摘要：高等數(shù)學(xué)是高等職業(yè)教育必修的基礎(chǔ)課，其理論基礎(chǔ)和思想方法不僅為專業(yè)課學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)，還是技能發(fā)展的支撐工具。高等數(shù)學(xué)在高素質(zhì)技能型人才的培養(yǎng)方面占據(jù)非常重要的地位。微積分教學(xué)作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要模塊，其教學(xué)成效重要性不言而喻。本文對微積分的教學(xué)進行研究，探討微積分的案例教學(xué)如何實現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：教學(xué)成效;微分學(xué);積分學(xué);案例教學(xué)

高職院校以培養(yǎng)高素質(zhì)技術(shù)型人才為主要方向的高等教育目的，其在課程設(shè)置需要依照高等職業(yè)院校學(xué)生的特點和專業(yè)需要。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)展開情況直接影響了技術(shù)型人才的技能素養(yǎng)和終身發(fā)展的需求。

一、發(fā)展簡史

微積分的發(fā)展體現(xiàn)著人類認(rèn)識是感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程。早期萌芽時期始于公元前七世紀(jì)上半頁，表現(xiàn)為對圖形的長度，面積和體積的研究，比如窮竭法，割圓術(shù)等都體現(xiàn)了微積分思維的雛形。發(fā)展成型于十七世紀(jì)，此時科學(xué)的理論研究著力于速率、極值、切線等問題，特別是描述運動與變化的無限小算法等，后來，牛頓和萊布尼茨各自獨立地提出微積分系統(tǒng)的理論，使得微積分成為一門數(shù)學(xué)學(xué)科。自此以后，連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、無窮小以及函數(shù)收斂等得到一系列數(shù)學(xué)家的繼續(xù)深化研究和改善，微積分建立在牢固的理論基礎(chǔ)上。初等數(shù)學(xué)無法解決的問題隨著微積分理論迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡魅力。

二、教學(xué)案例的設(shè)計

摘要：微積分對于大多數(shù)的獨立院校財經(jīng)類學(xué)生而言，是一門比較抽象的課程，沒有直觀性的理解，學(xué)習(xí)起來具有一定的難度，而建模是將知識加以利用從而解決實際問題，因此建模對學(xué)生的微積分學(xué)習(xí)具有一定的促進作用，可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且加深對知識的理解及應(yīng)用，論文就兩者之間的融合進行探討。

關(guān)鍵詞：微積分；數(shù)學(xué)建模

當(dāng)今部分獨立院校致力于培養(yǎng)學(xué)生為應(yīng)用型人才，使學(xué)生通過本科階段的學(xué)習(xí)培養(yǎng)，具有一定的綜合能力與知識素養(yǎng)，能夠在管理、生產(chǎn)服務(wù)建設(shè)等方面具有持續(xù)發(fā)展能力的應(yīng)用型人才。對于獨立院校經(jīng)管類學(xué)生來說，微積分是一門重要的基礎(chǔ)類課程，與后續(xù)的經(jīng)濟學(xué)、概率統(tǒng)計、專業(yè)課程的學(xué)習(xí)是緊密相關(guān)的。因此需要學(xué)好微積分來為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ)。微積分具有較強理論性，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容抽象等特征，對于獨立經(jīng)管院校的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)起來會有些吃力，晦澀難懂，往往存在生搬硬套，只會套用公式做題，知其然而不知其所以然。對于獨立院校，需要教師在教學(xué)過程中，加強學(xué)生對知識點的深入理解，盡量做到學(xué)以致用，從而有利于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展，為實現(xiàn)將學(xué)生培養(yǎng)為應(yīng)用型人才而打好堅實的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)建模是通過對實際問題的觀察分析、在一定的設(shè)定條件下，對問題進行抽象簡化，通過設(shè)定變量與參數(shù)，利用數(shù)學(xué)符號語言表達變量間的關(guān)系，然后需要運用數(shù)學(xué)或者統(tǒng)計等相關(guān)軟件對數(shù)學(xué)模型進行近似求解，最后通過求解的結(jié)果來解釋、驗證或者預(yù)測某些現(xiàn)象與問題。下面對數(shù)學(xué)建模思想在微積分教學(xué)中的作用進行探討。

