導(dǎo)語：懷特海智力發(fā)展對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：程式化、僵化的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程越來越難以適應(yīng)小學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展需要，其主要問題是教師在準(zhǔn)備階段對學(xué)生的日常數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗與興趣關(guān)切不夠，實施階段對數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)教育價值缺乏深刻認(rèn)識和思考，延伸階段未能清楚滲透數(shù)學(xué)知識的真正用途。對應(yīng)懷特海智力發(fā)展的“浪漫—精確—綜合應(yīng)用”三節(jié)奏說，改進(jìn)教學(xué)過程的準(zhǔn)備、實施、延伸三階段，采取在準(zhǔn)備階段重視日常數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗教學(xué)、實施階段突出數(shù)學(xué)概念本質(zhì)教學(xué)、延伸階段注重數(shù)學(xué)思維教學(xué)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)人文、數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)思想等核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)過程；懷特海；智力發(fā)展節(jié)奏說

一、當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程存在的主要問題

（一）準(zhǔn)備階段對學(xué)生的日常數(shù)學(xué)經(jīng)驗與興趣關(guān)切不夠

準(zhǔn)備階段就是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的階段，在此階段，多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)教師對教學(xué)設(shè)計的理解過于膚淺，他們誤認(rèn)為教學(xué)設(shè)計就是上課之前寫教案，設(shè)計方法就是按照書上的教學(xué)流程或者參考網(wǎng)上的資料，設(shè)計整個教學(xué)活動[1]。而且，他們很少花時間去關(guān)心學(xué)生生活中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗與課堂外數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，教師把自己和學(xué)生的準(zhǔn)備時間都框限在數(shù)學(xué)教科書知識的鞏固與預(yù)習(xí)之中。

（二）實施階段對數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)教育價值缺乏深刻認(rèn)識和思考

實施階段就是新知識講授的階段。傳統(tǒng)課堂提倡教師對教學(xué)過程的絕對控制，在這個過程中，教師把傳遞客觀、精確的數(shù)學(xué)知識當(dāng)做自己義不容辭的責(zé)任。但隨著新課程改革的提倡，學(xué)生的學(xué)習(xí)主體觀念已完全深入小學(xué)數(shù)學(xué)教師心中，在教學(xué)模式或教學(xué)方法上過于追求形式上的對話、合作與探究，教師的嚴(yán)肅、認(rèn)真、追求精確的嚴(yán)格精神遭受懷疑；學(xué)生混亂、浪漫、碎片的知識觀念受到鼓勵，在課堂上缺乏必要的客觀、精確的數(shù)學(xué)思維約束。直到現(xiàn)在，很多小學(xué)數(shù)學(xué)老師對“數(shù)學(xué)是什么”的數(shù)學(xué)本質(zhì)論、“為什么學(xué)數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)教育價值觀缺乏深入思考，誤認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)知識背后所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法沒必要挖掘，以至于小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)并沒有隨著課堂上數(shù)學(xué)知識的掌握而發(fā)展、提升。

（三）延伸階段并未清楚滲透數(shù)學(xué)知識的真正用途

延伸階段可以理解為新知識實際運用階段。部分教師認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是掌握精確的數(shù)學(xué)知識，知識運用要么是做各種各樣的題目，要么就是解決生活中實際困難。孰不知，數(shù)學(xué)知識除了在實際生活中的應(yīng)用之外，更重要的用途是為我們提供不同的研究視角。比如，數(shù)學(xué)教師在講授“三角形三邊關(guān)系”新課時，經(jīng)常遇到學(xué)生已經(jīng)知道了“兩邊之和大于第三邊”（根據(jù)兩點之間線段最短的常識判斷）的課堂尷尬，大多數(shù)教師還是從“邊和角”這個傳統(tǒng)視角按照“發(fā)現(xiàn)-探究-驗證”的教學(xué)模式得出結(jié)論。其實，教師完全可以從“邊”這個新視角進(jìn)行教學(xué)，把三角形看成一條線段和一條折線，很容易得出“兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論。正如愛因斯坦所說，畫家、詩人、思辨哲學(xué)家和自然科學(xué)家所做的，都是按照他們自己建構(gòu)的圖像去認(rèn)識世界，而理論物理學(xué)家按照自己的圖像描述各種關(guān)系時要求盡可能達(dá)到最高標(biāo)準(zhǔn)的嚴(yán)格精確性，這樣的標(biāo)準(zhǔn)只有用數(shù)學(xué)語言才能做到[2]?？梢姡瑪?shù)學(xué)除了實際應(yīng)用之外，還是科學(xué)的語言。因此，教師在延伸階段需要清楚地給學(xué)生指明數(shù)學(xué)為我們提供不同研究視角的重要意義。

