一次函數(shù)范文
時(shí)間:2023-04-05 04:46:11
導(dǎo)語(yǔ):如何才能寫好一篇一次函數(shù),這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn),歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文,供你借鑒。
篇1
大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)這段內(nèi)容后,都存在不同程度的困惑,特別是受前面學(xué)習(xí)的自然數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)等“數(shù)”的影響,對(duì)函數(shù)意義的理解感到很渺茫,會(huì)不自覺(jué)地將函數(shù)與有關(guān)的數(shù)進(jìn)行聯(lián)系、歸類.從而造成了許多認(rèn)識(shí)上的混亂.
一、函數(shù)不是“數(shù)”
如果說(shuō)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)等數(shù)我們不僅能舉出相應(yīng)的數(shù)例來(lái),而且還能在數(shù)軸上找到它們的相應(yīng)的點(diǎn)的話,那么函數(shù)是什么呢?函數(shù)是一種關(guān)系,通俗地講,函數(shù)是指兩個(gè)變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,那么變量又是怎么一回事呢?變量是相對(duì)于常量的.在一個(gè)事件過(guò)程中,始終保持不變的量我們稱之為常量,而那些變化的量則稱之為變量.在一次函數(shù)中有兩個(gè)變量,比如:(1)y=3x、(2)y=x+1等式子,當(dāng)式子中的一個(gè)變量x的值一旦確定,那么式子中的另一個(gè)變量y的值也隨之確定了,即(1)中x的值確定3x 的值確定y的值確定,(2)式子中的x的值確定x+1 的值確定y的值確定.
二、數(shù)學(xué)模型化
任何一個(gè)二元一次方程,都可以化為用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的形式,例如方程3x-2y+4=0,化為y=
32x+2,x是自變量,y是x的一次函數(shù).化為x=
23y-
43,則y是自變量,x是y的一次函數(shù).可見(jiàn)一次函數(shù)的一般表達(dá)式就是形如:y=kx+b,(其中k、b均為常數(shù),且k≠0).當(dāng)b=0時(shí),即y=kx,(k≠0),y是x的正比例函數(shù),反之,無(wú)論y是x的正比例函數(shù)y=kx(k≠0),還是y是x的一次函數(shù)y=kx+b,(其中k、b均為常數(shù),且k≠0),都可以化為kx-y=0、kx-y+ b=0的形式,這就是關(guān)于x、y二元一次方程.一次函數(shù)與二元一次方程在本質(zhì)上是相同的,即含有未知數(shù)的等式,不同的只是函數(shù)的研究注重于因變量與自變量的那種對(duì)應(yīng)關(guān)系.
三、“ 一”統(tǒng)到底
一次函數(shù)其基本模型是y=kx+b,(其中k、b均為常數(shù),且k≠0),它與一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式(組)總是存在千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,也正是一次函數(shù)的出現(xiàn),才使得這四個(gè)“一次”賦予了更新的內(nèi)涵.
1.透過(guò)方程看函數(shù)
我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)前,已經(jīng)系統(tǒng)地掌握了二元一次方程(組)的有關(guān)知識(shí),兩者從概念上看都是一次,說(shuō)明未知數(shù)(或變量)的次數(shù)都是1,從式子的外形上看二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式(當(dāng)然一次函數(shù)也可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程的形式)二元一次方程中的兩個(gè)未知數(shù)就是一次函數(shù)中的兩個(gè)變量.在一次函數(shù)中自變量x每取一個(gè)數(shù)值,函數(shù)y都有唯一的數(shù)值與它對(duì)應(yīng),一次函數(shù)的函數(shù)值是隨自變量的取值的確定而確定,這與二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解是完全一致的.