一、數(shù)學(xué)建模思想在微積分教學(xué)中的作用

數(shù)學(xué)建模能夠較好的培養(yǎng)學(xué)生對知識的應(yīng)用理解能力，同時提升學(xué)生的創(chuàng)造能力。因此，將數(shù)學(xué)建模思想融入微積分課程課程的教學(xué)中，是一件非常有意義的事，下面來具體進行介紹：（一）增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣獨立院校經(jīng)管專業(yè)的學(xué)生，一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱，在授課過程中如果全程貫穿抽象的理論與計算，學(xué)生更會覺得學(xué)習(xí)枯燥乏味，從而對微積分的學(xué)習(xí)提不起興趣。數(shù)學(xué)一般具有銜接性非常強的特點，而微積分的學(xué)習(xí)通常需要兩個學(xué)期，學(xué)生如果中間有幾節(jié)課落下，就會對后續(xù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生較大的影響，甚至影響整門課程學(xué)習(xí)效果。所以，在教學(xué)過程中，融入一些生活中的實際例子，然后利用微積分方法進行恰當(dāng)?shù)慕鉀Q，會使學(xué)生覺得微積分沒有那么晦澀難懂，抽象乏味，進而提高學(xué)習(xí)的興趣。（二）加深對知識的理解與提高對知識的應(yīng)用能力在授課過程中，通過融入適當(dāng)?shù)膽?yīng)用模型，可以幫助學(xué)生對知識點的深入理解。比如，在學(xué)習(xí)兩個重要極限的知識之后，利用極限來計算復(fù)利，然后讓學(xué)生在課下查資料，分成小組討論，對房貸中的等額本息與等額本金兩種貸款方式的進行理解計算，課上教師再加以進一步的講解，這樣可以加深學(xué)生對極限的理解與應(yīng)用。在學(xué)習(xí)微分時，可以讓學(xué)生對經(jīng)濟學(xué)中的一些問題進行近似計算，在這個過程中，既使得學(xué)生理解了微分的意義，又促進了學(xué)生對為微分的應(yīng)用能力的提升。

二、建模思想融入微積分教學(xué)的途徑

摘要：微積分作為數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ),是學(xué)習(xí)經(jīng)濟學(xué)的必備知識,著重討論了微積分在經(jīng)濟學(xué)中最基本的一些應(yīng)用，計算邊際成本、邊際收入、邊際利潤并解釋其經(jīng)濟意義,尋求最小生產(chǎn)成本或制定獲得最大利潤的一系列策略。

關(guān)鍵詞：微積分；邊際分析；彈性；成本；收入；利潤；最大值；最小值

1導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用

1.1邊際分析在經(jīng)濟分析中的的應(yīng)用

1.1.1邊際需求與邊際供給

設(shè)需求函數(shù)Q=f（p）在點p處可導(dǎo)（其中Q為需求量，P為商品價格），則其邊際函數(shù)Q’=f’(p)稱為邊際需求函數(shù)，簡稱邊際需求。類似地，若供給函數(shù)Q=Q(P)可導(dǎo)（其中Q為供給量，P為商品價格），則其邊際函數(shù)Q=Q(p)稱為邊際供給函數(shù)，簡稱邊際供給。

摘要:文章主要探討了牛頓和萊布尼茲所處的時代背景以及他們的哲學(xué)思想對其創(chuàng)立廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域的基本數(shù)學(xué)工具———微積分的影響。

關(guān)鍵詞:牛頓;萊布尼茲;微積分;哲學(xué)思想

今天,微積分已成為基本的數(shù)學(xué)工具而被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域。恩格斯說過:“在一切理論成就中,未有象十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了,如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績,那就正是在這里?！盵1](p.244)本文試從牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立“被看作人類精神的最高勝利”的微積分的時代背景及哲學(xué)思想對其展開剖析。

一、牛頓所處的時代背景及其哲學(xué)思想

“牛頓(IsaacNewton,1642-1727)1642年生于英格蘭。⋯⋯,1661年,入英國劍橋大學(xué),1665年,倫敦流行鼠疫,牛頓回到鄉(xiāng)間,終日思考各種問題,運用他的智慧和數(shù)年來獲得的知識,發(fā)明了流數(shù)術(shù)(微積分)、萬有引力和光的分析?！盵2](p.155)