二、懷特海的智力發(fā)展節(jié)奏說與小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

艾爾弗雷德•諾斯•懷特海是世界著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、教育理論家。他認(rèn)為教育要培養(yǎng)的是有創(chuàng)新精神、有智慧、具有“既能很好地掌握某些知識，又能出色地做某些事情”的人文精神和審美能力的人[3]。這種思想與我們提倡的新課程理念不謀而合，也與當(dāng)前強(qiáng)調(diào)的培養(yǎng)小學(xué)生的核心素養(yǎng)——“數(shù)學(xué)人文、數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)思想”基本理念一致[4]。特別是懷特海在其教育名著《教育的目的》中提出“教育的節(jié)奏”這一論點，他認(rèn)為“不同的科目和不同的學(xué)習(xí)方式應(yīng)該在學(xué)生的智力發(fā)育達(dá)到適當(dāng)?shù)碾A段時采用”，強(qiáng)調(diào)教育中按照學(xué)生的智力發(fā)展階段實施相應(yīng)的教育非常重要。懷特海認(rèn)為人的智力的發(fā)展是周期性的、有節(jié)奏的，他將智力發(fā)展分為三個階段：浪漫階段、精確階段、綜合運用階段[3]32。浪漫階段是直接認(rèn)識事物并開始領(lǐng)悟的階段。在這一階段，我們必須關(guān)注學(xué)生情感上的興奮狀態(tài)，浪漫的遐想以及紛繁而活躍的思想，對新奇、未知充滿渴望。懷特海認(rèn)為傳統(tǒng)教育的弊端之一就是沒有意識到浪漫階段的重要性，導(dǎo)致過去越來越多的教育失敗。而“數(shù)學(xué)人文”素養(yǎng)就是要求我們的學(xué)生能夠愿意學(xué)數(shù)學(xué)、直面數(shù)學(xué)中難題、不斷嘗試建構(gòu)生活中的數(shù)學(xué)問題，能夠發(fā)現(xiàn)并欣賞數(shù)學(xué)中的真、有序、簡單、規(guī)則統(tǒng)一、答案唯一的價值與美，能嘗試用數(shù)學(xué)進(jìn)行閱讀、交流與寫作等，從而讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)。精確階段是個體掌握精確知識、對先前大腦中紛繁而活躍的思想進(jìn)行梳理的階段，分析前一階段感知的事實，證實事實之間存在的種種可能性，建立知識體系[3]34。此階段“精確”居于首要地位，知識得到了梳理、排序和理解，前一階段的模糊認(rèn)識在此變得清晰。他認(rèn)為必須重視這個階段，教育者不僅要強(qiáng)調(diào)浪漫對興趣的激發(fā)，也要重視精確階段艱苦的準(zhǔn)確訓(xùn)練。進(jìn)一步，“數(shù)學(xué)意識”素養(yǎng)即是要求學(xué)生能夠掌握基本的數(shù)學(xué)運算、空間觀念、符號意識、解題策略等有關(guān)知識與方法。綜合運用階段是在精確訓(xùn)練之后，將一般概念應(yīng)用于具體事實，也即從認(rèn)識知識到發(fā)展知識的階段。個體將所學(xué)的準(zhǔn)確而豐富的知識應(yīng)用到更新更多的情境之中，從而再一次引發(fā)對新事物的好奇和一知半解的領(lǐng)悟，也稱之為“重歸浪漫”[3]35。但與浪漫階段相比，在經(jīng)過中間階段精確性訓(xùn)練以后，個體已進(jìn)入主動應(yīng)用知識的自由狀態(tài)。在這一階段，知識的細(xì)節(jié)可能會減少，但個體獲取知識的能力卻提高了。進(jìn)一步，“數(shù)學(xué)思想”素養(yǎng)即表現(xiàn)在學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的引領(lǐng)下能夠?qū)奈从龅綇?fù)雜數(shù)學(xué)問題進(jìn)行合理推理，能夠?qū)?fù)雜的生活情境進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。總之，懷特海強(qiáng)調(diào)智力發(fā)展節(jié)奏遵循從浪漫階段到精確階段再到綜合運用階段的循環(huán)往復(fù)的周期過程?；久抗?jié)課、每天、每星期、每學(xué)期都可以構(gòu)成一個個循環(huán)往復(fù)的漩渦周期。并且需要注意的是，這種循環(huán)不是線性的、單向一次完成的，而是螺旋上升的。我們也不應(yīng)該過多強(qiáng)調(diào)這三個階段間差別，之所以做出這種區(qū)分，只是為了強(qiáng)調(diào)各個階段的“側(cè)重不同、主要物質(zhì)不同—浪漫、精確、綜合運用，自始至終存在著。但是占主導(dǎo)地位的階段交替出現(xiàn)，正是這種交替構(gòu)成了各個循環(huán)周期”[3]31。

