導(dǎo)語：正弦和余弦數(shù)學(xué)教案一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

教學(xué)建議

1.知識結(jié)構(gòu)：本小節(jié)主要學(xué)習(xí)正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一個(gè)銳角的正弦(余弦)值與它的余角的余弦(正弦)值之間的關(guān)系，以及應(yīng)用上述知識解決一些簡單問題(包括引言中的問題)等.

2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

(1)正弦、余弦函數(shù)的定義是本節(jié)的重點(diǎn)，因?yàn)樗侨履酥琳麄€(gè)三角學(xué)的預(yù)備知識.有了正弦、余弦函數(shù)的定義，再學(xué)習(xí)正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函數(shù)便都有了基礎(chǔ).

(2)正弦、余弦的概念隱含著角度與數(shù)值之間有一一對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)思想，并且用含有幾個(gè)字母的符號組sinA，cosA來表示，學(xué)生過去未接觸過，所以正弦、余弦的概念是難點(diǎn).

3.理解一個(gè)銳角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函數(shù)的核心.

銳角的正弦、余弦值是這樣規(guī)定的：當(dāng)一個(gè)銳角確定了，那么這個(gè)銳角所在的直角三角形雖然有無窮多個(gè)，但它們都是彼此相似的.如上圖，當(dāng)確定時(shí)，包含的直角三角形有無窮多個(gè)，但它們彼此相似：

∽∽∽……因此，由于相似三角形的對應(yīng)邊成比例，所以這些三角形的對應(yīng)邊的比都是相等的.

這就是說，每當(dāng)一個(gè)銳角確定了，包含這個(gè)角的直角三角形的上述2種比值也就唯一確定了，它們有確定不變的對應(yīng)關(guān)系.為了簡單地表達(dá)這些對應(yīng)關(guān)系，我們引入了正(余)弦的說法，創(chuàng)造了sin和cos這樣的符號.

應(yīng)當(dāng)注意：單獨(dú)寫出三角函數(shù)的符號或cos等是沒有意義的.因?yàn)樗鼈冸x開了確定的銳角是無法顯示出它的含義;另一方面，這些符號和角寫在一起時(shí)(如)，它表示的就不再是角，而是一個(gè)特定的三角形的兩條邊的比值了(如).真正理解并掌握這些，才真正掌握了這些符號的含義，才能正確地運(yùn)用它們.

4.我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會認(rèn)識任何位置的直角三角形中的一個(gè)銳角的正弦、余弦的表達(dá)式.

我們不僅應(yīng)當(dāng)熟練掌握如圖那樣的標(biāo)準(zhǔn)位置的直角三角形的正弦、余弦的表達(dá)式，而且能熟練地寫出無論怎樣放置的直角三角形的正弦、余弦的表達(dá)式.如，如圖所示，若，則有

有的直角三角形隱藏在更復(fù)雜的圖形中，我們也應(yīng)能正確地寫出所需要的三角函數(shù)表達(dá)式，如圖中，ABCD是梯形，，作，我們應(yīng)正確地寫出如下的三角函數(shù)關(guān)系式：

很顯然，這些表達(dá)式提供給我們豐富的邊與角間的數(shù)量關(guān)系.

5.特殊角的正弦、余弦值既容易導(dǎo)出，也便于記憶，應(yīng)當(dāng)熟悉掌握它們.

利用勾股定理，很容易求出含有或角的直角三角形三邊的比;如圖(1)和圖(2)所示.

根據(jù)定義，有

另一方面，可以想像，當(dāng)時(shí)，邊與AC重合(即)，所以

當(dāng)時(shí)，邊AB與CB重合(即AB=CB)，AC的長縮小為0，于是，有

把以上結(jié)果可以集中列出下面的表：

01

10

6.教法建議：

(1)聯(lián)系實(shí)際，提出問題

通過修建揚(yáng)水站時(shí)，要沿斜坡鋪設(shè)水管而提出要求水管最頂端離地面高度的問題，第一步把這問題歸結(jié)于直角三角形中，第二步，再把這個(gè)問題歸于直角三角形中，已知一個(gè)銳角和斜邊的長，求這個(gè)銳角所對直角邊的一個(gè)幾何問題.同時(shí)指出在這種情況下，用已學(xué)過的勾股定理是解決不了的.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生探索新途徑，迫切需要學(xué)習(xí)新知識的積極性.在這章的第一節(jié)課，應(yīng)抓住這個(gè)具有教育性，富于啟發(fā)性的有利開端，為引進(jìn)本章的重要內(nèi)容：銳角三角函數(shù)作了十分必要的準(zhǔn)備.