1665年5月20日,牛頓的手稿中開始有“流數(shù)術(shù)”的記載。《流數(shù)的介紹》和《用運動解決問題》等論文中介紹了流數(shù)(微分)和積分,以及解流數(shù)方程的方法與積分表。1669年,牛頓在他的朋友中散發(fā)了題為《運用無窮多項方程的分析學(xué)》的小冊子,在這里,牛頓不僅給出了求一個變量對于另一個變量的瞬時變化率的普遍方法,而且證明了面積可以由求變化率的逆過程得到。因為面積也是用無窮小面積的和來表示從而獲得的。所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過程得到(更精確地說,和的極限能夠由反微分得到),這個事實就是我們現(xiàn)在所講的微積分基本定理。這里“,牛頓使用的是無窮小方法,把變量的無限小增量叫做“瞬”,瞬是無窮小量,是不可分量,或是微元,牛頓通過舍棄“瞬”求得變化率?！盵3](p.199)1671年牛頓將他關(guān)于微積分研究的成果整理成《流數(shù)法和無窮級數(shù)》(1736),在這里,他認(rèn)為變量是連續(xù)運動產(chǎn)生的,他把變量叫做流,變量的變化率叫做流數(shù)。牛頓更清楚地陳述了微積分的基本問題:已知兩個流之間的關(guān)系,求它們流數(shù)之間的關(guān)系,以及它的逆問題?！读鲾?shù)法和無窮級數(shù)》是一部較完整的微積分著作。書的后半部分通過20個問題廣泛地介紹了流數(shù)法各無窮級數(shù)的應(yīng)用。1676年,牛頓寫出了《求曲邊形的面積》(1704),在這里,牛頓的微積分思想發(fā)生了重大變化,他放棄了微元或無窮小量,而采用了最初比和最后比的方法。

【摘要】大學(xué)物理是本科院校理工科學(xué)生的主要必修課程。研究微積分在力學(xué)中的主要應(yīng)用，幫助學(xué)生重視微積分理論與技能學(xué)習(xí)，提升物理學(xué)習(xí)效果，同時對數(shù)理教學(xué)活動提供一點參考。

【關(guān)鍵詞】微積分;導(dǎo)數(shù);微分;積分

一、導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用

（一）根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義

假設(shè)一元函數(shù)在某點一個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)給該點以增量（仍在同鄰域）時函數(shù)產(chǎn)生相應(yīng)增量。若函數(shù)增量與自變量增量比值，在自變量增量趨于零時的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù).又稱函數(shù)在該點可導(dǎo)。

（二）導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用

一、微積分在數(shù)學(xué)教育中的必要性

隨著社會的不斷發(fā)展，微積分及其相關(guān)知識應(yīng)用越來越廣泛。新課改也要求將微積分加入到教學(xué)中來，其必要性是因為它對很多學(xué)科、專業(yè)都有重要影響。同時，隨著微積分對于現(xiàn)代生活的影響越來越廣泛，微積分成為教學(xué)內(nèi)容也可以說是社會對教育的要求。是社會發(fā)展的必然趨勢?？茖W(xué)技術(shù)發(fā)展的越快，數(shù)學(xué)的應(yīng)用也越來越多，從而對數(shù)學(xué)的要求也會越來越高。這就會對數(shù)學(xué)教學(xué)教學(xué)產(chǎn)生影響，教學(xué)的內(nèi)容會相應(yīng)的隨著社會需求而改變。為了滿足科技對人才的需要，教學(xué)內(nèi)容就會增加新知識，以此適應(yīng)時代的發(fā)展。例如，網(wǎng)絡(luò)知識的增加、概率統(tǒng)計學(xué)以及微積分知識的加入，都是為了社會的發(fā)展而加入到教學(xué)中的。如今我們所面對的世界已經(jīng)進入了信息時代，為了適應(yīng)新時代的發(fā)展，微積分自然而然的就進入了高中教學(xué)中。高中作為我國基礎(chǔ)教育的最后階段，有著十分重要的作用。微積分之所以出現(xiàn)在高中也是為了推動可持續(xù)發(fā)展。無論高中畢業(yè)后是否繼續(xù)學(xué)習(xí)，微積分都會在以后的生活中起到積極作用。對于大學(xué)生來說，高中的微積分教育是繼續(xù)深造的基礎(chǔ)；對于將要開始工作的學(xué)生來說微積分對新知識的掌握也有很大幫助?？傊?，在現(xiàn)代社會微積分是一項重要的基礎(chǔ)知識。微積分的學(xué)習(xí)對學(xué)生思維的發(fā)展有著積極的影響。微積分中的以“直”代“曲”、以“局部”研究“整體”，從“有限”認(rèn)識“無限”等思想，都是初等數(shù)學(xué)中從未涉及的。這些思想和方法有利于學(xué)生形成辯證邏輯思維，對學(xué)生的跳躍性思維有重要影響。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育對人的思維的影響。這種從直到曲，從局部到整體，從有限到無限的思維認(rèn)識，會成為學(xué)生在學(xué)習(xí)生涯中得到的寶貴知識。