2.借助圖象解方程(組)
一次函數(shù)y=kx+b,(其中k、b均為常數(shù),且k≠0),它的圖象是一條直線.直線是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的,其中直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程y=kx+b,因此方程y=kx+b由無(wú)數(shù)個(gè)解,在同一直角坐標(biāo)系中,如果有兩條直線y=k1x+b1, y=k2x+b2不平行,那么它們必然有一個(gè)交點(diǎn),而且只有一個(gè)交點(diǎn),這個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)既適合方程y=k1x+b1,又適合方程y=k2x+b2,這個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)就是由方程y=k1x+b1,y=k2x+b2組成的方程組的解.如果直線y=k1x+b1、y=k2x+b2平行,它們沒(méi)有交點(diǎn),這個(gè)方程組就無(wú)解,如果直線y=k1x+b1、y=k2x+b2是同一條直線,即兩條直線互相重合,它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn),這個(gè)方程組就有無(wú)數(shù)個(gè)解.實(shí)踐表明,方程組有無(wú)解以及它的解是否唯一,取決于k1、k2的關(guān)系:(1)當(dāng)k1≠k2時(shí),兩條直線有唯一公共點(diǎn),原方程組有唯一解;(2)當(dāng)k1=k2、且b1≠b2時(shí),兩條直線無(wú)公共點(diǎn),原方程組無(wú)解;(3)當(dāng)k1=k2、且b1=b2時(shí),兩條直線有無(wú)數(shù)公共點(diǎn),原方程組有無(wú)數(shù)解.
3.利用圖象找解集
圖1
一次函數(shù)的圖象是一條直線,這條直線如果不與坐標(biāo)軸平行、不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則必然與兩坐標(biāo)軸相交,例如一次函數(shù)y=1.5x+3,其圖象如圖1所示.
該直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(-2,0)、B(0,3),由此圖不難看出,當(dāng)x= -2時(shí),y=0,以點(diǎn)A為分界點(diǎn),點(diǎn)A右邊的圖象處于x軸上方,點(diǎn)A左邊的圖象處于x軸的下方,這說(shuō)明:當(dāng)取x>-2時(shí),y>0,即不等式1.5x+3>0的解集是x>-2;當(dāng)取x
四、撩開(kāi)面紗成雙對(duì)
1.天生的一對(duì)變量
借用教材中的話說(shuō):“如果在一個(gè)變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y,并且對(duì)于變量x的每一個(gè)值,變量y都有惟一的值與它對(duì)應(yīng),那么我們就稱y是x的函數(shù)”.可見(jiàn),函數(shù)中必須有兩個(gè)變量,如果把其中一個(gè)變量規(guī)定為自變量,那么另一個(gè)變量就是這個(gè)自變量的函數(shù).
例如:在正比例函數(shù)y=-12x中,x是自變量,y是x的正比例函數(shù),當(dāng)x每取一個(gè)確定的數(shù)值時(shí),y都有惟一的數(shù)值與它對(duì)應(yīng),也就是說(shuō),只要x取一個(gè)確定的數(shù)值,y也就有一個(gè)確定的數(shù)值了.
2.函數(shù)圖象中點(diǎn)的坐標(biāo)是一對(duì)有序?qū)崝?shù)
在平面直角坐標(biāo)系中,可以通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線等一系列過(guò)程作出函數(shù)的圖象,那么在平面直角坐標(biāo)系上找出任何一點(diǎn)的坐標(biāo),都是用兩個(gè)實(shí)數(shù)表示的,并且表示橫坐標(biāo)的數(shù)寫在前面,表示縱坐標(biāo)的數(shù)寫在后面,兩個(gè)數(shù)中間用逗號(hào)隔開(kāi),前后再用小括號(hào)括起來(lái).
例如,一次函數(shù)y=2x+2.如圖2,其圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-1,0)和(0,2).圖象上其他點(diǎn)的坐標(biāo)也都是如此表示.