(2)動手度量、總結(jié)規(guī)律、給出定義以含的三角板為例讓學(xué)生對大小不同的三角板進(jìn)行度量，并引導(dǎo)學(xué)生得出規(guī)律：，再進(jìn)一步對含的三角板進(jìn)行度量，在探索同樣的內(nèi)容時(shí)，要用到勾股定理，又類似地得到，所有的這種等腰直角三角形中，都會得到,這時(shí)，應(yīng)當(dāng)即給出的正弦的定義及符號，即，再對照圖形，分別用a、b、c表示、、的對邊，得出及，就這樣非常簡潔地得到銳角三角函數(shù)的第一個(gè)定義，應(yīng)充分利用課本中這種簡練的處理手段，使學(xué)生建立起銳角三角函數(shù)的概念.

(3)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)

“解直角三角形”編在幾何教材中，突出了它的幾何特點(diǎn)，但這只是從知識的系統(tǒng)性方面講的，使它與幾何前后知識可關(guān)系更緊密，便于學(xué)生理解和掌握，并沒有改變它形數(shù)結(jié)合的本質(zhì)，因此教學(xué)中要充分利用這部分教材，幫助學(xué)生掌握用代數(shù)方法解決幾何問題的方法，提高在幾何問題中注意運(yùn)用代數(shù)知識的能力.

第一課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生知道當(dāng)直角三角形的銳角固定時(shí)，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也都固定這一事實(shí)。

2.逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力。

3.引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

二、學(xué)法引導(dǎo)

1.教學(xué)方法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和探索研究相結(jié)合，嘗試成功教法。

2.學(xué)生學(xué)法：在教師的指導(dǎo)下，積極思維，相互討論，動手感知，探索新知。

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法

1.重點(diǎn)：使學(xué)生知道當(dāng)銳角固定時(shí)，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事實(shí)。

2.難點(diǎn)：學(xué)生很難想到對任意銳角，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的事實(shí)，關(guān)鍵在于教師引導(dǎo)學(xué)生比較、分析，得出結(jié)論。

3.疑點(diǎn)：無論直角三角形的銳角為何值，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的。

4.解決辦法：教師引導(dǎo)學(xué)生比較、分析、討論，解決重難點(diǎn)和疑點(diǎn)。

四、教具準(zhǔn)備

自制投影片，一副三角板

五、教學(xué)步驟

(一)明確目標(biāo)

1.如圖，長5米的梯子架在高為3米的墻上，則、間距離為多少米?

2.長5米的梯子以傾斜角為30°靠在墻上，則、間的距離為多少?

3.若長5米的梯子以傾斜角40°架在墻上，則、間距離為多少?

4.若長5米的梯子靠在墻上，使、間距離為2米，則傾斜角為多少度?

前兩個(gè)問題學(xué)生很容易回答，這兩個(gè)問題的設(shè)計(jì)主要是引起學(xué)生的回憶，并使學(xué)生意識到，本章要用到這些知識，但后兩個(gè)問題的設(shè)計(jì)卻使學(xué)生感到疑惑，這對初三年級這些好奇、好勝的學(xué)生來說，起到激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的作用，同時(shí)使學(xué)生對本章所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的特點(diǎn)有一個(gè)初步的了解，有些問題單靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知識是不能解決的，解決這類問題，關(guān)鍵在于找到一種新方法，求出一條邊或一個(gè)未知銳角，只要做到這一點(diǎn)，有關(guān)直角三角形的其他未知邊角就可用學(xué)過的知識全部求出來。

通過四個(gè)例子引出課題。

(二)整體感知

1.請每一位同學(xué)拿出自己的三角板，分別測量并計(jì)算30°、45°、60°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值。

學(xué)生很快便會回答結(jié)果：無論三角尺大小如何，其比值是一個(gè)固定的值，程度較好的學(xué)生還會想到，以后在這些特殊直角三角形中，只要知道其中一邊長，就可求出其他未知邊的長。

2.請同學(xué)畫一個(gè)含40°角的直角三角形，并測量、計(jì)算40°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值，學(xué)生又高興地發(fā)現(xiàn)，不論三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分學(xué)生可能會想到

，當(dāng)銳角取其他固定值時(shí)，其對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的嗎?