二、微積分在數(shù)學(xué)教育中的價值

通過微積分的課程，可以加強高中數(shù)學(xué)教育的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而達到優(yōu)化教學(xué)的作用。鍛煉學(xué)生解決實際問題的能力，提升他們應(yīng)對問題時的反應(yīng)能力，也會使學(xué)生不自覺的用數(shù)學(xué)思維思考問題。微積分的教育價值體現(xiàn)在，兼顧不同層次的學(xué)生要，對不同的層次研究不同的教法，準(zhǔn)確把握不同階段的學(xué)生對微積分知識的掌握情況做好定位。在數(shù)學(xué)教育中，嚴(yán)謹(jǐn)、精確是其最大的特點。而利用微積分相關(guān)的知識可以增加數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。同時，它還可以使高中階段的一些繁瑣的數(shù)學(xué)問題簡單化，能夠輕易的解決難題，解題步驟也會讓人眼前一亮。可見微積分知識擴展了數(shù)學(xué)教學(xué)，加強學(xué)生對解題的多樣性思維的鍛煉。微積分對于培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題和鍛煉思維能力方面有重要作用。微積分會通過大量的實際經(jīng)驗和具體的實際案例所得出一些概念。例如通過研究增長率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的實例，用來引導(dǎo)學(xué)生感受由平均變化率到瞬時變化率的過程，了解瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，感受微積分在研究函數(shù)和解決實際問題中的作用，體會微積分的思想及其內(nèi)涵。微積分還有助于幫助學(xué)生解決一些實際生活中存在的問題，對于相關(guān)學(xué)科的理解學(xué)習(xí)也有幫助，從而開發(fā)學(xué)生在解決問題方面的能力，為學(xué)生解決問題積累經(jīng)驗教訓(xùn)。同時，鍛煉思維能力，也是微積分進入數(shù)學(xué)教育的目的之一。微積分中包含有重要的數(shù)學(xué)思想和解題的思維方法，這些思想和方法會促進學(xué)生辯證邏輯思維的形成。掌握了微積分的知識，更有利于學(xué)生從微積分的高度重新的角度認(rèn)識初等數(shù)學(xué)中的知識，這會加深學(xué)生的理解，更利于掌握初等數(shù)學(xué)，更明確清晰地了解其知識內(nèi)容。同時，有利于加深對數(shù)學(xué)知識的體驗，無論是初等數(shù)學(xué)知識還是高等數(shù)學(xué)知識他們都是有統(tǒng)一性存在的。通過學(xué)習(xí)這種更加靈活的思維模式，提高學(xué)生的思維能力。

三、微積分的作用以及對數(shù)學(xué)教育的影響

微積分的出現(xiàn)可以說推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展速度。微積分讓數(shù)學(xué)更生動，例如，微積分對于描述運動的事物有幾大幫助，可以描述變化的過程。甚至可以說，數(shù)學(xué)界因微積分的出現(xiàn)而發(fā)生了改變。微積分的出現(xiàn)不單單是推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時開創(chuàng)了許多新的數(shù)學(xué)分支，例如：微分方程、無窮級數(shù)、離散數(shù)學(xué)等等。這些新的分支不斷地推動著數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)教育中，微積分的不斷創(chuàng)新更利于學(xué)生在思維方面的不斷創(chuàng)新。使得數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)增添了更多的趣味性。微積分還對其他一些相關(guān)學(xué)科有促進作用。由于數(shù)學(xué)本就是工具學(xué)科，對自然學(xué)科等發(fā)展都有重要影響。對物理學(xué)的影響更是不言而喻，很多的物理學(xué)問題都要靠微積分作答。偉大的牛頓就是用微積分學(xué)及微分方程從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運動三大定律。除此之外還有很多就不一一列舉了。不可否認(rèn)微積分的出現(xiàn)對社會和科學(xué)都有巨大貢獻。而微積分在教育中的作用同樣不可忽視，微積分的出現(xiàn)是對數(shù)學(xué)教育的推動。它讓數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容更豐富，在教學(xué)中更具實用性。它使得數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活聯(lián)系的更緊密，更靈活，著更有助于加深高中生對微積分的印象和興趣。讓微積分不知不覺滲透到他們的生活與學(xué)習(xí)中。微積分對于研究變化規(guī)律十分有幫助，因此只要涉及到與變化有關(guān)的學(xué)科都可以用到微積分。在人類發(fā)展的進程中微積分做出了舉足輕重的貢獻。如今，微積分更是被應(yīng)用到各個行業(yè)，無論是社會還是經(jīng)濟的變化由于微積分有著不可分割的聯(lián)系。此外，微積分還參與著人們的日常生活，以及各種科技工程等。微積分在高中教學(xué)中出現(xiàn)，對于為國家輸送人才有很大幫助。這就體現(xiàn)了微積分在高中數(shù)學(xué)中的存在價值，雖然暫時來說微積分教育并不成熟，仍然存在很多不足，但綜上所述，微積分教育在高中數(shù)學(xué)教育中出現(xiàn)時有必要的。

