導語：如何才能寫好一篇初中數學求動點最值的方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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關鍵詞：初中數學；最值問題；生活數學

最值的使用在生活中有很多，比如求兩個點之間的最短距離或者兩線段和的最小，還有我們平常生活中的利潤最大、成本最小等最優(yōu)方案的問題。這些問題都可以轉化成數學問題，然后用數學的方法去解決。下面我們先來看看有關于線段的最值問題：

一、有關線段和的最值問題

有關距離的最值問題有一個簡單的問題原型。比如說要在公路上建一個公交車站，在公路旁有兩個村子A與B，問車站建在公路上的哪個位置才能使A、B兩村去車站的路程最短？這種“確定最短路線”的問題就是最經典的求最值問題。在這里，這個問題有兩種情形，第一是兩個村子在公路的不同側，這就轉化成了點與點之間的最短距離，也就是兩點間的連線。第二是兩個村子在公路的同一側（如圖1），那么這就是一個利用軸對稱解決極值的經典問題，而解決這個問題的基本方法就是對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動點位置（如圖2），計算線路最短長度。此時，這個問題的模型又變成第一種情況，兩個村子在公路的不同側了。

由上面這個簡單的例子我們可以歸納出求線段和最小的一般方法：通過軸對稱，將動點所在直線同側的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側，當動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點線段的長（如圖3）。下面我們來看一道這種類型的變式題：

恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路X垂直，如圖4建立直角坐標系。著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于兩高速公路同側，AB=50km，A到直線X的距離為10km，B到直線X和Y的距離分別為40km和30km。請你在X旁和Y旁各修建一服務區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。

分析：這道題目所涉及的四邊形的周長的最小值，包括四條線段的和，看起來會比較麻煩，不知道該怎么下手，其實求四邊形的周長的最小值，可以把周長分成四部分，先分析其中的兩段或三段，把問題拆解成類似原型題目這樣的簡單問題，再做進一步的分析。比如，可以先看BQ和QP這兩段的和的最小值，單獨看這兩段的話，就變得很簡單了，只要根據求兩條線段的和的一般方法，就可以解出。同樣的方法再分析QP和PA，然后把幾條線段綜合起來看，這道題就不難解決了。

解析：作點A關于X軸的對稱點A′，點B關于Y軸的對稱點B′，連接A′B′，AP+PQ+BQ=A′P+PQ+QB′≥A′B′。當P、Q在線段A′B′上時，AP+BQ+PQ=A′B′最小。

過A′、B′分別作X軸、Y軸的平行線交于C。在RrA′CB′中，A′C=100，B′C=50，交X軸于P，交Y軸于Q。

A′B′==50，而AB=50

四邊形APQB的周長最小值為：AB+A′B′=50（+1）

總結：有關線段和的最值問題是實際生活中常遇到的問題，解決這類問題的方法就是從最簡單的問題原型出發(fā)，抓住解決問題的關鍵，把不在同一直線上的線段轉化到同一條直線上。求多條線段的和的最小值就是要先把問題化成幾個小問題，把每個小問題解決，就能從整體上理清思路，解決整個問題。

二、有關函數的最值問題

有關函數的最值問題是中考?？嫉囊环N題型，也是生活中常用來解決實際問題的一種數學方法。下面我們來看這樣一個例子：某蒜薹生產基地收獲蒜薹200，下表是按批發(fā)、零售、冷庫儲藏后銷售三種方式每噸的平均售價及成本價：

若經過一段時間，蒜薹按計劃全部售出獲得的總利潤為y（元），蒜薹零售x（噸），且零售量是批發(fā)量的。（1）求y與x之間的函數關系式。（2）由于受條件限制，經冷庫儲藏售出的蒜薹最多80噸，求該生產基地按計劃全部售完蒜薹獲得的最大利潤。

解析：（1）設零售量為x，則批發(fā)量為3x，儲藏后銷售量為200-4x，

則y=（3000-700）3x+（4500-1000）x+（5500-1200）（200-4x）

y=-6800x+860000

（2）根據題意得：200-4x≤80，則x≥30

y=-6800x+860000在x范圍內單調遞減

x=30時，y取得最大值

y=860000-6800×30=656000

也就是求得當零售量為30噸的時候，售完全部蒜薹可獲得最大利潤656000元。

總結：除了一次函數以外，二次函數也是求最值的重要方法。這種方法用于生活中的很多問題。學習數學就是為了把數學知識運用到生活中，幫助我們解決生活中的問題。因此，我們在學習數學的時候一定要多聯(lián)系實際，數學和生活并不是兩個獨立存在的，而是一個緊密聯(lián)系的結合體。數學的學習能使生活中的問題得到解決，而生活中的問題又是數學知識的原型，是發(fā)展數學的重要動力。

最值問題是生活中常遇到的問題，通過數學建模來解決實際問題是數學知識用于實際的重要體現，這也正說明了數學知識的生活實用性，學習數學能為我們將來創(chuàng)造美好的生活發(fā)揮應有的作用。

參考文獻：

1.傅彪.關于折線段最小值問題的探究.中學數學初中版，2012，8.

