)始，所有的項(xiàng)與極限值的距離小于接近程度。對(duì)于函數(shù)極限，對(duì)給定的接近程度，總存在正數(shù)，只要，都有。此外，一個(gè)難點(diǎn)就是，基于直角坐標(biāo)系來(lái)計(jì)算二重積分的問(wèn)題。這方面，需要給學(xué)生講解兩種類型的區(qū)域：-型區(qū)域和-型區(qū)域。積分區(qū)域D稱為-型區(qū)域，如果≤≤ ≤≤，反之，積分區(qū)域D稱為-型區(qū)域，如果≤≤≤≤，還有一種積分區(qū)域是混合型的，就是通過(guò)分割后，得到若個(gè)-型區(qū)域和-型區(qū)域的并。

第二，學(xué)生作業(yè)抄襲的現(xiàn)象較嚴(yán)重?；ヂ?lián)網(wǎng)是把雙刃劍，在給我們工作、學(xué)習(xí)、生活帶來(lái)諸多便捷的同時(shí)，也對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié)尤其是課后作業(yè)完成質(zhì)量提出了挑戰(zhàn)?？梢赃@么說(shuō)，只要教材上出現(xiàn)的習(xí)題，都能在網(wǎng)上找到解題過(guò)程。這給部分學(xué)生作業(yè)抄襲提供了一個(gè)誘因。解決該問(wèn)題的一個(gè)行之有效方法，布置的作業(yè)不在教材課后習(xí)題上，也不參考習(xí)題冊(cè)。而是由教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，自適應(yīng)地布置題目。該方法有兩個(gè)明顯的益處：首先，學(xué)生找不到參考答案，只能獨(dú)立完成作業(yè)。其次，所布置的作業(yè)具有較強(qiáng)針對(duì)性。另外，也需要轉(zhuǎn)變作業(yè)的批改方式。一些簡(jiǎn)單的作業(yè)，可以隨堂完成。為了進(jìn)一步防堵學(xué)生之間的相互抄襲，課后作業(yè)，可先由課代表、班長(zhǎng)等先查閱是否存在抄襲現(xiàn)象，這方面需要做好記錄以便給出期末總評(píng)成績(jī)部分的平時(shí)成績(jī)。

第三，提高學(xué)生積極性。由于數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，造成許多學(xué)生感覺(jué)十分枯燥。數(shù)學(xué)本身是來(lái)自于生產(chǎn)實(shí)踐，學(xué)生之所以感覺(jué)到枯燥，主要是體會(huì)不到數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用。為了解決這個(gè)問(wèn)題，作者經(jīng)常要求學(xué)生用Matlab編程實(shí)現(xiàn)微積分的一些定理結(jié)論、定義等。例如：積分的定義分四大塊思想：分割、近似、求和以及求極限。以上四大思想的要掌握的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（1） 對(duì)區(qū)間的分割時(shí)任意的，也就是說(shuō)，不管是等距離加分點(diǎn)還是隨機(jī)加分點(diǎn)，只要使得區(qū)間被分得越來(lái)細(xì)，當(dāng)然，其中一個(gè)問(wèn)題是，如何刻畫區(qū)間被細(xì)分的程度。（2）近似的方法也可以多種多樣，只要是每個(gè)小曲邊梯形的面積用一個(gè)小矩形代替即可。作者要求學(xué)生編程求函數(shù)的積分，對(duì)不同的區(qū)間分割方法和面積近似方法，當(dāng)區(qū)間被充分細(xì)分時(shí)候，得到的求和值漸進(jìn)相等。平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算以及最大利潤(rùn)問(wèn)題也是微積分中理論與實(shí)際的很好結(jié)合點(diǎn)。作者在針對(duì)經(jīng)管類的特點(diǎn)，尤其注重最大利潤(rùn)問(wèn)題，該問(wèn)題設(shè)計(jì)到的知識(shí)點(diǎn)有：需求與供給函數(shù)，成本、收益與利潤(rùn)函數(shù)，庫(kù)存函數(shù)，區(qū)間上函數(shù)的最值求解等。

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【關(guān)鍵詞】教育要求；微積分教學(xué)；最大限度；興趣

隨著社會(huì)的發(fā)展和科學(xué)的進(jìn)步，學(xué)習(xí)不單單是教師機(jī)械地講解書本知識(shí)，學(xué)生被動(dòng)接受的過(guò)程，更多的是學(xué)生了解所學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)意義，主動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程.只有學(xué)生積極主動(dòng)地參與，才能更加透徹地理解所學(xué)知識(shí)，從而更進(jìn)一步與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，將知識(shí)付諸實(shí)踐.以微積分的教學(xué)為例，為了能使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，應(yīng)在以下幾個(gè)方面做好準(zhǔn)備.

一、發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，安排學(xué)生做好課前預(yù)習(xí)

學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，可以課前給學(xué)生布置兩道思考題：變速直線運(yùn)動(dòng)的速度和距離兩者之間如何已知其一求另一個(gè)？曲邊梯形的面積如何計(jì)算？讓他們對(duì)將要學(xué)習(xí)的知識(shí)有一定的認(rèn)識(shí).也可以讓其通過(guò)網(wǎng)絡(luò)或書籍了解趙州橋的形狀及其構(gòu)成，為定積分求面積做準(zhǔn)備.有了一定的了解之后微積分的學(xué)習(xí)就會(huì)比較自然并且學(xué)生也容易接受.

二、在微積分教學(xué)中滲入數(shù)學(xué)文化

有時(shí)單純講解數(shù)學(xué)概念及習(xí)題是比較枯燥的，其實(shí)數(shù)學(xué)中的許多概念并不是憑空捏造出來(lái)的，而是經(jīng)過(guò)歷史的沉淀，一代代數(shù)學(xué)家不斷的潛心研究發(fā)展而來(lái)的，若能將這部分背景按照講故事的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，講解生動(dòng)形象，那么學(xué)生也會(huì)喜歡聽(tīng).但由于課上時(shí)間的限制，并不能對(duì)這部分背景進(jìn)行系統(tǒng)詳盡的介紹，而是要根據(jù)所講內(nèi)容選取主要事件進(jìn)行講解.

在微積分教學(xué)中對(duì)其思想萌芽的講解是必不可少的，兩千多年前的古希臘時(shí)期，地中海沿岸的奴隸們認(rèn)識(shí)到搬運(yùn)重東西時(shí)利用滾動(dòng)要比滑動(dòng)省力，于是廣泛應(yīng)用裝有滑輪和圓軸的車子來(lái)運(yùn)輸東西.而要精密地制造這些工件，就需要對(duì)圓形有精確的認(rèn)識(shí)，在深入研究的過(guò)程中，出現(xiàn)了“無(wú)限細(xì)分，無(wú)限求和”的微積分思想的萌芽.我國(guó)古代也早就有了微積分思想的萌芽，西漢劉歆的“記里車”，東漢張衡的“渾天儀”，蜀漢諸葛亮的“木牛流馬”，都要設(shè)計(jì)制造圓形的物件，魏晉時(shí)期劉徽提出的“割圓術(shù)”就使問(wèn)題得到了解決，他用正多邊形的面積來(lái)逼近圓的面積，“割之彌細(xì)，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，包含了“無(wú)限細(xì)分，無(wú)限求和”的微積分思想方法.又如：隋代建造的趙州橋，是微積分“以直代曲”思想的生動(dòng)原形，它是用一條條長(zhǎng)方形條石砌成的，一段段直的條石卻砌成了一整條弧形曲線的拱圈.