圖2圖3
3.畫一次函數(shù)圖象只需找出兩個(gè)點(diǎn)
一次函數(shù)的圖象是一條直線,由直線公理:兩點(diǎn)確定一條直線.可知:畫一次函數(shù)的圖象時(shí),只需找出圖象上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可.例如要作一次函數(shù)y=3x-2的圖象時(shí),當(dāng)x=0時(shí)y=-2,即點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-2);當(dāng)x=1時(shí)y=1,即點(diǎn)坐標(biāo)是(1,1);在直角坐標(biāo)系中將經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-2)與(1,1)的直線作出,就是函數(shù)y=3x-2的圖象,如圖3.
在平面直角坐標(biāo)系中,能作出函數(shù)y=3x-2的圖象的點(diǎn)很多,因?yàn)樵诤瘮?shù)y=3x -2中,x每取一個(gè)值,y都有惟一的數(shù)值與它對(duì)應(yīng),這樣的坐標(biāo)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系上可以找出無(wú)數(shù)個(gè),因此,只要從中任取兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn),就可以作出函數(shù)y=3x-2的圖象了.
4.一次函數(shù)y=kx+b (k≠0,k、b為常數(shù))的圖象所經(jīng)過(guò)的象限中,有兩個(gè)象限是由k的符號(hào)確定的
篇2
1.函數(shù)的概念
在某變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有惟一確定的值與它對(duì)應(yīng),那么稱x是自變量,y是x的函數(shù).
2.函數(shù)的表達(dá)式
用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)的解析式或函數(shù)關(guān)系式,用數(shù)學(xué)式子來(lái)表示函數(shù)的方法叫做解析法.
3.自變量取值范圍的確定
必須考慮自變量的取值使解析式有意義,具體地,整式型的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù);分式型的自變量的取值范圍是使分母不為零的實(shí)數(shù);二次根式型的自變量的取值范圍是被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù);復(fù)合型的自變量的取值范圍由所列不等式的解集確定;應(yīng)用型的自變量的取值范圍還應(yīng)考慮實(shí)際意義.
4.函數(shù)值
對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值,如當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)有惟一確定的對(duì)應(yīng)值,這個(gè)對(duì)應(yīng)值叫做x=0時(shí)的函數(shù)值.
5.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義
一般地,如果兩個(gè)變量x與y之間的關(guān)系,可以表示為y=kx+b(k,b為常數(shù)且k≠0)的形式,那么稱y是x的一次函數(shù).
特別地,當(dāng)b=0時(shí), y叫做x的正比例函數(shù).
6.如何求一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式
①因?yàn)檎壤瘮?shù)y=kx(k≠0)中的待定系數(shù)只有一個(gè)k,因此確定正比例函數(shù)的解析式只需關(guān)于x、y的一組條件,列出一個(gè)方程,從而求出k值.
②而一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)中的待定系數(shù)有k和b,因此要確定一次函數(shù)的解析式需關(guān)于x、y的兩組條件,列出一個(gè)方程組,從而求出k和b.
7.一次函數(shù)的圖象
一般地,正比例函數(shù)y=kx的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線,一次函數(shù)y=kx+b的圖象是由正比例函數(shù)y=kx的圖象沿y軸向上(b>0)或向下(b
因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條直線,由直線的公理可知:兩點(diǎn)確定一條直線,顯然一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,b)、(-■,0)的一條直線.
8.一次函數(shù)的性質(zhì)
在一次函數(shù)y=kx+b中,
如果k>0,那么y隨x的增大而增大;
如果k
9.一次函數(shù)表達(dá)式的確定
(1)通過(guò)分析數(shù)量(等量)關(guān)系得出函數(shù)關(guān)系式;
(2)通過(guò)利用函數(shù)圖象,根據(jù)直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)列出方程組確定k,b的值,求出一次函數(shù)表達(dá)式;
(3)從已知條件出發(fā),通過(guò)數(shù)學(xué)建模得出一次函數(shù)表達(dá)式.
10.一次函數(shù)的應(yīng)用
用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟:(1)認(rèn)真分析實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系;(2)若具有一次函數(shù)關(guān)系,則建立一次函數(shù)的關(guān)系式;(3)利用一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解題.