2.趙秀琴.初中數學最值問題的解法.考試周刊，2012，44.

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關鍵詞：構造函數；利用幾何性質 ；確定范圍

最值型問題，即求有關量的最大值或最小值，是初中數學的常見題型，是中考及數學競賽中的必考題型。它主要考查學生對平時所學知識的綜合應用，無論在代數還是幾何中都會出現最值問題，綜合起來，常見的最值問題主要有以下幾種解法：

一、利用函數思想，構造函數解題，主要用于解決一些成本最小、利潤最大的經濟問題及方案設計、運動變化等問題

用運動變化的觀點研究客觀世界中變量之間的相互關系和內在規(guī)律，將其用函數的形式表示出來，并通過對具體函數的分析解決問題的思想稱之為函數思想。 構造函數解題時，要注意從文字敘述、圖形、圖像、表格中，分析數量之間的變化規(guī)律，獲取變量之間的信息，建立函數關系式，從而借助于函數圖像及其性質解決相關問題同。

1.構造一次函數

例1.（2010珠海中考）今年春季，我國云南、貴州等西南地區(qū)遇到多年不遇旱災，“一方有難，八方支援”，為及時灌溉農田，豐收農機公司決定支援上坪村甲、乙、丙三種不同功率柴油發(fā)電機共10臺（每種至少一臺）及配套相同型號抽水機4臺、3臺、2臺，每臺抽水機每小時可抽水灌溉農田1畝?，F要求所有柴油發(fā)電機及配套抽水機同時工作一小時，灌溉農田32畝。

（1）設甲種柴油發(fā)電機數量為x臺，乙種柴油發(fā)電機數量為y臺。

①用含x、y的式子表示丙種柴油發(fā)電機的數量；

②求出y與x的函數關系式；

（2）已知甲、乙、丙柴油發(fā)電機每臺每小時費用分別為130元、120元、100元，應如何安排三種柴油發(fā)電機的數量，既能按要求抽水灌溉，同時柴油發(fā)電機總費用W最少？

分析：此題中發(fā)電機總費用隨發(fā)電機數量的變化而變化，故可構造W與x之間的函數來解決。

解析 （1）①丙種柴油發(fā)電機的數量為10-x-y

② 4x+3y+2（10-x-y）=32 y=12-2x

（2）丙種柴油發(fā)電機為10-x-y=（x-2）臺

W=130x+120（12-2x）+100（x-2）

=-10x+1240

依題意解不等式組

二、應用幾何性質解題

主要有：

1、三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

2、兩點之間，線段最短；

3、連結直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；

相關知識：A、B兩點在直線l的同側，在直線L上取一點P，使PA+PB最小。

取點A關于直線L的對稱點A’，則AP’= AP，在A’BP中A’P’+B’P’>A’B，當P’移到A’B與直線L的交點處P點時A’P’+B’P’=A’B，所以這時PA+PB最小。

例3.在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F是AC上一動點，則EF+BF的最小值為_______.

解析 利用兩點之間線段最短來解決，求EF+BF最短就要想法把這兩條線段轉化在一條直線上，由于菱形對角連線兩邊對稱，所以AB中點E和AD中點M關于線段AC對稱，即MF=EF

連接BM交AC于點F，線段MB即為MF+FB的最小值， 因此EF+FB=MF+FB=MB，

參考文獻

[1] 義務教育課程標準實驗教科書（華師版七、八、九年級數學）

[2] 《2009年浙江省麗水初中畢業(yè)生學業(yè)考試數學試卷》

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1. 解讀中考壓軸題考點

縱觀近幾年的中考試題，中考壓軸題通常由3個小問組成，第一個小問容易得分，得分率普遍在0.8以上，第二個小題稍難，但通常還是屬于常規(guī)題型，得分率在0.6與0.7之間，第三個小問較難，能力要求較高，且得分率也大多在0.2與0.4之間，從全國中考數學的試題命題來看，各地中考試題呈現“起點低，坡度緩，尾巴略翹”這一大特色.