但當(dāng)時(shí)由于生產(chǎn)實(shí)踐水平的限制，并沒(méi)有形成完整的微積分理論.直到16世紀(jì)前后，社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐進(jìn)入了一個(gè)新時(shí)期，開(kāi)普勒總結(jié)出行星運(yùn)動(dòng)三大定律，伽利略發(fā)現(xiàn)了自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，笛卡爾及費(fèi)馬提出了變數(shù)的概念.在這種背景下，微分和積分就成為必要的了，于是也就產(chǎn)生了.

那么微積分是解決什么問(wèn)題的呢？其中最重要和比較典型的要屬速度和距離以及曲線的切線和曲線下面的面積這兩類問(wèn)題.中學(xué)及之前我們學(xué)過(guò)了勻速直線運(yùn)動(dòng)路程及速度的計(jì)算，那么當(dāng)物體做變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)又是什么樣的呢？我們也會(huì)計(jì)算三角形、矩形、梯形的面積，但如何計(jì)算曲邊三角形、曲邊梯形的面積呢？正是為了解決這兩類問(wèn)題，才導(dǎo)致了牛頓和萊布尼茨兩人各自獨(dú)立創(chuàng)立了微積分.

實(shí)際上對(duì)于曲邊三角形來(lái)說(shuō)，古代的“割圓術(shù)”和古代勞動(dòng)人民用一塊塊石頭砌成的拱橋的橋洞給了我們啟示，整體看是曲的東西，在局部卻可以“以直代曲”.

牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分由于時(shí)代的限制有些觀點(diǎn)并不嚴(yán)密，之后的數(shù)學(xué)家在極限理論上建立的微積分使得其完善起來(lái)，這也就是我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)的微積分.

通過(guò)對(duì)歷史的講解，可以讓學(xué)生們對(duì)這部分知識(shí)的來(lái)龍去脈有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，同時(shí)，古代數(shù)學(xué)家們對(duì)知識(shí)探求的精神也是值得我們當(dāng)代人學(xué)習(xí)的.

三、加強(qiáng)數(shù)學(xué)軟件的運(yùn)用，以輔助教學(xué)

隨著科學(xué)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)軟件的運(yùn)用將成為一種趨勢(shì)，目前國(guó)內(nèi)高校普遍運(yùn)用的數(shù)學(xué)軟件主要有Matlab，Mathmatic，Maple等，這些軟件的運(yùn)用很大程度地方便了教學(xué)，對(duì)于學(xué)生和老師來(lái)說(shuō)都大有幫助.

其一，通過(guò)數(shù)學(xué)軟件繪圖可以更清晰地將要學(xué)習(xí)的對(duì)象展示給學(xué)生.如在學(xué)習(xí)用“微元法”計(jì)算圖形面積和體積的時(shí)候，通過(guò)圖形的三維性，能夠更清晰地理解微元如何選取以及變量是怎么變化的.如果能以動(dòng)畫的形式將微元隨著變量的變化而移動(dòng)的過(guò)程展示出來(lái)，那么效果更佳.

其二，通過(guò)簡(jiǎn)單編程實(shí)現(xiàn)微積分的實(shí)踐應(yīng)用.在微積分教學(xué)中適當(dāng)使用數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)，通過(guò)設(shè)計(jì)一些小程序，在講解完基礎(chǔ)知識(shí)之后讓學(xué)生來(lái)實(shí)踐練習(xí)，既驗(yàn)證了理論知識(shí)，又提高了學(xué)生的實(shí)踐能力，當(dāng)然也能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

四、通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)來(lái)鞏固教學(xué)

課堂上大部分時(shí)間是老師講，學(xué)生互動(dòng)和接受的過(guò)程，作業(yè)對(duì)教學(xué)來(lái)說(shuō)作用是非常重要的，通過(guò)課下作業(yè)可以鞏固學(xué)生課堂上所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)內(nèi)容的理解，也提高了學(xué)生的動(dòng)手能力.當(dāng)然對(duì)于作業(yè)的布置也是有要求的，并不是老師靈機(jī)一動(dòng)，信手拈來(lái)，而是需要之前認(rèn)真準(zhǔn)備，挑選最能反應(yīng)課堂內(nèi)容并且具有可行性的題目，由簡(jiǎn)到繁，以培養(yǎng)學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，將課上知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能和技巧.

總之，要想上好一堂數(shù)學(xué)課，課前、課上、課后的準(zhǔn)備都不可少，通過(guò)教師有計(jì)劃的引導(dǎo)，使用適當(dāng)?shù)姆椒ê凸ぞ?，要讓學(xué)生們有興趣來(lái)學(xué)習(xí)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，那么學(xué)生從知識(shí)的理解、接受到應(yīng)用都是比較容易的，從而也就達(dá)到了目的.

【參考文獻(xiàn)】

［1］朱家生.數(shù)學(xué)史［M］.北京:高等教育出版社，2004.

篇6

【關(guān)鍵詞】高職院校；微積分；問(wèn)題以及解決方式

一、微積分在高職院校中的教學(xué)內(nèi)容

微積分教學(xué)是高職院校學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心，為其他高等數(shù)學(xué)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).當(dāng)前高等院校微積分必修課程，第一，微積分理論與應(yīng)用，學(xué)生自覺(jué)學(xué)習(xí)微積分課程基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本應(yīng)用能力，以達(dá)到靈活運(yùn)用；第二，要為學(xué)生學(xué)習(xí)本課程提供必需和夠用的學(xué)習(xí)工具，使學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用分析和計(jì)算能力.然而，高職微積分課程的教學(xué)現(xiàn)狀不宜樂(lè)觀，沒(méi)有體會(huì)到微積分的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣低下.

二、分析高職院校微積分教學(xué)存在的問(wèn)題

1.學(xué)生對(duì)微積分學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的問(wèn)題

現(xiàn)如今學(xué)生的認(rèn)知水平不夠高，學(xué)生一般都是以固化思維來(lái)思考問(wèn)題，不能將有限思維上升到無(wú)限思維方式.這與學(xué)生以前的生活與學(xué)習(xí)環(huán)境有著密切的聯(lián)系，由于國(guó)內(nèi)教學(xué)設(shè)備不夠齊全，既沒(méi)有無(wú)限數(shù)學(xué)模型，也沒(méi)有無(wú)限變化的實(shí)踐活動(dòng).所以學(xué)生思維的惰性與單向性阻礙了知識(shí)的遷移和應(yīng)用.

2.教師在目前微積分教學(xué)中存在的問(wèn)題

微積分教學(xué)緊密結(jié)合專業(yè)實(shí)際.當(dāng)前的微積分教材呈現(xiàn)出單調(diào)和抽象等特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中難于理解，此外，部分教師的微積分教學(xué)方法也趨于陳舊化和單一化，并未表現(xiàn)出多樣化和靈活化的教學(xué)方式.隨著教育改革的不斷推進(jìn)，在當(dāng)前高職院校中，單一化的微積分教學(xué)方法，仍然是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要表現(xiàn)方式，課堂上以知識(shí)灌輸型的形式為主，同時(shí)老師只是將自己定位成知識(shí)傳遞者的角色，并未注重與學(xué)生之間“教”與“學(xué)”的互動(dòng)，這樣既不能使學(xué)生對(duì)課堂表現(xiàn)出極大的主動(dòng)和熱隋，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的延伸和發(fā)展.