在一些具體的生活問(wèn)題中,數(shù)據(jù)往往較多,反映的內(nèi)容也很復(fù)雜,如何把眾多的信息組織起來(lái)是解題的核心.在實(shí)際生活問(wèn)題中,應(yīng)用一次函數(shù)知識(shí)解題的關(guān)鍵是建立一次函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),綜合方程知識(shí)求解.
在一次函數(shù)應(yīng)用的過(guò)程中,要注意結(jié)合實(shí)際,確定自變量的取值范圍,求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值時(shí),舍去不符合題意的部分.
11.一元一次函數(shù)與一元一次方程
對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0),它反映了2個(gè)變量x、y之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系,當(dāng)其中的一個(gè)量變化時(shí),另一個(gè)量也隨著變化,并且它們之間建立的是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,把這一對(duì)對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y)作為點(diǎn)的坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中,就可以畫出一條直線,這條直線就是一次函數(shù)的圖象.
同學(xué)們知道一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0 (k、b為常數(shù),k≠0)的形式,所以當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)值為0時(shí),求自變量x的值,就是解方程kx+b=0求其根. 從圖象上看,就相當(dāng)于已知直線y=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0),求這條直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.
12.一元一次函數(shù)與一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為kx+b>0 或kx+b0或y0 或kx+b
13.一元一次函數(shù)與二元一次方程組
一般地,一元一次函數(shù)y=kx+b圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程kx-y+b=0的解;以二元一次方程kx-y+b=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上.
一般地,如果兩個(gè)一元一次函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn),那么交點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方程組的解,所以解二元一次方程組除了代入法和加減法外還可以用圖象法.
用圖象法解二元一次方程組的步驟如下:
①把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式;
②在直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象,并標(biāo)出交點(diǎn);
③交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.
二、滲透的數(shù)學(xué)思想方法
1.數(shù)形結(jié)合思想
著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò):“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,數(shù)形分離萬(wàn)事休”,這句名言道出了“數(shù)形結(jié)合思想”的重要性. 函數(shù)圖形可直觀形象地表示出兩個(gè)變量之間的關(guān)系,我們知道一次函數(shù)的圖象是坐標(biāo)(x,y)滿足解析式y(tǒng)=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0)的所有點(diǎn)的集合,這樣就將數(shù)與式的關(guān)系同點(diǎn)與線的位置關(guān)系緊密地融合在一起,實(shí)現(xiàn)了形數(shù)的完美結(jié)合.由一次函數(shù)的圖象探索其性質(zhì)就是一個(gè)由“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化的例證.
2.分類討論思想
研究一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的時(shí)候,對(duì)k、b進(jìn)行討論,體現(xiàn)了分類討論的思想.
3.化歸思想
求兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求方程組的解,即將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題,當(dāng)然求方程組的解也可以將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)畫出圖象,求交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
4.待定系數(shù)法
待定系數(shù)法是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)方法,要結(jié)合它在確定一次函數(shù)表達(dá)式中的應(yīng)用,理解它的基本思想,并注意在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用.
三、典型例題展示
1.自變量的取值范圍、函數(shù)值的計(jì)算
例1(1)(2009年廣東肇慶)函數(shù)y=■的自變量x的取值范圍是( ).
A.x>2 B.x
(2)(2008年江蘇泰州)根據(jù)流程圖1中的程序,當(dāng)輸入數(shù)值x為-2時(shí),輸出數(shù)值y為( ).
A.4B.6C.8D.10
解析:(1)由于函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=■是二次根式,由算術(shù)平方根的意義可知x-2≥0,所以x≥2,故選C.