摘要:2017版新課標(biāo)對高中微積分的內(nèi)容和要求做出了較大調(diào)整，使得在微積分教學(xué)時遇到了一定困難。本文以新課標(biāo)為出發(fā)點，歸納新課標(biāo)中關(guān)于微積分的內(nèi)容和要求的主要變化，揭示現(xiàn)階段高中生在學(xué)習(xí)微積分中存在的問題，并針對這些問題提出具體的教學(xué)建議和策略，為新課標(biāo)背景下高中微積分的教學(xué)提供一定思考和改革策略。

關(guān)鍵詞:新課程標(biāo)準(zhǔn)；微積分；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)

隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的不斷改革，微積分在高中階段越來越受到重視。教育部頒布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱新課標(biāo)），對微積分的教學(xué)提出了更高的要求。事實上，微積分中所蘊含的美育價值、思維價值和應(yīng)用價值，對高中生辯證思維的發(fā)展、解題思路的拓展和后續(xù)學(xué)習(xí)都有著十分重要的影響。因此，在新課標(biāo)下，高中微積分教學(xué)成為數(shù)學(xué)教師亟需思考和研究的新課題。微積分在高中數(shù)學(xué)中經(jīng)歷了多次改革，廣大數(shù)學(xué)教育工作者針對歷次改革的新內(nèi)容、新要求，對高中微積分教學(xué)提出了許多建議。如孟季和［1］在《中學(xué)微積分教材教法》中，對適應(yīng)1978年教學(xué)大綱改革的微積分教學(xué)的教法進行了探討；楊鐘玄［2］根據(jù)新《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》的改革情況，結(jié)合當(dāng)時數(shù)學(xué)課本弊端，提出要將數(shù)列極限的定義由抽象的“ε－N”符號語言改成更為直觀語言的建議；匡繼昌［3］尖銳地指出教學(xué)大綱刪去極限內(nèi)容的錯誤性，并表示這種無極限的導(dǎo)數(shù)模式不是創(chuàng)新，而是一種退步；李倩等［4］對課程標(biāo)準(zhǔn)中所列出的高中微積分內(nèi)容從教學(xué)價值、教學(xué)實施方面進行了不同的探討，認(rèn)為高中微積分教學(xué)要充分體現(xiàn)高中微積分和大學(xué)微積分對學(xué)生的不同要求，不能讓學(xué)生產(chǎn)生對運用微積分知識過度依賴的心理。因此，高中課程改革中微積分教學(xué)方法研究一直是數(shù)學(xué)教師教學(xué)研究的熱點課題。另一方面，雖然我國數(shù)學(xué)教育工作者關(guān)于高中微積分教學(xué)研究較為廣泛，但是在新課標(biāo)框架下，探討高中微積分教學(xué)的研究卻不多。本文首先總結(jié)歸納新課標(biāo)中微積分內(nèi)容及其要求變化，然后剖析高中生學(xué)習(xí)微積分普遍存在的問題，最后有針對性地提出在新課標(biāo)背景下高中微積分教學(xué)的幾點策略。