3.學(xué)校教學(xué)時(shí)間安排存在不足之處

高職院校必須要保證微積分教學(xué)質(zhì)量的提高和預(yù)期目標(biāo)，這需要教師和所有學(xué)生的共同努力，并且還需要科學(xué)合理的安排教學(xué)課程.其中，主要是指學(xué)校管理階層對(duì)課程教學(xué)時(shí)間的安排.基于此，要求在學(xué)生完成基礎(chǔ)課的前提下，盡量減少課時(shí)的任務(wù)量，以此達(dá)到提高微積分課程教學(xué)質(zhì)量的目標(biāo).

三、提高高職微積分教學(xué)質(zhì)量的解決方法

1.微積分在高職院校中的教學(xué)內(nèi)容

隨著時(shí)代不斷變化，微積分在教育教學(xué)中越來(lái)越重要，微積分的發(fā)展是一個(gè)新時(shí)代的產(chǎn)物，面向未來(lái)教育發(fā)展趨向.因此，微積分需要更好的方法和手段去深入探究鉆研.把微積分教學(xué)面向現(xiàn)代化，面向未來(lái)的工作崗位，面向世界，必須進(jìn)行教學(xué)改革.

2.對(duì)微積分教學(xué)的改革方式進(jìn)行分析

應(yīng)用多媒體課件是教學(xué)過(guò)程中最強(qiáng)有力的工具，在教學(xué)上增大教學(xué)容量，拓展教學(xué)內(nèi)容，拓寬學(xué)生想象空間，提高課堂教學(xué)效果和效率，是保證教學(xué)質(zhì)量的一種有效手段.

3.建設(shè)“立體化教材”

立體化教材，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)興趣.所謂教材建設(shè)，是教師和學(xué)生用以進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的材料.

注：limx+∞arctanx=π[]2；

limx+∞arctanx=-π[]2；

limx+∞arctanx不存在為了最大限度地滿足教學(xué)需要，應(yīng)加強(qiáng)教材建設(shè)，完善書本，進(jìn)一步優(yōu)化整合教學(xué)內(nèi)容，不斷提高多媒體課件的制作水平和教學(xué)效果，結(jié)合教學(xué)條件和學(xué)生實(shí)際，利用多媒體信息技術(shù)，盡可能提高教材建設(shè)的立體化水平，努力使紙質(zhì)教材、電子教材和網(wǎng)絡(luò)教材有機(jī)結(jié)合，擴(kuò)大教學(xué)空間，提高教學(xué)質(zhì)量.借助函數(shù)圖像引導(dǎo)學(xué)生觀察分析函數(shù)的極限，可以更為形象和直觀地理解函數(shù)極限的定義，符合高職學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，教學(xué)效果明顯.直觀教學(xué)法對(duì)高職學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)，學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)能力的提高，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心的增強(qiáng)起著重要作用.如圖所示.

四、調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性

1.建立師生平等的關(guān)系

老師在學(xué)生心目中是一個(gè)很神圣的人，對(duì)老師又敬又怕.一個(gè)好的老師不僅僅是教書，更重要的是育人，只有育成人才能更好地傳授知識(shí).拉近老師與同學(xué)之間的距離感，與同學(xué)和諧相處，保持師生相互平等，相互配合，共同創(chuàng)造美好優(yōu)質(zhì)課堂.

2.加強(qiáng)教師道德修養(yǎng)

一個(gè)教師的自身素養(yǎng)，直接關(guān)系到優(yōu)質(zhì)課堂教學(xué)水平的高低，老師的素養(yǎng)直接影響著學(xué)生在生活中一些為人處事的舉動(dòng)，在學(xué)生心中產(chǎn)生了潛移默化的變化，甚至是終身影響.由于教師能夠帶給學(xué)生一種最直觀形象的榜樣力量，因此在微積分的實(shí)際教學(xué)中就要求教師堅(jiān)持“以身立教”的教學(xué)思想，能夠在不斷加強(qiáng)師德修養(yǎng)的同時(shí)，還能不斷提高自身修養(yǎng)和綜合業(yè)務(wù)能力.

五、總 結(jié)

數(shù)學(xué)具有非常明顯的邏輯性和嚴(yán)密性，強(qiáng)調(diào)的是科學(xué)，客觀以及邏輯思維，數(shù)學(xué)的精髓不在于知識(shí)本身，而在于與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系.基于此，加強(qiáng)微積分思想方法的教學(xué)，是提高高職微積分教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到與世界全球化接軌的教學(xué)模式.把學(xué)生培養(yǎng)成我國(guó)的合格人才.

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關(guān)鍵詞：微積分教學(xué) 教學(xué)手段 學(xué)習(xí)積極性

中圖分類號(hào)：G424.21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2013）01（c）-0174-01

微積分是理工科學(xué)校一門重要的基礎(chǔ)理論課，內(nèi)容豐富、應(yīng)用廣泛。但同時(shí)這門課又具有抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，這就決定了這門課比較枯燥、乏味。

另一方面，學(xué)生以前在中學(xué)學(xué)的都是有限的概念。而進(jìn)入大學(xué)后一開(kāi)始學(xué)習(xí)微積分就遇到無(wú)限的概念，這是一個(gè)質(zhì)的轉(zhuǎn)變，學(xué)習(xí)上不太習(xí)慣。

此外，中學(xué)數(shù)學(xué)的證明都比較直觀，證明過(guò)程也不太繁雜，而微積分里的定理和習(xí)題的證明方法比較抽象，技巧性較高，過(guò)程也相對(duì)復(fù)雜。

因此，學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)這門課程時(shí)，感到難以理解和接受；另外，整個(gè)微積分的教學(xué)要持續(xù)一學(xué)年，課堂教學(xué)主要以教師講解為主，學(xué)生被動(dòng)地聽(tīng)教師講課，由于一次課學(xué)生都會(huì)接受大量的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生很難做到當(dāng)堂課的知識(shí)當(dāng)堂課理解消化，而當(dāng)學(xué)生的接收出現(xiàn)問(wèn)題時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)厭學(xué)的狀態(tài)，表現(xiàn)就是逃課現(xiàn)象。

而且，就目前的學(xué)生本身來(lái)說(shuō)，中學(xué)時(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)一直是在家長(zhǎng)及學(xué)校老師的嚴(yán)格監(jiān)督下進(jìn)行的，到了大學(xué)之后，很多學(xué)生缺乏主動(dòng)學(xué)習(xí)的自覺(jué)性。

所以要想讓學(xué)生在微積分的學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮自己的積極主動(dòng)性，并且保持長(zhǎng)久的學(xué)習(xí)熱情，教師的講課藝術(shù)在其中占有絕對(duì)的重要性，該文，我想談?wù)勔韵聨c(diǎn)我在微積分教學(xué)過(guò)程中有關(guān)這方面的一些體會(huì)。