(2)因?yàn)檩斎霐?shù)值x為-2,符合x
點(diǎn)評(píng):求自變量的取值范圍主要是觀察函數(shù)的表達(dá)式中蘊(yùn)含自變量的那些運(yùn)算,必須保證算式有意義,如算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)、分式的分母不能為零等.求函數(shù)值時(shí),一定要在自變量的取值范圍內(nèi)代入相應(yīng)的解析式,如本題若將x=-2代入y=0.5x+5求值,就是錯(cuò)誤的.
2.由創(chuàng)設(shè)的實(shí)際問(wèn)題情景,選擇相吻合的函數(shù)圖象
例2 (2009年黑龍江牡丹江)將一盛有部分水的圓柱形小水杯放入事先沒(méi)有水的大圓柱形容器內(nèi),現(xiàn)用一注水管沿大容器內(nèi)壁勻速注水(如圖2所示),則小水杯內(nèi)水面的高度y(cm)與注水時(shí)間x(min)之間的函數(shù)圖象大致為( ).
解析:由于起初小杯內(nèi)盛有一部分水,說(shuō)明當(dāng)x=0 時(shí),y≠0(y>0),這樣首先將選項(xiàng)A、D排除,向大容器內(nèi)壁勻速注水(直到大容器內(nèi)水面的高度與小水杯高度相同)的這一段時(shí)間內(nèi),小水杯內(nèi)水面的高度始終沒(méi)有變化,此后,大容器內(nèi)的水流入小水杯內(nèi),y隨x的增大而升高,但當(dāng)小水杯內(nèi)的水的高度與水杯高度相同時(shí),再向大容器內(nèi)注水,y不再發(fā)生變化,這樣排除選項(xiàng)C,故選B.
3.數(shù)形結(jié)合探究解析式與一次函數(shù)的圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系
例3 (1)(2009年安微蕪湖)關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+k2+1的圖象可能正確的是( ).
(2)(2008年浙江寧波)如圖3,某電信公司提供了A、B兩種方案的移動(dòng)通訊費(fèi)用y(元)與通話時(shí)間x(分)之間的關(guān)系,則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是( ).
A.若通話時(shí)間少于120分鐘,則A方案比B方案便宜20元
B.若通話時(shí)間超過(guò)200分鐘,則B方案比A方案便宜12元
C.若通訊費(fèi)用為60元,則B方案比A方案的通話時(shí)間多
D.若兩種方案通訊費(fèi)用相差10元,則通話時(shí)間是145分鐘或185分鐘
解析:(1)因?yàn)閗2+1>0,所以一次函數(shù)y=kx+k2+1的圖象與坐標(biāo)軸只能交于y 軸的正半軸,觀察圖象只有選項(xiàng)C符合.
(2)觀察圖象:A方案當(dāng)通話時(shí)間不超過(guò)120分時(shí)需話費(fèi)30元,B方案當(dāng)通話時(shí)間不超過(guò)200分時(shí)需話費(fèi)50元,因此選擇項(xiàng)A是正確的.
超過(guò)120分鐘時(shí),A方案的費(fèi)用y與通話時(shí)間x之間的關(guān)系為:yA=■x-18.
超過(guò)200分鐘時(shí),B方案的費(fèi)用y與通話時(shí)間x之間的關(guān)系為:yB=■x-30.
故通話時(shí)間超過(guò)200分鐘時(shí),yA-yB=12,所以選擇項(xiàng)B是正確的.
當(dāng)通訊費(fèi)用為60元時(shí),顯然方案B通話時(shí)間長(zhǎng),所以選項(xiàng)C是正確的.
由選項(xiàng)B可知,當(dāng)通話時(shí)間超過(guò)200分鐘時(shí),兩種方案通訊費(fèi)用相差12元,不可能是10元,觀察圖象當(dāng)通話時(shí)間在120~170分鐘之間時(shí),B方案的費(fèi)用高于A方案的費(fèi)用10元時(shí),即A方案的費(fèi)用為40元時(shí),40=■x-18,解之得x=145;當(dāng)通話時(shí)間在170~200分鐘之間時(shí),A方案的費(fèi)用高于B方案的費(fèi)用10元,即A方案的費(fèi)用為60元時(shí),60=■x-18,解之得x=195,所以選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的.