這樣做，在培養(yǎng)學(xué)生動手能力的同時(shí)，也使學(xué)生對本節(jié)課要研究的知識有了整體感知，喚起學(xué)生的求知欲，大膽地探索新知。

(三)教學(xué)過程

1.通過動手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生會猜想到“無論直角三角形的銳角為何值，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的”，但是怎樣證明這個(gè)命題呢?學(xué)生這時(shí)的思維很活躍，對于這個(gè)問題，部分學(xué)生可能能解決它，因此教師此時(shí)應(yīng)讓學(xué)生展開討論，獨(dú)立完成。

2.學(xué)生經(jīng)過研究，也許能解決這個(gè)問題.若不能解決，教師可適當(dāng)引導(dǎo)：

若一組直角三角形有一個(gè)銳角相等，可以把其頂點(diǎn)，，重合在一起，記作，并使直角邊，，……落在同一條直線上，則斜邊，，……落在另一條直線上，這樣同學(xué)們能解決這個(gè)問題嗎?引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立證明：易知，……，∴∽∽∽……，∴，，因此，在這些直角三角形中，的對邊、鄰邊與斜邊的比值，是一個(gè)固定值。

通過引導(dǎo)，使學(xué)生自己獨(dú)立掌握了重點(diǎn)，達(dá)到知識教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生能力，進(jìn)行了德育滲透。

而前面導(dǎo)課中動手實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，實(shí)際上為突破難點(diǎn)而設(shè)計(jì)。這一設(shè)計(jì)同時(shí)起到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的作用。

3.練習(xí)：教科書P3練習(xí)。此題為作了孕伏，同時(shí)使學(xué)生知道任意銳角的對邊與斜邊的比值都能求出來。

(四)總結(jié)、擴(kuò)展

1.引導(dǎo)學(xué)生作知識總結(jié)：本節(jié)課在復(fù)習(xí)勾股定理及含30°角直角三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)上，通過動手實(shí)驗(yàn)、證明，我們發(fā)現(xiàn)，只要直角三角形的銳角固定，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的。

教師可適當(dāng)補(bǔ)充：本節(jié)課經(jīng)過同學(xué)們自己動手實(shí)驗(yàn)，大膽猜測和積極思考，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的結(jié)論，相信大家的邏輯思維能力又有所提高，希望大家發(fā)揚(yáng)這種創(chuàng)新精神，變被動學(xué)知識為主動發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識。

2.擴(kuò)展：當(dāng)銳角為30°時(shí)，它的對邊與斜邊比值我們知道，今天我們又發(fā)現(xiàn)，銳角任意時(shí)，它的對邊與斜邊的比值也是固定的，如果知道這個(gè)比值，已知一邊求其他未知邊的問題就迎刃而解了，看來這個(gè)比值很重要，下節(jié)課我們就著重研究這個(gè)“比值”，有興趣的同學(xué)可以提前預(yù)習(xí)一下，通過這種擴(kuò)展，不僅對下、余弦概念有了初步印象，同時(shí)又激發(fā)了學(xué)生的興趣。

六、布置作業(yè)

本節(jié)課內(nèi)容較少，而且是為正、余弦概念打基礎(chǔ)的，因此課后應(yīng)要求學(xué)生預(yù)習(xí)正余弦概念。

七、板書設(shè)計(jì)

第二課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生初步了解正弦、余弦概念;能夠較正確地用、表示直角三角形中兩邊的比;熟記特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根據(jù)這些值說出對應(yīng)的銳角度數(shù).

2.逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括的思維能力.

3.滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的運(yùn)動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn).

二、學(xué)法引導(dǎo)

1.教學(xué)方法：指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)探索法.

2.學(xué)生學(xué)法：自主、合作、探究式學(xué)習(xí).

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1.教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生了解正弦、余弦概念.

2.教學(xué)難點(diǎn)：用含有幾個(gè)字母的符號組、表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.

3.疑點(diǎn)：銳角的正弦、余弦值的范圍.

4.解決辦法：通過舊知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，采用從特殊到一般的方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，從而解決重難點(diǎn)及疑點(diǎn).