1新課標(biāo)中微積分內(nèi)容和要求的變化

新課標(biāo)對于微積分內(nèi)容和要求做出了較大調(diào)整，尤其是對于理工科學(xué)生，其在內(nèi)容的難度、深度、廣度以及學(xué)習(xí)目標(biāo)等方面都有很大的提高。表1以新課標(biāo)A類為例，比較了其與2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》的異同。經(jīng)過比較和分析，新標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于微積分的變化可歸納為以下三個方面：1．1注重與大學(xué)數(shù)學(xué)的接軌。在2003版的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，考慮到高中生的認(rèn)知水平，當(dāng)時我國高中數(shù)學(xué)涉及微積分的知識無論是從內(nèi)容的深度、廣度和難度上都較為淺顯。在世界范圍內(nèi)，相對于其他發(fā)達國家和部分地區(qū)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)微積分內(nèi)容，我國高中數(shù)學(xué)微積分內(nèi)容的難度排名也相對靠后［5］。從表1可看出，新課標(biāo)在微積分內(nèi)容和結(jié)構(gòu)上作出了調(diào)整。在內(nèi)容上，數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)函數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、定積分的理論知識部分有明顯的擴充和具體要求。在結(jié)構(gòu)上，逾越極限直接通過大量的實例來理解導(dǎo)數(shù)的概念，修改為先學(xué)極限，再從極限的基礎(chǔ)上給出導(dǎo)數(shù)這一數(shù)學(xué)定義，該教學(xué)結(jié)構(gòu)與大學(xué)微積分基本一致。另外，新課標(biāo)改善了高中和大學(xué)微積分內(nèi)容的斷點問題，在知識的建構(gòu)上逐步與大學(xué)微積分接軌，其課程的連貫性和延續(xù)性得到進一步增強。1．2注重數(shù)學(xué)符號語言的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)符號語言是一種簡潔、高效的思考與表達方式［6］。一直以來，關(guān)于是否在高中階段引入極限符號語言一直存在爭議。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）解讀》中明確指出高中學(xué)習(xí)極限的弊端：若按照先學(xué)極限再學(xué)導(dǎo)數(shù)的順序，極限的抽象概念會對理解導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)產(chǎn)生不利影響［7］。也有不少數(shù)學(xué)教育學(xué)者指出，高中極限內(nèi)容的刪減只會對學(xué)生理解微積分會產(chǎn)生障礙。新課標(biāo)再一次增設(shè)了極限內(nèi)容，對極限內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求由了解上升到理解的層面，不僅給出了極限的數(shù)學(xué)符號定義，并且要求學(xué)生掌握極限的相關(guān)性質(zhì)及其證明。此外，有關(guān)連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分的概念，新課標(biāo)也都給出了嚴(yán)格的定義和證明，這充分體現(xiàn)了新課標(biāo)對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)符號語言的表達能力的重視。1．3注重微積分的實際應(yīng)用。微積分是研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是解決其他領(lǐng)域技術(shù)的重要工具。新課標(biāo)更加強調(diào)借助幾何直觀和物理實際背景來引入微積分思想，并且對微積分的實際應(yīng)用能力提出了更高的要求。事實上，微積分在研究數(shù)學(xué)的函數(shù)變化、物理學(xué)的物體變速運動以及經(jīng)濟學(xué)的生產(chǎn)優(yōu)化等問題中起到關(guān)鍵作用。如在初等數(shù)學(xué)中，學(xué)生對于曲邊圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積的計算往往倍感無從下手，但從微積分的極限思想出發(fā)，將曲邊圖形和旋轉(zhuǎn)體劃分為無數(shù)個無限小的面積微元和體積微元，再近似求和，便能有效地推導(dǎo)出曲邊圖形和旋轉(zhuǎn)體積的求解公式。又如在物理的運動學(xué)問題中，對于常見的勻速直線運動等簡單的運動形式，學(xué)生往往能得心應(yīng)手，而對于變速直線運動來說，很多學(xué)生往往一籌莫展，但如果使用微積分工具便能很好地解決［8］。由此可見，提升微積分的實際應(yīng)用能力是適應(yīng)新時代數(shù)學(xué)教育發(fā)展，培養(yǎng)應(yīng)用型人才的有效手段。

2高中生學(xué)習(xí)微積分存在的問題

摘要：《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》指出，全面推進高校課程思政建設(shè)是落實立德樹人根本任務(wù)的戰(zhàn)略舉措。微積分課程思政的實施在于教師的引導(dǎo)和挖掘，教師在教學(xué)中堅持以學(xué)生為中心，做好頂層設(shè)計，實施寓教于樂，做到教書育人兩手抓，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)知識的同時，樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀。該文通過微積分知識點與課程思政元素的結(jié)合，實現(xiàn)微積分課程思政的有效開展。

關(guān)鍵詞：微積分；課程思政；教書育人

微積分作為一門典型的理工科專業(yè)基礎(chǔ)課程，對后續(xù)課程和專業(yè)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。正如李克強總理在2021年全國兩會上對青年學(xué)生說的幾句話：“不管你們將來從事什么職業(yè)、有什么樣的志向，一定要注意加強基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)，打牢基本功和培育創(chuàng)新能力是并行不悖的，樹高千尺，營養(yǎng)還在根部。把基礎(chǔ)打牢，將來就可以旁通，行行都可以寫出精彩”[2]。而微積分恰好就是這樣的一門基礎(chǔ)課。作為理、工、經(jīng)、管、文、法各專業(yè)的通識教育必修課，微積分是一門學(xué)時長、課時緊、內(nèi)容多、知識難的基礎(chǔ)課程。如何結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點，使微積分課堂教學(xué)與思想政治理論教學(xué)同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，實現(xiàn)全程、全方位育人的新理念呢？本文從以下幾個方面進行了探索：