三、懷特海智力發(fā)展節(jié)奏說對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的啟示

（一）準(zhǔn)備階段重視日常數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗教學(xué)

懷特海認(rèn)為“浪漫”表達(dá)的是一種情感體驗,是充滿聯(lián)想、不受約束的，屬于積累經(jīng)驗事實到開始認(rèn)識事實間廣泛聯(lián)系的階段[6]。在此階段，學(xué)生用“模糊”表達(dá)浪漫階段處于廣泛聯(lián)系的沒有清晰揭示知識的認(rèn)識狀態(tài)。而“基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》“四基”核心理念之一，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[5]。因此，教師在浪漫階段要重視學(xué)生的日常數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。比如學(xué)生在日常生活中見到各種形狀的容器以及它們的容量，就為課堂上理解幾何體、體積提供了思考的教學(xué)對象；學(xué)生在日常生活或游戲中獲得的平衡觀念也為理解等式、方程等提供了直覺上的教學(xué)幫助。學(xué)生的知識體系尚未完全建立，但呈現(xiàn)給學(xué)生的教材內(nèi)容相互間存在著種種聯(lián)系，有待學(xué)生去探索、發(fā)現(xiàn)。這時教師可以根據(jù)該課的學(xué)習(xí)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)一個情景、講一個故事或設(shè)計一個游戲，吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生不自覺地進(jìn)入到情景中并獲得浪漫的體驗。情景創(chuàng)設(shè)的原則盡量貼近生活、自然、新奇、有挑戰(zhàn)。浪漫階段是一種有“預(yù)謀”的伏筆和鋪墊，需要教師的精心設(shè)計。也就是說小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的浪漫階段不是讓學(xué)生無目的地去想象、思考，而是要讓學(xué)生根據(jù)教師創(chuàng)設(shè)的情景思考，自然而然地產(chǎn)生各種想法。比如，在學(xué)年級下冊的“有余數(shù)除法（一）”這一課時，教師可以設(shè)計安排班里16名同學(xué)參加“抱團(tuán)”游戲。游戲規(guī)則：老師任意說一個數(shù)，16位同學(xué)根據(jù)這個數(shù)抱成一團(tuán)，例如老師說3，參加游戲的同學(xué)就3人抱成一團(tuán)。這個“抱團(tuán)”游戲，在生活中學(xué)生可能見過或玩過，對他們來說有一定的吸引力，能激發(fā)他們興趣。而且這個游戲貼近這節(jié)課的內(nèi)容“有余數(shù)除法”，學(xué)生通過游戲比較容易理解當(dāng)報成團(tuán)的人不能整除參加游戲的人數(shù)時，就有同學(xué)多余，初步了解余數(shù)的含義，為接下來學(xué)習(xí)有余數(shù)除法的豎式做鋪墊。需要指出的是，學(xué)生雖然在上課前已經(jīng)有一些生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗，但要讓小學(xué)生將已有的經(jīng)驗與要學(xué)的內(nèi)容聯(lián)系起來，有一定的困難。而且對有些學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生之前可能完全沒有經(jīng)驗，也不知道從什么角度思考，在知識的迷宮里游蕩，這時就需要教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，突破領(lǐng)悟。當(dāng)然，教師的引導(dǎo)不是直接將答案告訴學(xué)生，而是為學(xué)生提供思考的方向，教師引導(dǎo)得好，有利于學(xué)生的思考及產(chǎn)生各種各樣的想法。在浪漫階段，教師還應(yīng)該特別注意要維持好課堂的秩序，情境、故事、游戲最好跟數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練有關(guān)，而不是漫無目的地聯(lián)想。

（二）實施階段突出數(shù)學(xué)概念本質(zhì)教學(xué)