1 認(rèn)真?zhèn)湔n，掌握課程的精髓

教師要熟悉教材，深入鉆研教材，吃透課程的精髓，才能精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)。預(yù)先估計(jì)到可能出現(xiàn)的各種情況，并善于隨機(jī)應(yīng)變地駕馭課堂教學(xué)，在課堂的舞臺(tái)上才能信手拈來(lái)，左右逢源。

2 在教學(xué)的過(guò)程中引入懸念與對(duì)比，將概念擬人化，從而加深學(xué)生的記憶

例如，當(dāng)我講到一元函數(shù)的原函數(shù)存在問(wèn)題時(shí)，我告訴學(xué)生，這個(gè)一元函數(shù)只要連續(xù)即可。我又反問(wèn)學(xué)生為什么，并且停頓了一下，用眼睛巡視著學(xué)生們，學(xué)生們以為我要讓他們回答，一個(gè)個(gè)都趕緊低頭翻教材找答案，此時(shí)，我用很慢的語(yǔ)速跟他們說(shuō)，先讓這個(gè)問(wèn)題潛伏下來(lái)，我們將在后面的牛頓萊布尼茲公式那一節(jié)中揭曉原因。

學(xué)生們都愣了一下，然后發(fā)出會(huì)意的笑聲。后來(lái)在我講到牛頓萊布尼茲公式那一節(jié)時(shí)，又把以前留下的懸念強(qiáng)調(diào)了一下，從學(xué)生們的反應(yīng)來(lái)看，這種講課方式是有效的，學(xué)生們對(duì)相關(guān)概念的掌握是扎實(shí)的。

另外，為了讓學(xué)生將一元函數(shù)的微積分部分的知識(shí)點(diǎn)與多元函數(shù)的微積分的知識(shí)點(diǎn)有機(jī)的連接起來(lái)，我在進(jìn)行多元函數(shù)微積分的授課時(shí)，將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，增加學(xué)生們的印象，加強(qiáng)知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系。

例如，我在講解多元函數(shù)的全微分時(shí)，領(lǐng)著學(xué)生們回憶了一元函數(shù)的微分的概念，然后告訴他們，多元函數(shù)的全微分實(shí)際上就是一元函數(shù)的微分概念的延伸，本質(zhì)上說(shuō)的是一回事，那為什么概念中多一個(gè)“全”字呢？

這是因?yàn)槎嘣瘮?shù)的自變量不止一個(gè)，所以多元函數(shù)的全微分就是對(duì)所有自變量的微分的線性組合。通過(guò)這樣的對(duì)比學(xué)習(xí)，學(xué)生們對(duì)新概念的出現(xiàn)就不會(huì)太陌生了，從而接受的也相對(duì)快了。

還有，在整個(gè)微積分的教學(xué)過(guò)程中，我將一些概念或性質(zhì)之間的關(guān)系擬人化，從而是學(xué)生們?cè)诳鞓?lè)的氣氛中學(xué)習(xí)，效果也是很好的。

比如，連續(xù)與可導(dǎo)這兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)，一元函數(shù)時(shí)，我告訴學(xué)生它們是有關(guān)系的，到了多元函數(shù)，它倆就分道揚(yáng)鑣了，沒(méi)有任何關(guān)系，這樣就加強(qiáng)了學(xué)生的記憶。

3 增強(qiáng)與學(xué)生的互動(dòng)性，從而使學(xué)生積極參與到課堂教學(xué)中

教師的講課藝術(shù)不僅體現(xiàn)在教上，還體現(xiàn)在學(xué)生如何能主動(dòng)參與進(jìn)來(lái)。我認(rèn)為，學(xué)生如果100min，即兩節(jié)課，只是被動(dòng)地聽(tīng)課，那么課堂上的學(xué)習(xí)效果是極差的。一般情況下，我在教學(xué)過(guò)程中講授一至兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)之后，就要舉幾個(gè)例題來(lái)具體說(shuō)明一下所講知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用。

一般我具體講一個(gè)例題，其他的由學(xué)生自己來(lái)做，方式有很多種，比如說(shuō)我的學(xué)生們由五個(gè)班組成，我就讓每班出個(gè)代表來(lái)做題，讓他們競(jìng)爭(zhēng)，看誰(shuí)做得好，就讓全體同學(xué)為他所代表的班級(jí)鼓掌，每個(gè)學(xué)生都有集體榮譽(yù)感，所以他們?cè)谖抑v的時(shí)候不敢留神，來(lái)防止后面做題的時(shí)候出丑，這樣，不僅課堂氣氛活躍，而且效果出奇的好。

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摘 要：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。問(wèn)題轉(zhuǎn)化思想在微積分教學(xué)中的應(yīng)用很多，包括極限的數(shù)學(xué)定義、微分中值定理、洛比達(dá)法則、定積分以及微分方程等。轉(zhuǎn)化的形式是將一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化的原則是由繁到簡(jiǎn)，由難到易，直至問(wèn)題解決。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化；微積分；極限；微分中值定理；定積分

微積分是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，是一般非數(shù)學(xué)類專業(yè)大學(xué)生的重要基礎(chǔ)課之一。關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的作用在教育部高等學(xué)?！皵?shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)”的《數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告》[1]中指出了五個(gè)方面：提供必要的數(shù)學(xué)工具，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方式的理性思維，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)審美情操以及為終身學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。這是在現(xiàn)階段對(duì)高等數(shù)學(xué)教育的指導(dǎo)性文件。其中的工具和基礎(chǔ)作用是以往一直強(qiáng)調(diào)的，而數(shù)學(xué)思維以及文化和審美方面在過(guò)去并未受到足夠的重視。我們認(rèn)為：思維方式的培養(yǎng)應(yīng)該以概念、理論等知識(shí)點(diǎn)為載體，教師在點(diǎn)點(diǎn)滴滴的教學(xué)中有意提升，使這項(xiàng)工作日常化，形成習(xí)慣。至于文化和審美方面的培養(yǎng)則需要更高理念的支持。

數(shù)學(xué)思維方式有很多形態(tài)，如歸納、類比、轉(zhuǎn)化等等。其中問(wèn)題轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中最基本最常用的一種思維方式，它的基本思想為將一種形式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一種形式的問(wèn)題，將較難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決。這里作者就問(wèn)題轉(zhuǎn)化思想在微積分教學(xué)中的應(yīng)用談?wù)剛€(gè)人的想法和做法。

1 從極限的描述性定義到數(shù)學(xué)定義的轉(zhuǎn)化

眾所周知，極限是整個(gè)微積分的基礎(chǔ)，它的定義在微積分各部分內(nèi)容中都有應(yīng)用。但很多學(xué)生在學(xué)到極限的數(shù)學(xué)定義時(shí)，無(wú)法將其與形象直觀的描述性定義畫等號(hào)，從而產(chǎn)生排斥心理。這種情況甚至影響了他們后繼學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。在教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)從極限的描述性定義（下面簡(jiǎn)稱為A）到數(shù)學(xué)定義（下面簡(jiǎn)稱為B）的轉(zhuǎn)化是每個(gè)教師面臨的一大考驗(yàn)。這里我們介紹一種分段轉(zhuǎn)化的教學(xué)模式[2]，即在A，B中間插入兩種過(guò)渡形式A1，A2，下面是數(shù)列極限從描述性定義到數(shù)學(xué)定義的分段轉(zhuǎn)化：