1微積分課程思政的實施對教師的要求迫在眉睫

1.1專任教師正確認(rèn)識開展課程思政的必要性和緊迫性

2021年年初，一個網(wǎng)名叫“離燈冬眠”的25歲女生，因為游戲機被母親砸爛，選擇自殺離開這個世界，在遺書中說游戲是她人生唯一的追求和樂趣，失去了游戲就失去了人生的樂趣，這樣的案例讓教育工作者不得不思考，我們現(xiàn)在培養(yǎng)的部分大學(xué)生，專業(yè)知識有了，但是世界觀、人生觀、價值觀嚴(yán)重偏離人生正確的軌道，大學(xué)畢業(yè)就失去了人生目標(biāo)和崇高理想。因此，在專業(yè)教學(xué)中開展課程思政，幫助學(xué)生樹立正確的“三觀”，不但必要而且迫在眉睫。作為一名高校數(shù)學(xué)教師，不但要傳授數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)技能，還要通過課堂思政教會學(xué)生如何做人、做事，形成正確的“三觀”，摒棄“思政教育是思政教師的工作，思政教育跟數(shù)學(xué)教學(xué)沒有關(guān)系”的錯誤思想，把課堂思政真正落到實處，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)知識的同時，接受思想政治教育，真正成長為有理想、有信念的時代新人[3]。

一、符號邏輯：“通用數(shù)學(xué)語言”

萊布尼茨對數(shù)學(xué)問題的最早探索和最初貢獻是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構(gòu)所謂的“通用語言”。這種語言是一種用來代替自然語言的人工語言，它通過字母和符號進行邏輯分析與綜合，把一般邏輯推理的規(guī)則改變?yōu)檠菟阋?guī)則，以便更精確更敏捷地進行推理。（［1］，p．8）或者說，“通用語言”是一套表達思想和事物的符號系統(tǒng)，利用這些符號可以進行演算并推出各種知識。在《論組合術(shù)》中，二十歲的萊布尼茨曾立志要創(chuàng)設(shè)“一個一般的方法，在這個方法中所有推理的真實性都要簡化為一種計算。同時，這會成為一種通用語言或文字，但與那些迄今為止設(shè)想出來的全然不同；因為它里面的符號甚至詞匯要指導(dǎo)推理；錯誤，除去那些事實上的錯誤，只會是計算上的錯誤。形成或者發(fā)明這種語言或者記號會是非常困難的，但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它?！保ǎ?］，p．123）在1679年9月8日給惠更斯的信中他又寫道，有一個“完全不同于代數(shù)的新符號語言，它對于精確而自然地在腦子里再現(xiàn)（不用圖形）依賴于想象的一切有很大的好處?！闹饕в迷谟谀軌蛲ㄟ^記號〔符號〕的運算完成結(jié)論和推理，這些記號不經(jīng)過非常精細(xì)的推敲或使用大量的點和線會把它們混淆起來，因而不得不作出無窮多個無用的試驗；另一方面，這個方法會確切而簡單地導(dǎo)向〔所需要的〕結(jié)果。我相信力學(xué)差不多可以象幾何學(xué)一樣用這種方法去處理。”（［3］，p．151～152）

綜合萊布尼茨零零碎碎的設(shè)想，他的宏偉規(guī)劃大體旨在創(chuàng)造兩種工具：其一是通用語言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除現(xiàn)存語言的局限性和不規(guī)則性，使新語言變成世界上人人會用的具有簡明符號、合理規(guī)則的語言，規(guī)定符號的演變規(guī)則與運算規(guī)則，使邏輯演變依照一條明確的道路進行下去，進而解決所有可用語言表達的問題。

為此，萊布尼茨做了兩方面的努力：一是尋找能夠代表所有概念并可認(rèn)作最根本的不可分析的符號；二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯(lián)結(jié)等形式概念的設(shè)計。關(guān)于第一方面，萊布尼茨首次設(shè)想用數(shù)目代表原初概念，而邏輯演算則用如同算術(shù)中的乘或除來代替。他認(rèn)為用這種數(shù)字的不同方式排列組合，進行各種運算，就可產(chǎn)生無窮多的復(fù)合概念。這一思想后來改進為以素數(shù)代表基本概念，而復(fù)合詞項即可借分解相應(yīng)的數(shù)字成為它們的素數(shù)因子來加以分析。以“人是理智動物”為例，用素數(shù)“3”代表“動物”、“5”代表“理智”，則“人”即以“15＝3．5”代表。為了更好地構(gòu)設(shè)“通用語言”，萊布尼茨又以設(shè)想的“人類概念字母表”為語言詞匯基礎(chǔ)創(chuàng)制了一些邏輯符號，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下來。

關(guān)于第二方面，萊布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三個年代為標(biāo)志劃分為三個階段。（［4］，pp．271～273）