四、與幾何知識(shí)牽手
例4如圖4,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B在直線y=-x上運(yùn)動(dòng),當(dāng)線段AB最短時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為( ).
A.(0,0) B.(■,-■)
C.(■,-■) D.(-■,■)
解析:過(guò)點(diǎn)A作ACBO于點(diǎn)C,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可知,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)AB最短.由∠AOC=45°,ACOC,可知AOC是等腰直角三角形,可得點(diǎn)C(■, -■),故選C.
例5 (2008年江西南昌)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,有A(0,1),B(-1,0),C(1,0)三點(diǎn)坐標(biāo).
(1)若點(diǎn)D與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形,請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)選擇(1)中符合條件的一點(diǎn)D,求直線 BD的解析式.
解析:(1)根據(jù)平行四邊形的判定可知,D點(diǎn)與另一點(diǎn)所形成的線段必須與另一條線段平行,如果以AB和BC為鄰邊,則AB∥CD,AD∥BC,可得D1(2,1);如果以BC和CA為鄰邊,則AC∥BD,AD∥BC,可得D2(-2,1);如果以AB和AC為鄰邊,則AB∥CD,AC∥BD,可得D3(0,-1),故符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是D1(2,1),D2(-2,1),D3(0,-1).
(2)①選擇點(diǎn)D1(2,1)時(shí),設(shè)直線BD1的解析式為y=kx+b,
由題意得-k+b=0,2k+b=1,解得k=■,b=■,
直線BD1的解析式為y=■x+■.
②選擇點(diǎn)D2(-2,1)時(shí),類似①的求法,可得直線BD2的解析式為y=-x-1.
③選擇點(diǎn)D3(0,-1)時(shí),類似①的求法,可得直線BD3的解析式為y=-x-1.
五、一次函數(shù)與一次方程(組)、不等式(組)
例6 (2008年湖北咸寧)直線l1:y=k1x+b與直線l2:y=k2x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖6所示,則關(guān)于x的不等式k2x>k1x+b的解集為 .
解析:觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)xk1x+b的解集為x
例7 (2009年浙江臺(tái)州)如圖7,直線l1:y=x+1與直線l2:y=mx+n相交于點(diǎn)P(1,b).
(1)求b的值;
(2)請(qǐng)直接寫出關(guān)于x,y的方程組y=x+1,y=mx+n的解.
解析:(1)因?yàn)?1,b)在直線y=x+1上, 即當(dāng)x=1時(shí),b=1+1=2,所以直線l1:y=x+1與直線 l2:y=mx+n的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).
(2)根據(jù)二元一次方程組的解與兩個(gè)一次函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,方程組的解是x=1,y=2.
六、利用圖象、表格信息建立一次函數(shù)模型,解決實(shí)際問(wèn)題
例8 (1)(2009年吉林長(zhǎng)春)某部隊(duì)甲、乙兩班參加植樹(shù)活動(dòng).乙班先植樹(shù)30棵,然后甲班才開(kāi)始與乙班一起植樹(shù).設(shè)甲班植樹(shù)的總量為y甲(棵),乙班植樹(shù)的總量為y乙(棵),兩班一起植樹(shù)所用的時(shí)間(從甲班開(kāi)始植樹(shù)時(shí)計(jì)時(shí))為x(時(shí)).y甲、y乙分別與x之間的部分函數(shù)圖象如圖8所示.
(1)當(dāng)0≤x≤6時(shí),分別求y甲、y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)如果甲、乙兩班均保持前6個(gè)小時(shí)的工作效率,通過(guò)計(jì)算說(shuō)明,當(dāng)x=8時(shí),甲、乙兩班植樹(shù)的總量之和能否超過(guò)260棵.