A：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限接近于a；

A1： 可以任意小，只要n足夠大；

A2： （ 為事先給定的一個(gè)正數(shù)，無(wú)論它多么小），只要n足夠大；

B：對(duì)于任意給定的一個(gè)正數(shù) （無(wú)論它多么小），總存在正整數(shù)N，只要n>N，就有 。

對(duì)于函數(shù)極限的定義，可類似進(jìn)行分段轉(zhuǎn)化：

A：當(dāng)x無(wú)限接近于a時(shí)， 無(wú)限接近于A；

A1： 可以任意小，只要 足夠??；

A2： （ 為事先給定的一個(gè)正數(shù)，無(wú)論它多么?。灰?足夠?。?/p>

B：對(duì)于任意給定的一個(gè)正數(shù) （無(wú)論它多么?。偞嬖谝粋€(gè)正數(shù) ，只要 ，就有 。

恰當(dāng)?shù)貫殡y于理解的概念設(shè)置鋪墊是教師在教學(xué)中發(fā)揮作用的主要方面。李大潛院士在文[3]中指出：教師“要遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，要設(shè)身處地的站在學(xué)生的角度來(lái)思考，不應(yīng)該把自己的高觀點(diǎn)直接加到學(xué)生身上。拔苗助長(zhǎng)的做法只能影響學(xué)生打基礎(chǔ)，不利于他們今后的成長(zhǎng)?！苯虒W(xué)實(shí)踐表明，對(duì)極限定義的分段轉(zhuǎn)化符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能夠盡快實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)極限數(shù)學(xué)定義的認(rèn)同，進(jìn)而使學(xué)生在解決問(wèn)題中自覺(jué)運(yùn)用極限的思想方法。這種轉(zhuǎn)化也為定性描述到定量定義提供了一種范例。

2 四個(gè)微分中值定理的轉(zhuǎn)化

作為一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)，中值定理是微積分的核心內(nèi)容之一。從羅爾定理，到拉格朗日中值定理，再到柯西定理，最后到泰勒中值定理[4]，四個(gè)定理逐漸深入，層層遞進(jìn)，充分展現(xiàn)了一元可微函數(shù)的性質(zhì)。但這里因?yàn)槎ɡ矶?，理論性?qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到吃力。在這一部分教師的作用就是將知識(shí)條理化，幫助學(xué)生由低級(jí)到高級(jí)，由簡(jiǎn)單到深入地理解和掌握這一塊知識(shí)。

首先看羅爾定理，它告訴我們對(duì)于閉區(qū)間上連續(xù)、開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)，如果還滿足兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，那么在區(qū)間內(nèi)必存在一點(diǎn)，函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，也就是在曲線上有一點(diǎn)處的切線平行于x軸。其次，羅爾定理可以推廣為拉格朗日中值定理：去掉兩端點(diǎn)函數(shù)值相等的條件，結(jié)論就是曲線上有一點(diǎn)處的切線平行于兩端點(diǎn)的連線。而羅爾定理僅僅是拉格朗日中值定理的特殊情況。但是一般情形的導(dǎo)出又恰恰是通過(guò)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊情形實(shí)現(xiàn)的。這里蘊(yùn)含了重要的方法論價(jià)值。將拉格朗日中值定理中的曲線以參數(shù)方程表示，這可以得到第三個(gè)中值定理—柯西定理。并且拉格朗日中值定理還是柯西定理的特例。在問(wèn)題形式不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，知識(shí)就這樣一步步展開(kāi)。最后是著名的泰勒中值定理。因?yàn)楹吞├占?jí)數(shù)的交融關(guān)系以及在工程技術(shù)中被高頻使用，泰勒中值定理實(shí)際上是微積分中的一個(gè)重量級(jí)公式，尤其是在工程師們的眼里。

這個(gè)定理因?yàn)樯婕暗礁唠A導(dǎo)數(shù)使得我們無(wú)法像前面一樣給出直觀的解釋，但就是這個(gè)看起來(lái)十分繁瑣冗長(zhǎng)的結(jié)果卻可以通過(guò)連續(xù)運(yùn)用柯西定理推導(dǎo)出來(lái)。這正體現(xiàn)了自然界中的一個(gè)常見(jiàn)規(guī)律：簡(jiǎn)單問(wèn)題疊加后將不再簡(jiǎn)單；復(fù)雜問(wèn)題往往可以分解成若干簡(jiǎn)單問(wèn)題。泰勒定理之精妙所在還在于將微分表達(dá)式中的線性主部推廣到了任意次多項(xiàng)式，并且將高階無(wú)窮小給出了具體表達(dá)式，使人們不僅能夠?qū)瘮?shù)的近似表示有所選擇，而且可對(duì)誤差進(jìn)行控制?？梢哉f(shuō)泰勒公式將微分中以直代曲的思想進(jìn)行得完全徹底。再回頭我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在泰勒定理中n=0時(shí)的特殊情況就轉(zhuǎn)化成了拉格朗日中值定理。從而可以將樸素的拉格朗日中值定理蘊(yùn)含于泰勒定理中。

中值定理的演化猶如人類社會(huì)的演化，時(shí)而平緩，時(shí)而急劇，但一直在起作用的恰恰是最基本的規(guī)律。通過(guò)教師的有效整合，可以將該部分的各知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。既便于學(xué)生理解掌握，又承載了一定的思想方法，收到一舉多得的效果。 轉(zhuǎn)貼于

3 洛比達(dá)法則的使用

作為微分中值定理的應(yīng)用范例之一是洛比達(dá)法則[5] ，它是微積分中又一個(gè)十分經(jīng)典的問(wèn)題轉(zhuǎn)化的案例。洛比達(dá)法則有多種形式，但核心都是求未定式的極限。在一定條件下兩個(gè)無(wú)窮?。ɑ驘o(wú)窮大）比值的極限等于它們分別求導(dǎo)后的比值的極限。這里需注意的是法則并沒(méi)有告訴我們極限值是多少，只是將原來(lái)的比值極限轉(zhuǎn)化為另一種形式的比值的極限。使用洛比達(dá)法則的前提之一是后者的極限易求出。我們只是通過(guò)這種轉(zhuǎn)化將問(wèn)題由繁化簡(jiǎn)、由難化易，直至最后解決。這里如果問(wèn)題朝著相反的方向轉(zhuǎn)化，那就要立即停止，另想它法。在教學(xué)中教師強(qiáng)調(diào)這種轉(zhuǎn)化可以提醒學(xué)生進(jìn)行積極有效地思維，并有意識(shí)地訓(xùn)練問(wèn)題轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。

4 關(guān)于定積分的定義與性質(zhì)

初學(xué)定積分的人會(huì)感覺(jué)其定義及其繁瑣。為減輕初學(xué)者的心理壓力，教師可以將冰冷的定義轉(zhuǎn)化為通俗的語(yǔ)言。事實(shí)上，定積分蘊(yùn)含了重要的變量求和思想，這種思想在科學(xué)研究和工程計(jì)算中十分常見(jiàn)。概括地講定積分可以分為四步：①分割：將一個(gè)量分為若干個(gè)小量；②近似：對(duì)每個(gè)小量進(jìn)行近似，這里的關(guān)鍵技術(shù)是用常量代替變量；③求和：將所有小量的近似值相加；④取極限：當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)時(shí)總量近似值的極限即為其精確值。