通常第一小題主要是求點的坐標或函數解析式. 第二、三小題有探究點的存在性問題、圖形面積問題或最值問題等，其中，各個小題難度層層推進. 下面就以2011年浙江省部分中考壓軸題為例，著重闡述第二、三小題的特點及求解策略.

2. 案例呈現，做好應考教學策略

案例1 （2011浙江義烏）已知二次函數的圖象經過A（2，0），C（0，12） 兩點，且對稱軸為直線x=4. 設拋物線頂點為P，與x軸的另一交點為點B.

（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標.

（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O，P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N. 將PMN沿直線MN對折，得到P1MN. 在動點M的運動過程中，設P1MN與梯形OMNB重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關于t的函數關系式.

方法點撥 （1）可設出二次函數的一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c，根據對稱軸公式，并把點A，C的坐標代入解析式，得到方程組，可求得 a，b，c的值分別為1，-8，12. 所以函數解析式為y=x2－8x+12. 從而可確定頂點P的坐標為（4，-4）.

（2）由（1）可確定點B的坐標為（6，0），從而可確定PB的解析式為y=2x-12，發(fā)現PB∥OD，因此OP和BD為腰，計算OP的長度. 設D（x，2x），用含x的代數式表示BD2的長度，即BD2=（2x）2+（6－x）2，再根據OP2=BD2建立方程（2x）2+（6－x）2=32，解得x1=，x2=2，注意檢驗根的合理性. 當x=2時，OD=BP=2，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去. 所以當x=時，四邊形OPBD為等腰梯形. 故存在D，符合題意.

（3）當0

解決策略 對于求點的坐標問題，同學們要熟悉平行于x軸和y軸的坐標特點，以及在坐標軸角平分線上的點的特點，并會利用待定系數法求函數關系式. 對于點存在性問題，解答時應先回答問題，再說明理由. 說理的方式有兩種：一是從已知條件入手，通過推理、論證得出結論成立；二是從結論入手，通過推理、論證，得到使結論成立的條件. 由于點有靜態(tài)點和動態(tài)點之分，因此，做題時應區(qū)別對待. 對于靜態(tài)點問題，往往涉及點滿足何條件才能構成等腰三角形、等腰梯形、正方形、菱形等，這類問題應注重分類討論，根據其性質特點，找出點的位置，然后利用方程思想來解決. 對于圖形面積問題，壓軸題中往往是在圖形的運動變化中求值，常用割補法，或者探究兩種圖形重疊部分的面積.

案例2 （2011浙江寧波）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（-2，2），點B的坐標為（6，6），拋物線經過A，O，B三點，連結OA，OB，AB，線段AB交y軸于點E．

（1）求點E的坐標.

（2）求拋物線的函數解析式.

（3）點F為線段OB上的一個動點（不與點O，B重合），直線EF與拋物線交于M，N兩點（點N在y軸右側），連結ON，BN，當點F在線段OB上運動時，求BON 面積的最大值，并求出此時點N的坐標.

（4） 連結AN，當BON面積最大時，在坐標平面內求使得BOP與OAN相似（點B，O，P分別與點O，A，N對應）的點P的坐標．

方法點撥 （1）根據A，B兩點坐標可求出直線AB的解析式為y=x+3，令x=0，可求得E點坐標為（0，3）.

（2）設拋物線解析式為y=ax2+bx，將A，B兩點的坐標代入，列方程組求得a=，b=－，所以拋物線的解析式為y=x2－x．

（3）過點N作x軸的垂線NG，垂足為點G，交OB于點Q，過點B作BHx軸于點H，設Nx，x2－x，則Q（x，x）. 把BON的面積表示為兩個三角形之和，用含未知數的形式表示出BON的面積，即SBON=SQON+SBQN=?QN?OG+?QN?GH=?QN?（OG+GH）=?QN?OH=?x－x2－x×6=－（x－3）2+（0

（4）過點A作ASGQ于點S，易求得tan∠SAN=tan∠NOG=，且∠OAS=∠BOG=45°，所以∠SAN=∠NOG，∠OAN=∠BON. 所以ON的延長線上存在一點P滿足條件. 先求出OB，AO和AN的長，由BOP∽OAN得到OP的長為. 作PTx軸于點T，所以OPT∽ONG， ==，設P（4t，t），則（4t）2+t2=2，解得t1=，t2=－（舍），所以點P的坐標為15，. 將OPT沿直線OB翻折，可得出另一個滿足條件的點P′，15. 由以上推理可知，當點P的坐標為15，或，15時，BOP與OAN相似．

