導(dǎo)語(yǔ)：詮釋傅里葉分析用于熱傳輸因素一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

〔摘要〕傅里葉分析是一種重要的數(shù)學(xué)工具，本文綜述了用傅里葉分析解決細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題，并進(jìn)行了討論。傅里葉分析包括傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分，用傅里葉級(jí)數(shù)法解決有界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題，用含參數(shù)的傅里葉變換法解決無(wú)界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題，比其它方法更系統(tǒng)，體現(xiàn)出一種數(shù)學(xué)與物理對(duì)應(yīng)的美感。

〔關(guān)鍵詞〕傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉積分傅里葉變換細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題

引言

1822年，傅里葉在研究熱傳導(dǎo)問題時(shí)，創(chuàng)造了傅里葉分析，隨著時(shí)代的進(jìn)步，這一數(shù)學(xué)工具被廣泛地應(yīng)用于信號(hào)分析、匹配濾波、圖象處理等方面,掌握這種具有廣泛用途和發(fā)展前景的工具是十分必要的.熱傳導(dǎo)是歷來(lái)研究的熱點(diǎn)，尤其是隨著計(jì)算機(jī)電子設(shè)備的高集成化發(fā)展，機(jī)器內(nèi)發(fā)熱部件和集成電路元件的發(fā)熱量隨之增加，傳統(tǒng)的強(qiáng)制冷方式已不能達(dá)到理想效果，因此，熱傳導(dǎo)設(shè)計(jì)成了重要問題。萬(wàn)變不離其宗，為了更好地掌握傅里葉分析，為了更好地掌握熱傳導(dǎo)問題，本文就一維熱傳導(dǎo)問題對(duì)傅里葉分析作了全面詳盡的論述。

1.傅里葉分析

1.1傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù)在應(yīng)用上有以下優(yōu)點(diǎn)：能表示不連續(xù)的函數(shù)、周期函數(shù)，能對(duì)任意函數(shù)作調(diào)和分析。

若函數(shù)以為周期，即(1.1.1)則可取三角函數(shù)族

1，cos,cos,…cos，…

sin,sin,…sin，…(1.1.2)

作為基本函數(shù)族，將展開為級(jí)數(shù)

=+cos+cos)(1.1.3)

可以證明，函數(shù)族（1.1.2）是正交完備的。根據(jù)三角函數(shù)族的正交性，可求得（1.1.3）中的展開系數(shù)為（1.1.4）

其中(1.1.3)稱為周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式，其中的展開系數(shù)（1.1.4）稱為傅里葉系數(shù)。關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性問題，有Dirichlet定理。

若周期函數(shù)是奇函數(shù)，則由傅里葉系數(shù)計(jì)算公式（1.1.4）可見，及諸均等于零，展開式(1.1.3)為=,(1.1.5)

這叫做傅里葉正弦級(jí)數(shù)。由于對(duì)稱性，其展開系數(shù)為（1.1.6）

同理，若周期函數(shù)是偶函數(shù)，則=+(1.1.7)

這叫做傅里葉余弦級(jí)數(shù)，其中，（1.1.8）

對(duì)于只在有限區(qū)間，例如在上有定義的函數(shù),可采取延拓的方法，使其成為某種周期函數(shù)，而在上，。然后再對(duì)作傅里葉級(jí)數(shù)展開，其級(jí)數(shù)和在區(qū)間上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l無(wú)定義，因此可以有無(wú)數(shù)種延拓方式，因而有無(wú)數(shù)種展開式，它們?cè)谏暇?有時(shí)，對(duì)函數(shù)在邊界（區(qū)間的端點(diǎn)）上的行為提出限制，即滿足一定的邊界條件，這常常就決定了如何延拓。例如要求這時(shí)應(yīng)延拓為奇的周期函數(shù)，因?yàn)?/p>

sin│=0,sin∣=0;

又如要求這時(shí)應(yīng)延拓為偶的周期函數(shù)，因?yàn)橛嘞壹?jí)數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)在和為零。

對(duì)于函數(shù)u(x,t),-l<x<l,t≥0,展開為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，可將t視為參數(shù)，僅關(guān)于x展開為傅里葉級(jí)數(shù)

u(x,t)=a(t)+)(1.1.9)

其中的展開系數(shù)不是常數(shù)，而是關(guān)于t的函數(shù)，(1.1.10)

1.2傅里葉積分

一般說(shuō)來(lái)，定義在區(qū)間（-∞<x<∞）上的函數(shù)f(x)是非周期的，不能展開為傅里葉級(jí)數(shù)。為了研究這樣的函數(shù)的傅里葉展開問題，我們采取如下辦法：試將非周期函數(shù)f(x)看作是某個(gè)周期函

數(shù)g(x)于周期2l→∞時(shí)的極限情形。這樣，g(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式

g(x)=+)

在l→∞時(shí)的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù)的傅里葉展開。仔細(xì)研究這一極限過程，可以得到：

f(x)=(1.2.1)

其中

A(ω)=f(ξ)cosωξdξ

B(ω)=f(ξ)sinωξdξ(1.2.2)

(1.2.1)右邊的積分稱為傅里葉積分，(1.2.1)稱為非周期函數(shù)f(x)的傅里葉積分表達(dá)式。(1.2.2)稱為f(x)的傅里葉變換式。對(duì)f(x)的條件，有傅里葉積分定理。復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分為:

f(x)=F(ω)dω(1.2.3)