類似的事情在二重積分上發(fā)生了，僅僅是變量從一個(gè)發(fā)展到兩個(gè)，問(wèn)題的形式和解決的方式可以說(shuō)是完全重復(fù)。那么三重積分的情況怎樣呢？也只是再多一個(gè)變量而已。如此一來(lái)我們就通過(guò)這種升級(jí)轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)了一重積分到二重積分、三重積分的過(guò)渡。不僅如此，對(duì)于兩類曲線積分和兩類曲面積分也可以繼續(xù)沿用前面問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想，順利引出相應(yīng)的定義。至此，七類積分的全貌已現(xiàn)，而我們也可以重新歸納積分的本質(zhì)，即是對(duì)可變量的求和。

除了定積分的定義，定積分還有七個(gè)著名的性質(zhì)。由于這些性質(zhì)的證明要用到定義，而定義形式又具有一致性，因而相應(yīng)地產(chǎn)生了其他類型積分的性質(zhì)。不過(guò)第二類曲線積分和第二類曲面積分的性質(zhì)稍有不同，需加注意[6]。

5 微分方程中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化

解微分方程的目的是尋求方程的通解或特解，其中最原始的方法是積分。由于積分問(wèn)題本身的難度，使得人們十分關(guān)注那些能夠積出來(lái)的方程類型，而對(duì)于其他類型的微分方程只好試圖通過(guò)問(wèn)題轉(zhuǎn)化化成已解決的類型，因而在這里轉(zhuǎn)化的工作司空見(jiàn)慣。如齊次方程就是通過(guò)變量代換化為可分離變量的方程，甚至包括可化為齊次方程的方程類型。另外關(guān)于可化為一階方程的二階微分方程也總結(jié)了三種類型。

特別值得一提的是在解常系數(shù)線性微分方程時(shí)，我們引入了一個(gè)重要的代數(shù)方程—特征方程，將原問(wèn)題的解的形態(tài)完全轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的特征方程的根的情況。這種轉(zhuǎn)化將微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程問(wèn)題，這種跨領(lǐng)域的轉(zhuǎn)化大大降低了問(wèn)題的難度，成為問(wèn)題轉(zhuǎn)化領(lǐng)域的又一個(gè)經(jīng)典案例。

6 結(jié)束語(yǔ)

問(wèn)題轉(zhuǎn)化作為一種重要的思想方法它蘊(yùn)含于許許多多的概念、定理和公式中，需要我們?cè)诮虒W(xué)中不斷發(fā)現(xiàn)、整理，以充實(shí)教學(xué)實(shí)踐。當(dāng)然還有其他的思維方式也需要教師在教學(xué)實(shí)踐中有意識(shí)地運(yùn)用。大學(xué)數(shù)學(xué)作為一門公共基礎(chǔ)課，不僅為學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備知識(shí)基礎(chǔ)，更是培養(yǎng)新一代青年科學(xué)思維方法的良好素材。隨著時(shí)間的流逝，具體的概念或公式可能記不清楚了，但是作為數(shù)學(xué)文化價(jià)值的科學(xué)思維方式，如果培養(yǎng)了，則會(huì)使學(xué)生終身受益[7]。

參考文獻(xiàn)

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[5]吳建成.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2005:153-157.

篇9

關(guān)鍵詞:微積分;教學(xué)方法;專業(yè)

應(yīng)用數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，人們逐步發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不僅是一種工具，而且是一種思維模式;不僅是一種知識(shí)，而且是一種素養(yǎng);不僅是一種科學(xué)，而且是一種文化。作為眾多教育者中普通的一員，我深深意識(shí)到了在培養(yǎng)高素質(zhì)經(jīng)濟(jì)管理人才的過(guò)程中數(shù)學(xué)教育的作用是無(wú)可替代的。那么，下面我將從自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和所接觸到的教學(xué)現(xiàn)狀等方面去談一談三大數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論課之一的微積分課程在經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)中的教學(xué)教法。首先，微積分課程是經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課程，也是全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)科目的考查內(nèi)容之一，其所占比重也是最大的。其次，在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域微積分課程所研究的理論知識(shí)及解決問(wèn)題的思想、方法有著廣泛的應(yīng)用，因此這門課程的重要性自然是不言而喻。那么為了讓學(xué)生有效地學(xué)習(xí)好這門抽象的課程，下文將結(jié)合自身的課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和目前教學(xué)現(xiàn)狀，從以下幾點(diǎn)給出該課程的教學(xué)方法，供大家參考。

一、注重教學(xué)內(nèi)容的整體性和連貫性，突出重難點(diǎn)

在首次課堂教學(xué)時(shí)向?qū)W生簡(jiǎn)要地介紹微積分這門課程，要讓學(xué)生明白其所研究的主要內(nèi)容，以及整個(gè)教學(xué)內(nèi)容的主線———研究函數(shù)的微分、積分及相關(guān)方程等問(wèn)題。因?yàn)榇蠹以谥袑W(xué)數(shù)學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、簡(jiǎn)單的積分等內(nèi)容，所以可以從這些點(diǎn)入手幫助學(xué)生很輕松地打開(kāi)學(xué)習(xí)的大門，并帶著強(qiáng)烈的好奇心和求知欲進(jìn)入課堂，因?yàn)樗麄儠?huì)想這些新的內(nèi)容與以前學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)會(huì)有哪些異同?同時(shí)我還強(qiáng)調(diào)學(xué)生要通過(guò)應(yīng)用將這門抽象的課程變得形象化，在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，并持之以恒，因?yàn)槲⒎e分這門課程教學(xué)一般會(huì)貫穿整個(gè)學(xué)年。在嚴(yán)格遵循教學(xué)大綱的基礎(chǔ)上，為了讓學(xué)生更快地掌握住學(xué)習(xí)的方法與技巧，我制定了與教材配套的教學(xué)順序是函數(shù)———極限與連續(xù)———導(dǎo)數(shù)與微分———中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用———不定積分———定積分———多元函數(shù)微積分———無(wú)窮級(jí)數(shù)———微分方程與差分方程簡(jiǎn)介。雖然每一年的微積分教學(xué)順序是保持不變的，但教學(xué)內(nèi)容并不是一成不變，每一年我都會(huì)參考最新頒布的“全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱”和“經(jīng)濟(jì)管理類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”來(lái)對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行更新，做到與時(shí)俱進(jìn)。從函數(shù)出發(fā)引出極限與連續(xù)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法很容易讓學(xué)生接受理解。由導(dǎo)數(shù)的變形得到“微分”的內(nèi)容，并進(jìn)一步給出微分中值定理，最后通過(guò)應(yīng)用的講解，讓學(xué)生對(duì)“微分”這一塊內(nèi)容有了系統(tǒng)的了解。根據(jù)對(duì)導(dǎo)數(shù)逆運(yùn)算的思考，引出不定積分，再由實(shí)例的求解給出定積分，通過(guò)牛頓———萊布尼茨公式建立二者之間的聯(lián)系，因此采用層層深入的教學(xué)方法讓學(xué)生對(duì)“積分”的內(nèi)容有所認(rèn)知和了解，并通過(guò)其在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用案例，體會(huì)其的重要性。最后，在學(xué)生掌握微分學(xué)和積分學(xué)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行剩余內(nèi)容的教授———其中，采用類比、啟發(fā)式的教學(xué)方法去教授多元函數(shù)微積分這一塊的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)并歸納出多元函數(shù)在概念、偏導(dǎo)數(shù)與全微分、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法、極值與最值、二重積分等方面與一元函數(shù)的異同，從而可以讓學(xué)生更加深入地理解掌握這部分的要點(diǎn);由中學(xué)的數(shù)列知識(shí)引出“級(jí)數(shù)”的概念，然后分類介紹常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)等內(nèi)容，并給出其在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中的經(jīng)典案例，可以讓學(xué)生與自己所學(xué)的相關(guān)專業(yè)相聯(lián)系，達(dá)到強(qiáng)化鞏固知識(shí)點(diǎn)的目的;對(duì)于微分方程和差分方程來(lái)說(shuō)，從概念入手，讓學(xué)生先從表象理解這類抽象方程的構(gòu)成，然后重點(diǎn)講解一階線性微分方程和二階常系數(shù)線性微分方程，讓學(xué)生體會(huì)微分學(xué)在其中的應(yīng)用，最后再補(bǔ)充給出方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，掌握如何用方程去建立對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)模型的理論思想，達(dá)到學(xué)以致用的目的。整個(gè)學(xué)年的教學(xué)進(jìn)程由簡(jiǎn)入繁、層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣，這樣可以連貫流暢地突顯出這門課程內(nèi)容的整體性，學(xué)生就可以很容易地突破并掌握其中的重難點(diǎn)，從而達(dá)到學(xué)以致用的目的。