精確階段的主要任務(wù)是對浪漫階段產(chǎn)生的各種想法進(jìn)行整理、分析、概括，使學(xué)生獲得準(zhǔn)確的知識。在這一階段，學(xué)生分析浪漫階段感知的事實，弄清事實之間的種種關(guān)系，建立知識體系。而在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及很多數(shù)學(xué)知識，如各種概念、定理、公理、運算法則等，包含在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四個部分之中。其中，數(shù)學(xué)概念達(dá)到500多個。因此，教師必須把這些知識準(zhǔn)確無誤地教給學(xué)生，保證學(xué)生學(xué)到的是準(zhǔn)確的、科學(xué)的知識。教師最好運用變式、正反例等突出數(shù)學(xué)概念本質(zhì)。正如我國數(shù)學(xué)教育界泰斗張奠宙先生所說“數(shù)學(xué)教育研究似乎有兩個方面，一種是從大局著眼，探討中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀念；另一種是從嚴(yán)謹(jǐn)性出發(fā)，弄清數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確含義，精雕細(xì)刻地給學(xué)生以數(shù)學(xué)推導(dǎo)訓(xùn)練……搞得過細(xì)也會流于瑣碎，乃至于墮入形式演繹的海洋而失去方向”[7]。比如，對于“方程”概念的教學(xué)，就可以用不同的字母或者一些更為復(fù)雜的符號表達(dá)式及特殊符號去替代原先經(jīng)常使用的字母x。如將3x+7=25變形為3y+7=25，以及進(jìn)一步變形為3(2m+1)+7=25，3ξ+7=25，或者變?yōu)楦鼮閺?fù)雜的變式6=24-3x，6+x=24-2x等[8]。需要注意的是，實施階段不能像浪漫階段那樣讓學(xué)生的想象和思維自由馳騁，而應(yīng)有更多的限制以及約束。教師的指導(dǎo)增加，學(xué)生需要集中注意力聽講，理解數(shù)學(xué)概念、公式、定理、運算法則等，并進(jìn)行大量的有關(guān)準(zhǔn)確的知識細(xì)節(jié)方面的練習(xí)，在理解的基礎(chǔ)上領(lǐng)悟其實質(zhì)。因此，在這階段中教師要想辦法引起學(xué)生的有意注意，幫助學(xué)生理解和掌握準(zhǔn)確的知識。

（三）延伸階段注重數(shù)學(xué)思維教學(xué)

延伸階段是綜合運用階段，學(xué)生在這一階段對所學(xué)的精確知識已經(jīng)有了深刻的認(rèn)識和理解。所以，在此階段教學(xué)應(yīng)該以研究性學(xué)習(xí)為主，教師應(yīng)更多地給學(xué)生提供一些有挑戰(zhàn)性的問題，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。如激勵學(xué)生把已學(xué)的知識應(yīng)用到新的情境中，給予學(xué)生更多的自由，鼓勵學(xué)生進(jìn)行積極的探索。比如對類似于“小明今年8歲，爸爸現(xiàn)在比小明大28歲，18年后爸爸比小明大幾歲？”這樣一道題，就可以引導(dǎo)學(xué)生將“當(dāng)被減數(shù)與減數(shù)同時增加（或減少）相同的數(shù)時，差是不變的”這一自然語言描述，用符號語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即△和○等符號表示未知數(shù)，分別代替爸爸和小明的年齡，就是“△-○=（△+18）-（○+18）=（△+□）-（○+□）=28”，對學(xué)生滲透△和○可以表示一個變量這一知識，體現(xiàn)符號語言的概括化與一般化，促進(jìn)學(xué)生對相等關(guān)系有更深層次的代數(shù)思維的發(fā)展[9]。如在一堂具體的數(shù)學(xué)課中，可以通過“擴(kuò)展與延伸”的形式。比如，對于學(xué)習(xí)“長方形、正方形的面積”，在完成兩個階段后，就可以提出一個具有挑戰(zhàn)性的問題：某小區(qū)要修建一個用鐵柵欄圍成的長方形的停場，停車場靠一面長80米的墻，用了100米長的鐵柵欄，停車場的面積不得少于800平方米，可以怎么圍？對于剛學(xué)完長方形、正方形面積的學(xué)生來說，他們渴望運用已學(xué)到的知識。但這個問題不是運用長方形的面積計算公式就可以解決的，學(xué)生需要在逆向思維的過程中，鞏固長方形面積的計算，也使解決問題的能力得到發(fā)展。還比如針對《組合圖形的面積（二）》的教學(xué)，教師通過提問“是不是所有圖形的面積我們都可以求了？”讓學(xué)生獨立思考。學(xué)生經(jīng)過思考容易得出用本節(jié)課所學(xué)的方法不能算出不規(guī)則圖形的面積。繼而教師還可以讓學(xué)生思考怎樣才能計算出不規(guī)則圖形的面積，這也為學(xué)習(xí)下一節(jié)課“成長的腳印”估計不規(guī)則圖形的面積做一定的鋪墊。需要指出的是，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，浪漫階段、精確階段和綜合運用階段既是有序的，又是相互交織和相互滲透的，三個階段并不是要在一堂具體的數(shù)學(xué)課中都體現(xiàn)出來，而是小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中要調(diào)控大體方向。如果從整個小學(xué)階段來考慮，小學(xué)的第一學(xué)段應(yīng)該以浪漫階段為重心；第二學(xué)段應(yīng)該以精確階段為重心，但也要重視浪漫階段和綜合運用階段。

作者:賈志國 孫慶括 王巧玲 單位:金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院 南昌師范學(xué)院 金華市賓虹小學(xué)

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