四、教具準(zhǔn)備

三角板一副

五、教學(xué)步驟

(一)明確目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生回憶“直角三角形銳角固定時(shí)，它的對與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也是固定的.”

2.明確目標(biāo)：這節(jié)課我們將研究直角三角形一銳角的對邊、鄰邊與斜邊的比值—正弦和余弦.

(二)整體感知

當(dāng)直角三角形有一銳角為30°時(shí)，它的對邊與斜邊的比值為，只要知道三角形任一邊長，其他兩邊就可知.

而上節(jié)課我們發(fā)現(xiàn)，只要直角三角形的銳角固定，它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值也固定，這樣只要能求出這個(gè)比值，那么求直角三角形未知邊的問題也就迎刃而解了.

通過與“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”相類比，學(xué)生自然產(chǎn)生想學(xué)習(xí)的欲望，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)對以下要研究的內(nèi)容有了大體印象.

(三)教學(xué)過程

正弦、余弦的要領(lǐng)是全章知識的基礎(chǔ)，對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與工作都十分重要，因此確定它為本課重點(diǎn)，同時(shí)正、余弦概念隱含角度與數(shù)之間具有一一對應(yīng)的函數(shù)思想，又用含幾個(gè)字母的符號組來表示，因此概念也是難點(diǎn).

在上節(jié)課研究的基礎(chǔ)上，引入正、余弦，“把對邊、鄰邊與斜邊的比值稱做正弦、余弦”.如圖

請學(xué)生結(jié)合圖形敘述正弦、余弦定義，以培養(yǎng)學(xué)生概括能力及語言表達(dá)能力，教師板書：在中，為直角，我們把銳角的對邊與余邊的比叫做的正弦，記作，銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作.

.

若把的對邊記作，鄰邊記作，斜邊記作，則，.

引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng)為銳角時(shí)，、的值會在什么范圍內(nèi)?得結(jié)論，(為銳角)，這個(gè)問題對于較差學(xué)生來說有些難度，應(yīng)給學(xué)生充分思考時(shí)間，同時(shí)這個(gè)問題也使學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來.

教材例1的設(shè)置是為了鞏固正弦概念，通過教師示范，使學(xué)生會求正弦，這里不妨增問“、”，經(jīng)過反復(fù)強(qiáng)化，使全體學(xué)生都達(dá)到目標(biāo)，更加突出重點(diǎn).

【例1】求出如下圖所示的中的、和、的值.

解：(1)∵斜邊，

∴，.

，.

(2)，.

，

∴，.

學(xué)生練習(xí)教材P6～7中1、2、3題.

讓每個(gè)學(xué)生畫含30°、45°的直角三角形，分別求、、和、、.這一練習(xí)既用到以前的知識，又鞏固正弦、余弦的概念，經(jīng)過學(xué)習(xí)親自動筆計(jì)算后，對特殊角三角函數(shù)值印象很深刻.

，，.

，，.

【例2】求下列各式的值：

(1);(2).

解：(1).

(2).

這了使學(xué)生熟練掌握特殊角三角函數(shù)值，這里還應(yīng)安排六個(gè)小題：

(1);(2);

(3);(4).

(5)若，則銳角.

(6)若，則銳角.

在確定每個(gè)學(xué)生都牢記特殊角的三角函數(shù)值后，引導(dǎo)學(xué)生思考，“請大家觀察特殊角的正弦和余弦值，猜測一下，大概在什么范圍內(nèi)，呢?”這樣的引導(dǎo)不僅培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、注意力，而且培養(yǎng)學(xué)生勇于思考、大膽創(chuàng)新的精神，還可以進(jìn)一步請成績較好的同學(xué)用語言來敘述“銳角的正弦值隨角度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小”.

(四)總結(jié)、擴(kuò)展

首先請學(xué)生作小結(jié)，教師適當(dāng)補(bǔ)充，“主要研究了銳角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的兩邊可求其銳角的正、余弦值，知道任意銳角A的正、余弦值都在0～1之間，即

，(為銳角).

還發(fā)現(xiàn)的兩銳角、，，，正弦值隨角度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小”.

六、布置作業(yè)

教材P10中2，3.

預(yù)習(xí)下一課內(nèi)容.

補(bǔ)充：(1)若，則銳角.

(2)若，則銳角.