二、多元化教學(xué)方法的應(yīng)用

在課堂授課的過(guò)程中，我會(huì)在教材內(nèi)容的基礎(chǔ)加以其他相關(guān)教學(xué)資源(比如MOOC、微課等)，使教學(xué)方法多元化、教學(xué)內(nèi)容更有針對(duì)性，從而達(dá)到調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性的目的，并同時(shí)培養(yǎng)其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。為了培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，我會(huì)向?qū)W生介紹不同的學(xué)習(xí)資源，使他們能夠接觸到一些教材以外的內(nèi)容。在每次授課之前，我都會(huì)給學(xué)生下達(dá)預(yù)習(xí)通知，要求學(xué)生對(duì)將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容有所了解，讓其帶著問(wèn)題走入課堂進(jìn)行聽(tīng)課，以便于課上快速接受;在課堂教學(xué)的進(jìn)程中，我會(huì)采取多媒體和板書教學(xué)相結(jié)合的方式，穿插數(shù)學(xué)史的介紹，讓學(xué)生體會(huì)到微積分不是想象中那么枯燥無(wú)味，并在詳細(xì)講解完概念、性質(zhì)、定理等之后，通過(guò)例題應(yīng)用練習(xí)等方式讓學(xué)生參與進(jìn)來(lái)，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性的同時(shí)，可以提高掌握新知識(shí)的效率;在課下，我會(huì)布置多種多樣的教學(xué)任務(wù)，并且要求學(xué)生做好復(fù)習(xí)工作，這樣既可以讓學(xué)生高效地鞏固已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，又可以為下次課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。因此，這種混合式教學(xué)方法的應(yīng)用不僅可以使學(xué)生有效輕松地接受新內(nèi)容，而且可以實(shí)現(xiàn)前后內(nèi)容的融會(huì)貫通，輕松掌握重難點(diǎn)。

三、習(xí)題練習(xí)的層層深入

微積分身為一門數(shù)學(xué)類課程，與之配套的習(xí)題是不可或缺的。我采用以下形式給出不同類型難度的習(xí)題:一是當(dāng)堂練習(xí)和課后作業(yè)，這部分習(xí)題全是定義和定理的直接應(yīng)用，沒(méi)有太大的難度，與期末考試內(nèi)容相近，可以保證每一個(gè)學(xué)生都能獨(dú)立完成，達(dá)到及時(shí)鞏固課堂教學(xué)內(nèi)容的目的。布置之后采取抽查的形式及時(shí)批改作業(yè)，對(duì)于作業(yè)中出現(xiàn)的問(wèn)題，會(huì)在下次課上進(jìn)行講解。二是自選習(xí)題作業(yè)，因?yàn)檎麄€(gè)教授學(xué)生群體的個(gè)人數(shù)學(xué)水平都參差不齊，所以我會(huì)布置一些有難度的習(xí)題，供學(xué)生選擇性去作答。對(duì)于這種做法，肯定有人會(huì)有一個(gè)疑問(wèn)———是不是只有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生才會(huì)去做題?其實(shí)不然，與此同時(shí)我建立了相關(guān)的獎(jiǎng)勵(lì)制度，并建議各班成立學(xué)習(xí)小組，使得每一位同學(xué)都加入到了難題的思考中，因此學(xué)生的參與度較高。這樣不僅進(jìn)一步地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而且養(yǎng)成了團(tuán)結(jié)合作的精神。當(dāng)然對(duì)于這些題目，我會(huì)在線下通過(guò)如微信或QQ等平臺(tái)對(duì)有問(wèn)題的習(xí)題向?qū)W生進(jìn)行講解。三是考研題目，在結(jié)束每章內(nèi)容授課之后，我都會(huì)進(jìn)行一次復(fù)習(xí)，和學(xué)生一起歸納出主要知識(shí)點(diǎn)的框架圖，進(jìn)而引入相關(guān)考研真題。這些題目大多較難，在講解之前，我會(huì)留給學(xué)生思考的時(shí)間，讓其自行嘗試完成。這樣既能鍛煉數(shù)學(xué)能力，又能發(fā)散思維，并且讓學(xué)生提前與考研數(shù)學(xué)內(nèi)容接觸，深受學(xué)生的歡迎，營(yíng)造了良好的學(xué)習(xí)氛圍，大大地提高了學(xué)習(xí)的效率。如果學(xué)生解答出來(lái)，那么大家彼此交流做題思路方法，尋求確定一個(gè)最優(yōu)解;如果學(xué)生沒(méi)有解答出來(lái)，那么我會(huì)給予一定的提示，引導(dǎo)做題，讓其在求索結(jié)果的過(guò)程中意識(shí)到自己的不足之處。

四、強(qiáng)調(diào)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)管理類中的實(shí)際應(yīng)用

如果光有枯燥的理論教學(xué)，卻沒(méi)有與之相關(guān)的應(yīng)用舉例很顯然是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行的。因此，在講透微積分理論知識(shí)的同時(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法舉例給出與經(jīng)管專業(yè)相聯(lián)系的實(shí)際應(yīng)用，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣和應(yīng)用微積分知識(shí)解決專業(yè)實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力。比如，利用導(dǎo)數(shù)可以解決“邊際”和“彈性”問(wèn)題;無(wú)窮級(jí)數(shù)應(yīng)用于“商業(yè)銀行通過(guò)存貸款業(yè)務(wù)創(chuàng)造貨幣”和“勞資合同問(wèn)題”等案例;微分方程和差分方程在價(jià)格調(diào)整模型、多馬經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型、索洛經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型、存款模型等當(dāng)中的應(yīng)用。最后，學(xué)生不僅會(huì)發(fā)現(xiàn)微積分在經(jīng)管專業(yè)有著廣泛的應(yīng)用，而且更加意識(shí)到微積分不是孤立存在的，從而可以提高學(xué)習(xí)的興趣，為將來(lái)專業(yè)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