解決策略 對于單動點的動態(tài)問題，應抓住變化中的“不變量”，以不變應萬變. 先理清題意，根據題目中兩個變量的變化情況找出相關常量，再按照圖形中的幾何性質及相互關系，找出一個基本關系式，把相關的量用一個自變量的表達式表達出來，最后根據題目的要求，依據幾何、代數知識求解. 對于面積的最值問題，有求三角形或四邊形的面積的最大（?。┲? 這類問題通常是借助三角形的面積公式或轉化為三角形來解決，但它們的本質都是通過建立二次函數模型，對二次函數配方求得相應的最值，因此，在解決這類問題時，首先應求出所求問題的二次函數解析式，然后再配方求頂點坐標，這樣就可以求出最值.

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最值問題可以分為兩大類：一大類是代數中某些量、式子的最大值或最小值；在現實生活中，我們經常碰到帶有“最”字的問題，如投入最少、效益最大、材料最省、利潤最高、路程最短等。我們可把這一大類統(tǒng)稱為代數類最值問題，它可分為代數式的最值、有關數論的最值、有關方程未知數與函數變量的最值等三小類，一大類是幾何圖形中按一定規(guī)律運動的元素，在一定的范圍內變化而與它有關的某個量也隨之變化，有時，這個變化的量存在最大值或最小值。我們可把這一大類統(tǒng)稱為幾何類最值問題，它可分為有關角度的最值、有關線段（距離）的最值、有關面積的最值、某些幾何量的統(tǒng)計最值等四小類。

數學中兩大研究對象“數”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數學發(fā)展的內在因素。數形結合能力的提高，有利于從形與數的結合上深刻認識數學問題的實質，有利于扎實的打好數學基礎，有利于數學素質的提高，同時必然促進數學能力的發(fā)展。本文對“數”、“形”以及數形結合等方法在中學數學的教學中的應用作一些探討。

一、用“數”的方法求最值問題

用配方法求代數式的最值，通常是對一個一元二次多項式而言的，即滿足ax2+bx+c（a、b≠0）的形式?；舅悸肪褪歉鶕耆椒焦接门浞椒ㄅ涑梢粋€完全平方式，然后根據任何一個數的平方是非負數0來求它的最值。舉一個簡單的例子說明：

例1：求代數式x2-4x+5的最小值。

分析：代數式x2-4x+5這是一個一元二次多項式，可以通過配方，再根據一個數的平方是非負數，便可以求得最值。

解：x2-4x=（x-2）2-4

x2-4x+5=（x-2）2+1

（x-2）2≥0

當x=2時有最小值，最小值為0+1=1

對于復雜的式子同樣也適用，比如求代數式2x2-3x-5的最值。

分析：用同樣的方法對2x2-3x進行配方，得■x-■■-■■

最后就可以得出當■x=■即x=■時，原式有最小值，最小值為0-■=-■。

思考問題：如果把一個一元二次多項式改為二元二次多項式，要求出它的最值的話，這種方法是否仍然適用？

二、用“形”的方法求最值問題

對稱是一種客觀存在的，大千世界，許多事物都具有某些對稱性，對稱給人們以和諧均衡的美感，在平面幾何中，對稱更是一種思想方法，利用對稱性及“兩點之間，線段最短”等性質來解決最值問題，是數學中的重要的思想方法，運用對稱性解決問題，這種方法在求值中常常顯示出其他方法不可代替的優(yōu)越性。它既可以減少一些繁瑣的計算，使解題方法簡潔明快，又可以拓展學生的解題思路，培養(yǎng)學生的思維能力。

1.點關于一條直線的對稱問題

例：問題：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝水。有什么辦法能讓小明帶小狗到河邊喝上水，同時回家又最近？分析：把這一生活問題數學化，設小明與小狗在A處，家在B處，小河為L，小明要在直線L上找一個點P（小狗在P處飲水），使得AP+BP最短。（如圖所示）設L上的P點為小狗飲水處，這個問題就轉化成求AP+BP的最小值，也就是數學中的最值問題。如圖，我們作點A關于L的對稱點A/，連結A/B交L于點P，則點P即為所求。

知識介紹：兩條線段之和最短，往往利用對稱的思想，把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點之間的線段最短，解決了最值問題，最終便可以得出結果。此例利用對稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直線段A′B，所以這種方法也叫做化直法，其他還有旋轉法、翻折法等。