第一階段，萊布尼茨改進從數(shù)字代替概念以其演算，代之以對普通命題經(jīng)驗分析為基礎(chǔ)的代數(shù)邏輯。他以全稱肯定命題“a是b”的形式開始，提出五條基本演算規(guī)則：（1）ab是ba（交換律）；（2）a是aa（重言律）；（3）a是a（同一原則）；（4）ab是a或ab是b（化簡原則）；（5）如a是b且b是c，則a是c（傳遞原則）。以此為據(jù)，他證明了同一和包含兩個邏輯系詞之間的重要關(guān)系，即，如a是b且b是a，則a與b是同一的。進而，他又提出四個定理：（1）如a是b且a是c，則a是bc；（2）如a是bc，則a是b且a是c；（3）如a是b，則ac是bc；（4）如a是b且c是d，則ac是bd。由此可見，萊布尼茨在第一階段的邏輯演算已相當(dāng)完善和科學(xué)化，為邏輯的系統(tǒng)化打下了堅實的基礎(chǔ)。

戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1646～1716）對數(shù)學(xué)有兩項突出貢獻：發(fā)明了符號邏輯和微積分。由于這兩項成就分屬不同的數(shù)學(xué)分支，人們也往往將其看作萊布尼茨的兩種不同工作，忽視了它們之間的一致性，這為研究萊布尼茨的數(shù)學(xué)思想、完整地理解數(shù)學(xué)史和科學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律帶來不少困難。本文的目的就是試圖理解的揭示這種一致性。

一、符號邏輯：“通用數(shù)學(xué)語言”

萊布尼茨對數(shù)學(xué)問題的最早探索和最初貢獻是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構(gòu)所謂的“通用語言”。這種語言是一種用來代替自然語言的人工語言，它通過字母和符號進行邏輯分析與綜合，把一般邏輯推理的規(guī)則改變?yōu)檠菟阋?guī)則，以便更精確更敏捷地進行推理。（［1］，p．8）或者說，“通用語言”是一套表達思想和事物的符號系統(tǒng)，利用這些符號可以進行演算并推出各種知識。在《論組合術(shù)》中，二十歲的萊布尼茨曾立志要創(chuàng)設(shè)“一個一般的方法，在這個方法中所有推理的真實性都要簡化為一種計算。同時，這會成為一種通用語言或文字，但與那些迄今為止設(shè)想出來的全然不同；因為它里面的符號甚至詞匯要指導(dǎo)推理；錯誤，除去那些事實上的錯誤，只會是計算上的錯誤。形成或者發(fā)明這種語言或者記號會是非常困難的，但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它。”（［2］，p．123）在1679年9月8日給惠更斯的信中他又寫道，有一個“完全不同于代數(shù)的新符號語言，它對于精確而自然地在腦子里再現(xiàn)（不用圖形）依賴于想象的一切有很大的好處。……它的主要效用在于能夠通過記號〔符號〕的運算完成結(jié)論和推理，這些記號不經(jīng)過非常精細(xì)的推敲或使用大量的點和線會把它們混淆起來，因而不得不作出無窮多個無用的試驗；另一方面，這個方法會確切而簡單地導(dǎo)向〔所需要的〕結(jié)果。我相信力學(xué)差不多可以象幾何學(xué)一樣用這種方法去處理。”（［3］，p．151～152）

綜合萊布尼茨零零碎碎的設(shè)想，他的宏偉規(guī)劃大體旨在創(chuàng)造兩種工具：其一是通用語言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除現(xiàn)存語言的局限性和不規(guī)則性，使新語言變成世界上人人會用的具有簡明符號、合理規(guī)則的語言，規(guī)定符號的演變規(guī)則與運算規(guī)則，使邏輯演變依照一條明確的道路進行下去，進而解決所有可用語言表達的問題。

為此，萊布尼茨做了兩方面的努力：一是尋找能夠代表所有概念并可認(rèn)作最根本的不可分析的符號；二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯(lián)結(jié)等形式概念的設(shè)計。關(guān)于第一方面，萊布尼茨首次設(shè)想用數(shù)目代表原初概念，而邏輯演算則用如同算術(shù)中的乘或除來代替。他認(rèn)為用這種數(shù)字的不同方式排列組合，進行各種運算，就可產(chǎn)生無窮多的復(fù)合概念。這一思想后來改進為以素數(shù)代表基本概念，而復(fù)合詞項即可借分解相應(yīng)的數(shù)字成為它們的素數(shù)因子來加以分析。以“人是理智動物”為例，用素數(shù)“3”代表“動物”、“5”代表“理智”，則“人”即以“15＝3．5”代表。為了更好地構(gòu)設(shè)“通用語言”，萊布尼茨又以設(shè)想的“人類概念字母表”為語言詞匯基礎(chǔ)創(chuàng)制了一些邏輯符號，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下來。

關(guān)于第二方面，萊布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三個年代為標(biāo)志劃分為三個階段。（［4］，pp．271～273）