篇10

【關(guān)鍵詞】分層次教學(xué) 因材施教 個(gè)體差異

一、實(shí)施分層教學(xué)的緊迫性

我校作為一所教學(xué)型民辦本科院校，以培養(yǎng)適應(yīng)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要，具有良好的思想品德、較扎實(shí)的專業(yè)基礎(chǔ)、較強(qiáng)的實(shí)踐能力和較高英語(yǔ)應(yīng)用能力的高素質(zhì)應(yīng)用型人才為目標(biāo)，在明確的辦學(xué)定位指導(dǎo)下，堅(jiān)持“以生為本”，以應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式改革為主線，以促進(jìn)人的全面發(fā)展和適應(yīng)社會(huì)需要作為衡量人才培養(yǎng)的根本標(biāo)準(zhǔn)，始終將提高教育質(zhì)量、教學(xué)水平放在首位，在辦學(xué)規(guī)模迅速擴(kuò)大的同時(shí)，辦學(xué)質(zhì)量穩(wěn)步提高，2012年5月順利地迎來(lái)了由教育部組織的本科教學(xué)工作合格評(píng)估。在本次評(píng)估中，《微積分》作為我校本科教學(xué)十分重要的基礎(chǔ)課程，受到了評(píng)估組專家的高度重視。評(píng)估組專家通過(guò)聽(tīng)課、座談、抽查試卷等途徑，在對(duì)我?！段⒎e分》教學(xué)工作充分肯定的基礎(chǔ)上，也指出了其中存在的問(wèn)題和不足。突出表現(xiàn)在課堂氣氛不活躍，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，考試及格率低。

究其原因，主要是因?yàn)樵诮虒W(xué)過(guò)程中沒(méi)有考慮到民辦本科院校所招收的學(xué)生在學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)自覺(jué)性、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等各個(gè)方面存在較大的個(gè)性化差異，忽視了學(xué)生對(duì)教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容的不同需求，只強(qiáng)調(diào)統(tǒng)一，不能隨著客觀情況的改變而改變，而是按照傳統(tǒng)的一刀切模式來(lái)組織教學(xué)而形成的。

因此，兼顧學(xué)生的個(gè)體差異及專業(yè)需求，實(shí)施微積分的分層教學(xué)已迫在眉睫。

二、實(shí)施分層教學(xué)的意義

“分層次教學(xué)”思想，最早源于孔子提出的“因材施教”，所謂分層次教學(xué)，是指學(xué)校根據(jù)大部分學(xué)生的個(gè)體差異，將學(xué)生分為若干個(gè)群體，制定不同的教學(xué)目標(biāo)，因材施教，實(shí)行分級(jí)教學(xué)，使各個(gè)層面的學(xué)生都能學(xué)有所得、學(xué)有所用，最終適應(yīng)社會(huì)對(duì)不同層次人才的需求，達(dá)到良好地培養(yǎng)目標(biāo)。

微積分分層次教學(xué)是一種符合因材施教原則的教學(xué)方法，在教學(xué)過(guò)程中實(shí)施分層教學(xué)具有重大的意義：首先，分層教學(xué)適應(yīng)于各層次學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，不但能發(fā)展學(xué)生的智力因素，而且能培養(yǎng)學(xué)生的非智力因素，能有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，減少甚至杜絕厭學(xué)現(xiàn)象的產(chǎn)生。其次，分層教學(xué)能面向全體學(xué)生，為學(xué)生的全面發(fā)展創(chuàng)造條件，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的普遍提高。再次，分層教學(xué)能消除或者緩解學(xué)生的厭學(xué)情緒，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，增進(jìn)課堂的互動(dòng)，有利于促進(jìn)和諧校園與的建設(shè)。最后，開(kāi)展分層教學(xué)，能夠尊重學(xué)生的個(gè)性差異，促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)，存同求異，為社會(huì)培養(yǎng)創(chuàng)造性人才。

三、實(shí)施分層教學(xué)的具體措施

按照不同專業(yè)對(duì)微積分知識(shí)需求的不同，結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在自愿的基礎(chǔ)上分成三個(gè)層次。每個(gè)層次分別制定教學(xué)大綱、培養(yǎng)目標(biāo)等。

第一層次（A班）：每個(gè)學(xué)期都設(shè)立兩個(gè)A班（每班50人左右），第一學(xué)期，主要參考高考成績(jī)。以后每個(gè)學(xué)期都參考上學(xué)期考試成績(jī)，讓學(xué)生自愿報(bào)名組成。A班在完成常規(guī)教學(xué)任務(wù)的基礎(chǔ)上，適當(dāng)補(bǔ)充較多的課本以外的知識(shí)，主要包括大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽和考研數(shù)學(xué)中典型題型的講解、基本數(shù)學(xué)方法的歸納總結(jié)和相關(guān)知識(shí)在解決實(shí)際專業(yè)問(wèn)題中的應(yīng)用等，課堂容量和知識(shí)難度都相對(duì)較大。以滿足數(shù)學(xué)素養(yǎng)高、對(duì)數(shù)學(xué)有興趣，有志于考研的同學(xué)的需要。

第二層次（B班）：B班為微積分教學(xué)的主題部分，第一學(xué)期除A班外，以后每個(gè)學(xué)期除A班和C班外，其余學(xué)生全部編為B班。B班教學(xué)難度適中，教學(xué)內(nèi)容符合各專業(yè)需要，教學(xué)過(guò)程中弱化對(duì)偏難的理論的證明，注重基礎(chǔ)計(jì)算和邏輯思維的培養(yǎng)，講課速度和手法適合大部分學(xué)生。

第三層次（C班）：第一學(xué)期不設(shè)C班，從第二個(gè)學(xué)期起根據(jù)上學(xué)期考試結(jié)果，把成績(jī)較差（低于30分）的一少部分學(xué)生編入C班。C班在降低教學(xué)目標(biāo)和難度的基礎(chǔ)上，通過(guò)放慢教學(xué)速度，查漏補(bǔ)缺。更多地對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行比較、歸納，吸引學(xué)生注意力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及找到解決問(wèn)題的方法。在不斷的鼓勵(lì)中，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)逐步產(chǎn)生興趣。

分層次教學(xué)的A班、B班和C班的同學(xué)，可以在每學(xué)期期末考試結(jié)束以后，根據(jù)考試成績(jī)和平時(shí)的表現(xiàn)，在不同層次之間實(shí)行動(dòng)態(tài)流動(dòng)，讓第二、第三層次中學(xué)習(xí)表現(xiàn)突出的同學(xué)有機(jī)會(huì)進(jìn)入上一層次班級(jí)學(xué)習(xí)，讓那些跟不上本層次的進(jìn)度，學(xué)習(xí)上感覺(jué)吃力甚至難以畢業(yè)的學(xué)生進(jìn)人第三層次學(xué)習(xí)。

合理的分層和動(dòng)態(tài)流動(dòng)，將會(huì)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)緊迫感，充分調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性，避免層次劃分的“一劃定終身”弊端；同時(shí)這也非常有助于學(xué)生間的良性學(xué)習(xí)競(jìng)爭(zhēng)的形成，從而提高教學(xué)效果和學(xué)習(xí)效率。

參考文獻(xiàn)：

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