2.利用菱形的對稱性進行轉化

例：在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F是AC上一動點，則EF+BF的最小值為多少？

分析：利用“兩點之間，線段最短”來做，要求出EF+BF的最小值其實就是要把這兩條線段轉化在一條直線上。剛好由于菱形對角連線兩邊對稱，所以線段AB的中點E和線段AD的中點M關于線段AC對稱即MF=EF。連接BM交AC于點F，線段MB即為MF+FB的最小值。

解：取線段AD的中點M，連接BM

四邊形ABCD是菱形

AB=AD

又∠DAB=60°

ABD是等邊三角形

又點M為AD的中點

ABM為直角三角形

又點E和點M關于AC對稱

MF=EF，EF+BF=MF+BF

在RtABM中， MB=AB×sin60o=6×■=3■

EF+FB的最小值等于MB的長度，是3■。

三、用數形結合法求最值問題

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模型呈現：如圖1，圓外一點與圓上任意一點聯(lián)結所成的線段中PA最長，PB最短（其中PA、PB所在的直線經過圓心O）.有了這種方法能使很多最值問題中的較難問題得到圓滿解決.

案例1：如圖2，點E為正方形ABCD的邊AD上的動點，過點A作AHBE于點H，若正方形的邊長為4，則線段DH的最小值是多少？

分析：由AHBH可知，∠AHB始終為90°，因此點H在以AB為直徑的F上運動，此時點D為F外一點，所以可利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離模型（圖1），聯(lián)結DF交F于點H（如圖3），此時DH最小.

思考：本題學生的解答正確率其實并不高，關鍵在于學生不容易發(fā)現動點H的運動路徑是以AB為直徑的圓.那么如何才能在看似無圓的題設中準確找到圓模型呢？本題經驗告訴我們，直角三角形的直角頂點在以斜邊為直徑的圓上，故看到直角，容易找到圓模型.

經驗利用1：在正方形ABCD中，動點E，F分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動.

（1）如圖4，當點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關系，并說明理由；

（2）如圖5，當E，F分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）

（3）如圖6，當E，F分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；

（4）如圖7，當E，F分別在邊DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F的移動，使得點P隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最小值.

分析：（1）、（2）、（3）中AEDF（證明略）.（4）根據已知條件得AEDF，∠APD始終為90°.因此根據案例1的經驗不難發(fā)現點P在以AD為直徑的圓上運動，記圓心為點O，連接OC與圓交于點P，利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離這一結論，得到此時CP為最小.

經驗利用2：設a為實數，已知直線l：y=ax-a-2，過點P（-1，0）作直線l的垂線，垂足為M.點O（0，0）為坐標原點，則線段OM長度的最小值？

分析：本題共有兩大難點：第一難點是這條直線無法確定，但可以肯定的是必經過A（1，-2），第二難點是怎么發(fā)現圓模型.我們發(fā)現直線無論怎么變，∠PMA始終為直角，這樣根據案例1的經驗，以AP為直徑的圓就形成，點M始終在以AP為直徑的圓上，利用圓內一點與圓的最近距離和最遠距離這一結論確定了OM的最小值.

經驗拓展：如圖9，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（3，0），C（0，3 ），點D是第一象限的一點，滿足∠ADB=30°，則線段CD的最小值？

分析：本題中沒有明顯的圓模型，也沒有同案例1一樣的隱含圓模型的直角，但∠ADB恒為30°，可以看成一個30°圓周角，同樣可以找到圓模型.由于圓周角∠ADB=30°，故對應的圓心角∠AMB=60°，M就是以AB的長為半徑，經過A，B兩點的圓，同樣可以利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離模型（圖1），最終確定CD的最小值.

推廣：當某個角的大小為恒值時，該角頂點必在以該角為圓周角的圓上.特殊的，當該角為直角時，則該直角頂點在以該直角所對斜邊為直徑的圓上.

案例2：如圖11，已知拋物線y=- （x-1）（x-7）與軸交于A、B兩點，對稱軸與拋物線交于點C，與x軸交于點D，C的半徑為2，G為C上一動點，P為AG的中點，則DP的最大值？

分析：這一問題已經明確有圓了，但怎樣利用圓的模型解決？很明顯，所求的線段PD沒有任何一個點在圓上，沒法直接利用本模型.不難發(fā)現D為線段AB的中點，結合條件“P為AG中點”，我們可以聯(lián)結BG，則PD構成ABG的中位線，利用中位線的性質PD= BG可將PD最長轉換為BG最長.B為圓外定點，G為圓上動點，利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離模型可將這個問題完滿解決.