F(ω)=f(x)dx(1.2.4)

1.3含參數(shù)的傅里葉變換

對(duì)于函數(shù)u(x,t),(-∞<x<∞,t≥0),可將t視為參數(shù)，僅將x成為自變量，則與一元函數(shù)f(x)的傅里葉展開類似可得：

u(x,t)=F(ω,t)dω(1.3.1)

其中

F(ω,t)=u(x,t)dx(1.3.2)

(1.3.1)是u(x,t)傅里葉積分表達(dá)式，(1.3.2)是u(x,t)的傅里葉變換式。

2．細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題

由于溫度不均勻，熱量從溫度高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象叫做熱傳導(dǎo)。在細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題中研究的是溫度在一維空間中的分布和在時(shí)間中的變化u(x,t)。應(yīng)用熱傳導(dǎo)定理和能量守恒定律，可導(dǎo)出可導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程：

(無(wú)熱源、匯)

(有熱源、匯)

還需初始條件

u(x,t)|=(x)

和三類邊界條件：

第一類u(x,t)|=ψ(t)

第二類u(x,t)|=ψ(t)

第三類u(x,t)|+Hu(x,t)|=ψ(t)

這樣構(gòu)成完整的一維熱傳導(dǎo)問題。根據(jù)空間變量的范圍可分為以下兩種細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題。

2.1有界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題

這里僅選第二類邊界條件作討論，構(gòu)成(2.1.1)

2.2無(wú)界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題(2.2.1)

對(duì)半無(wú)界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題，根據(jù)邊界條件延拓到無(wú)界，轉(zhuǎn)化為無(wú)界細(xì)桿的定解問題。對(duì)第一類齊次邊界條件的定解問題（x>0,t>0）=0=(x)作奇延拓=對(duì)第二類邊界條件（x>0,t>0）

=(x)作偶延拓=

3．傅里葉分析應(yīng)用于細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題

3.1用傅里葉級(jí)數(shù)法解決有界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題

傅里葉級(jí)數(shù)法是直接求解非齊次方程的定解問題。對(duì)問題(2.1.1)，把所求解u(x,t)本身展開為傅里葉級(jí)數(shù)，基本函數(shù)族應(yīng)是相應(yīng)齊次方程

在第二類齊次邊界條件下的本征函數(shù)：cos(0,1,2,…),這樣試把所求解展開為傅里葉余弦級(jí)數(shù)u(x,t)=(3.1.1)

把這個(gè)級(jí)數(shù)代入泛定方程，＝f(x,t)(3.1.2)

方程左邊是傅里葉余弦級(jí)數(shù)，提示我們把方程右邊也展開為傅里葉余弦級(jí)數(shù)，得到：(3.1.3)

其中為的傅里葉余弦級(jí)數(shù)的第n個(gè)傅里葉系數(shù)。比較兩邊的系數(shù)，分離出（t）的常微分方程=(3.1.4)

又把（3.1.1）代入初始條件，得：==(3.1.5)

其中為的傅里葉余弦級(jí)數(shù)的第n個(gè)傅里葉系數(shù)。(3.1.5)式兩邊都是傅里葉余弦級(jí)數(shù)，由于基本函數(shù)族的正交性，等式兩邊對(duì)應(yīng)同一基本函數(shù)的傅里葉系數(shù)必然相等，于是得(t)的非零初始條件(3.1.7)

(t)的常微分方程（求解）在初始條件（3.1.7）下的解是

(t)=(3.1.8)

這樣所求解是=}(3.1.9)

可以證明(3.1.9)是存在且唯一的.

3.2用傅里葉變換法求解無(wú)界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題

對(duì)問題(2.2.1)應(yīng)用含參數(shù)的傅里葉變換，即用不著遍乘方程及定解條件各項(xiàng)，并對(duì)空間變數(shù)x積分（時(shí)間變數(shù)視作參數(shù)），原來(lái)的定解問題變成(3.2.1)

其中為u(x,t)的傅里葉變換。為求解這個(gè)非齊次常微方程，用遍乘方程各項(xiàng)，得：

對(duì)t積分一次，計(jì)及零初始值，==

進(jìn)行傅里葉逆變換，=]•dk

交換積分次序=[]

引用積分公式=

可得結(jié)果=(3.2.2))

可以驗(yàn)證(3.2.2)確實(shí)符合(2.2.1).有熱源或熱匯的熱傳導(dǎo)問題，即泛定方程是齊次的，求解更容易。

4.討論

4.1一維熱傳導(dǎo)問題方法和結(jié)論的推廣

用傅里葉分析法解決細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題，以及得到的結(jié)論均可推廣到二維、三維空間，用到的理論基礎(chǔ)是二、三重傅里葉級(jí)數(shù)和二、三重傅里葉變換，求解過程與一維類似。

4.2傅里葉分析應(yīng)用于其它定解問題

用傅里葉分析法求解熱傳導(dǎo)問題時(shí)，只是對(duì)所求解進(jìn)行了傅里葉展開或變換，并未對(duì)方程限制，常見的其它定解問題：振動(dòng)問題，擴(kuò)散問題等均可用傅里葉分析法。

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