經驗利用：如圖12，二次函數y=a2x+bx+c（a≠0）的圖像交x軸于點A（-1，0），B（4，0），交y軸于點C（0，2），過B，C畫線直線，并聯(lián)結AC.

（1）求二次函數的解析式和直線BC的解析式；

（2）點F是線段BC上的一點，過點F作ABC的內接正方形DEFG，使得邊DE落在x軸上，點G在AC上，GF交y軸于點M.

①求該正方形的邊長；

②將線段EF延長，交拋物線于點H，那么點F是EH的中點嗎？請說明理由.

（3）在（2）的條件下，將線段BF繞點B旋轉，在旋轉過程中，點P始終為CF為中點，請直接寫出線段OP的最大值.

分析：（1）（2）略.第（3）問沒有明顯的圓模型，看似與圓無關，很多學生面對這個問題無從下手，其實將線段BF繞點B旋轉，可以根據圓的定義發(fā)現一個以B為圓心，BF為半徑的圓，F始終在這個圓上，圓模型出現了，但同案例2一樣，點O、點P均不是圓上的動點.從條件“點P始終為CF為中點”出發(fā)，根據案例2中利用中點構造中位線實現線段轉換的經驗，不妨作C關于X軸的對稱點C′，連接OP，C′F（如圖13），發(fā)現OP是三角形CC′F的中位線，因此把OP的最小值轉化成了C′F的最小值，利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離這個結論，這個問題迎刃而解.

綜合應用：如圖14在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在的直線翻折得到A′MN，連接A′C.則A′C長度的最小值？

篇6

1 幾何畫板的直觀性

傳統(tǒng)的幾何課堂只能由教師“手工”完成，許多知識由于條件限制講不透，對學生的空間想象能力要求較高，導致很多學生產生畏難情緒，對幾何的學習失去興趣?，F在有了幾何畫板，情況就完全不一樣了，它能夠準確、動態(tài)地表現幾何問題，讓學生在直觀演示中體會幾何的奧秘。

如在教授三角形的三條線即中線、角平分線、高是否交于同一點這個問題時，在傳統(tǒng)的教學中只能靠教師精確地畫圖，有一點兒誤差的話，結果就出不來了。如果利用幾何畫板就不同了，可以先在畫板上任取三個點，然后用線段把它們連起來組成一個三角形。這時，任意拉動其中的一個點，雖然圖形的大小、位置會發(fā)生變化，但形狀一定還是三角形。接著在幾何畫板中分別構造出三角形的三條中線、三條高、三條角平分線，先讓學生觀察是否交于一點？結果是肯定的。這時再拉動其中任一點時，三角形的形狀同樣會發(fā)生變化，但三條中線、高、角平分線仍然交于一點。這樣就可以在圖形的變化中觀察到不變的規(guī)律，加深學生對這一性質的理解。

再比如在講授四邊形的內角和時，通常的做法是讓學生自己動手畫一個四邊形，然后用量角器度量計算和，很有局限性。如果利用幾何畫板軟件畫任意一個四邊形，量出它的各內角的度數并計算它們的和，隨后拖動頂點改變[第一 ww w .dylw.NET提供寫作論文和論文寫作的服務]所畫四邊形的形狀，這時學生會觀察得到各角的度數雖然發(fā)生變化，但是其內角和始終等于360°，從而很自然地得出“四邊形內角和等于360°”這一結論。而且讓學生體會了數學由特殊到一般的數學思想。

2 幾何畫板的動態(tài)性

傳統(tǒng)的幾何教學學生學得不好，關鍵在于其圖形的抽象性。學生對于由圖形語言轉化成幾何語言感到很困難，往往是胡寫一通，過程也非常不規(guī)范。在傳統(tǒng)的教學模式下，教師通常是利用三角板、直尺、圓規(guī)等工具用粉筆在黑板上做出需要的圖形，但這樣的圖形是固定的、死板的，許多學生由于缺乏空間想象能力跟不上課堂節(jié)奏，所以導致幾何越學越差。但利用幾何畫板來輔助教學，可以使“出示的圖形更靈活，展現的圖形更豐富，而且規(guī)范、直觀”。

如在講授軸對稱圖形和中心對稱圖形這一課題時，雖然通過觀察現實生活中的典型圖片，學生對軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念非常熟悉，可是真正判斷的話還是有一定的困難，因為學生很難想象這個圖形翻折后或者旋轉180°之后是什么情況。一些教師會含糊地講講了事，使學生還是一頭霧水，越聽越不懂。這時如果利用幾何畫板，把一個圖形是怎樣沿著某一條直線翻折過來，然后直線兩旁的部分是怎樣重合或不重合這個動態(tài)的過程展示給學生，學生就會徹底地理解這些圖形所具備的特點。當然在講授旋轉、平移時也可以借助于幾何畫板演示其動態(tài)過程，以便幫助學生理解掌握。

在講授三角形的中位線這一節(jié)時，傳統(tǒng)的教學方法是教師在黑板上畫上一個三角形，做出中位線，然后讓學生觀察得出“三角形的中位線平行于第三條邊并等于第三條邊的一半”，再加以證明。運用幾何畫板，教師就可以事先做出一個三角形及其中位線，在幾何畫板上顯示各邊和中位線的長度，隨后讓學生拖動三角形的任一頂點。這時中位線的位置在動態(tài)變化，各邊和中位線的長度也在動態(tài)變化。這個演示過程體現了從特殊到一般，引導學生觀察這一動態(tài)變化過程中的不變關系、不變量，學生通過這一動態(tài)學習直觀地感受到知識產生和發(fā)展的過程。

3 幾何畫板幫助理解動點問題

現在中考的一個熱點問題就是動點問題，這種問題僅僅靠題目中出現的固定圖形根本解決不了，還得看學生對圖形的直覺能力以及從變化中看到不變實質的數學洞察力。動點問題一直是數學求函數值、最值問題時學生較難解決的一類題目。學生面對圖形，往往想到的只是圖形里面所畫的固定點，想不到還有別的情況，體現不出動點的動性。幾何畫板的主要優(yōu)勢就是能夠使靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài)，抽象變?yōu)樾蜗?，利于抽象思維能力的培養(yǎng)。

在實際教學中，運用幾何畫板解決動點問題最典型的應該是函數部分，而且函數是整個初中數學的命脈，也是學生最難以理解的內容。如在研究一次函數圖象時，可以先讓學生自己猜想k、b對函數圖像的影響，然后教師結合幾何畫板演示，拖動圖像讓k、b的值發(fā)生變化，學生觀察圖像有何特點？學生通過觀察會很容易地得出結論。而且通過這一節(jié)課的學習，讓學生經歷了猜想、探索、觀察、驗證的經歷，加深了學生印象，并提高了學習數學的興趣。

4 利用幾何畫板，讓教學活動更自由

在平時的教[第一 ww w .dylw.NET提供寫作論文和論文寫作的服務]學過程中，教師常常有這樣一個困惑：在課堂教學中出現學生的思考順序與自己提前預設的順序不一致的時候，教師往往牽著學生的鼻子走，會努力將學生的思路引到所預設環(huán)節(jié)中來，但這樣的做法會不利于學生的思考，學生當時可能會按照教師的思路往下走，但是在學生的腦海中始終在思考“為什么我的回答不行呢”？如果運用幾何畫板就可以有效地克服這個問題。

篇7

關鍵詞：輔助圓；直角；同一端點出發(fā)的幾條線段長相等；兩個角成倍半關系；等腰三角形

在平面幾何中，如果沒有圓，就沒有幾何的豐富多彩。圓在數學的許多方面都有著廣泛的應用，其中一種常見的應用就是利用輔助圓來解題。輔助圓是一種重要的解題工具，如巧妙地使用它，就能建立起問題的條件與結論之間的聯(lián)系，從而化隱為顯，找到解題的切入點。如何想到作輔助圓，如何添加輔助圓，如何運用輔助圓，主要還是能否從條件中看出本質。在這里舉例說明幾個添加輔助圓的常見方法：

一、當遇到直角時想到：直角圓周角所對的弦為直徑，可以作出定圓

例1 如圖1，在邊長為正方形ABCD中，動點E、F分別以相同的速度從D、C兩點同時出發(fā)向C和B運動（任何一個點到達即停止）。在運動過程中，線段CP的最小值為_______。

此題極難解決。數據讓喜歡猜題目答案的人無從下手。比較常見的做法是建立平面直角坐標系求出P點的坐標，用兩點間的距離公式求PC。明顯計算量大而且難以把PC的長表示為常見的函數來求最值。由題意知ADE≌DCF，由全等三角形的性質可得∠APD=90°，定線段AD=，由∠APD=90°想到點P在以AD為直徑的圓上。如圖2，點C在O外，C到圓上的點的距離的最小值為OC-R，即。

例2 如圖3，矩形ABCG（AB

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

由K型圖想到相似可以解決。但是相似有兩種情形，由于本題沒有數據，相似的比例式不好寫。設未知數對于部分學生有難度，而本題是存在性問題確定個數，可以更簡單一點。

由兩個矩形是確定的，連接AE，則AE是固定的線段，∠APE為直角，所以想到以AE為直徑作O，只要P在O上又在BD上就能保證∠APE為直角。如圖可以得知P點有兩個位置符合題意。

小結：上述兩題都是兩個定點一個動直角問題，作出兩定點為直徑的圓，再利用圓的性質解題。

延伸：當某一個動角的大小固定也可以想到同弧所對的圓周角相等，也可以構造圓。

二、由同一端點出發(fā)的幾條線段長相等想到：圓上的點到圓心的距離都是半徑，都相等

例3 如圖4，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數為_______。

從ABC，ACD，ABD為等腰三角形著手可以做出此題。設∠CBD=2∠BDC=2x，∠ABD=y，則∠ADB=y，∠ADC=x+y=∠ACD，∠ACB=2x+y，所以2（2x+y）+44°=180°，2x+x+（2x+y+x+y）=180°， x=22°，y=24°，∠CAD=180°-2（22+24）°=88°。

很明顯數量關系難找，也容易出錯。如果仔細看題，發(fā)現AB=AC=AD。如果以A為圓心，AB為半徑作圓，則B、C、D三點都在A上，∠BAC=44°∠BDC=22°，∠CBD=2∠BDC=44°∠CAD=88°。這樣做簡單、快捷、易懂。

例4 如圖5，在ABC內有一點D，且DA=DB=DC，若∠DAB=25°，∠DAC=35°，則∠BDC的大小是（ ）。

A.70°

B.110°

C.120°

D.50°

此題也可用三角形知識來求解。現在由DA=DB=DC可想到，根據圓的定義，以D為圓心，DA為半徑作D，點A、B、C都在D上，∠BAC=（25+35）°，利用同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，可得∠BDC=120°，故而選C。

小結：這兩題都有明顯的公共端點的三條線段相等的特征，可以利用圓的定義來作圓，再用圓的知識解題。

三、當線段的同側所對的兩個角成倍半關系時想到：同弧所對的圓周角是圓心角的一半

例5 如圖6，在ABP中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點D且PB=5，PD=3，則AD?DC等于（ ）。

A.6

B.8

C.15

D.16

由PA=PB，∠APB=2∠ACB想到：以P為圓心，PA為半徑作P。由∠APB=2∠ACB知點C在P上，延長BP交P于點E，連接AE，利用圓中的相似可求出AD?DC的值。

解：以P為圓心，PA為半徑作P，由∠APB=2∠ACB知點C在P上，延長BP交P于點E，連接AE則由∠AEB=∠ACB，∠ADE=∠BDC得ADE∽BDC，AD?DC=BD?DE=（5-3）（5+3）=16。

小結：此題中有兩個要素可以聯(lián)想到構造圓：①PA=PB；②∠APB=2∠ACB。善于發(fā)現問題的條件和我們所學知識的聯(lián)系，可以激發(fā)“靈感”，從而巧解問題。

四、在平面直角坐標系中確定等腰三角形的個數時可以想到：構造圓，利用圓的半徑相等來解決

例6 如圖7，在平面直角坐標系中，已知A點坐標是（3，3），在坐標軸上確定點P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有_______個。

分析：在平面直角坐標系中，由O、A兩點固定知等腰AOP的一邊固定。OA可以作為底，以也可作為腰。等腰三角形中有兩相等的邊，所以聯(lián)想到圓的半徑相等這一性質，通過構造圓來解決。

分三種情況來考慮：①當OA為腰，A為頂角頂點時，以A為圓心，OA為半徑作A，A與y軸和x軸各有一個符合要求的點；②當OA為腰，O為頂角頂點時，以O為圓心，OA為半徑作O，O與y軸和x軸各有兩個符合要求的點；③當以OA為底邊時，作OA的中垂線交y軸和x軸各有一個點。綜上所述，符合條件的點共有8個。

小結：在解決平面直角坐標系中等腰三角形的存在性和個數問題時，圓能起到快捷直觀的作用，而且可以做到不重復、不遺漏。

圓是初中平面幾何中的基本圖形，它十分完美。圓的性質應用十分廣泛，可以說是魅力無窮。上述問題的條件中都沒有出現圓，但是在解題過程中構造了圓，利用圓的有關性質，建立起已知條件和所求問題之間的聯(lián)系，從而圓滿巧妙地解決了問題。

參考文獻：

1.初中數學教與學.

2.中國數學教育.