(3)如果6個(gè)小時(shí)后,甲班保持前6個(gè)小時(shí)的工作效率,乙班通過(guò)增加人數(shù),提高了工作效率,這樣繼續(xù)植樹(shù)2小時(shí),活動(dòng)結(jié)束,兩班植樹(shù)的總量相差20棵,求乙班增加人數(shù)后平均每小時(shí)植樹(shù)多少棵.
解析:(1)設(shè)y甲=k1x,把(6,120)代入,得k1=20,所以y甲=20x.
當(dāng)x=3時(shí),y甲=60.
設(shè)y乙=k2 x+b,把(0,30),(3,60)代入,得b=30,3k2+b=60,
解得k2=10,b=30.
所以y乙=10x+30.
(2)當(dāng)x=8時(shí),y甲=8×20=160, y乙=8×10+30=110,因?yàn)?60+110=270>260,
所以當(dāng)x=8時(shí),甲、乙兩班植樹(shù)的總量之和能超過(guò)260棵.
(3)設(shè)乙班增加人數(shù)后平均每小時(shí)植樹(shù)a棵.
當(dāng)乙班比甲班多植樹(shù)20棵時(shí),有6×10+30+2a-20×8=20,解得a=45.
當(dāng)甲班比乙班多植樹(shù)20棵時(shí),有20×8-(6×10+30+2a)=20,解得a=25.
所以乙班增加人數(shù)后平均每小時(shí)植樹(shù)45棵或25棵.
例9 (2008年湖北咸寧)“5?12”四川汶川大地震的災(zāi)情牽動(dòng)全國(guó)人民的心,某市A、B兩個(gè)蔬菜基地得知四川C、D兩個(gè)災(zāi)民安置點(diǎn)分別急需蔬菜240噸和260噸的消息后,決定調(diào)運(yùn)蔬菜支援災(zāi)區(qū).已知A蔬菜基地有蔬菜200噸,B蔬菜基地有蔬菜300噸,現(xiàn)將這些蔬菜全部調(diào)往C、D兩個(gè)災(zāi)民安置點(diǎn).從A地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元,從B地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元.設(shè)從B地運(yùn)往C處的蔬菜為x噸.
(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤?并求兩個(gè)蔬菜基地調(diào)運(yùn)蔬菜的運(yùn)費(fèi)相等時(shí)x的值;
(2)設(shè)A、B兩個(gè)蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元,寫出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)運(yùn)方案;
(3)經(jīng)過(guò)搶修,從B地到C處的路況得到改善,縮短了運(yùn)輸時(shí)間,運(yùn)費(fèi)每噸減少 m元(m>0),其余線路的運(yùn)費(fèi)不變,試討論總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)運(yùn)方案.
解析:(1)從表格中可以看出從B地運(yùn)往C處的蔬菜為x噸,而B(niǎo)地共有300噸,剩余(300-x)噸必然運(yùn)往D地,而C地需要240噸,故需從A地調(diào)運(yùn)(240-x)噸,剩余200-(240-x)=(x-40)噸全部運(yùn)往D地,填表如下:
兩個(gè)蔬菜基地調(diào)運(yùn)蔬菜的運(yùn)費(fèi)相等時(shí),依題意得20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x).
解得x=200.
(2)w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為:w=2x+9200.
依題意得240-x≥0,x-40≥0,x≥0,300-x≥0.
40≤x≤240.
在w=2x+9200中,w隨x的增大而增大,故當(dāng)x=40時(shí),總運(yùn)費(fèi)最少,此時(shí)調(diào)運(yùn)方案如下表:
(3)由題意知w=(15-m)x+18(300-x)+20(240-x)+25(x-40)=(2-m)x+9200.
當(dāng)0
篇3
1、使學(xué)生初步理解一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念。
2、使學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件,確定一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式。
二、內(nèi)容分析
1、初中主要是通過(guò)幾種簡(jiǎn)單的函數(shù)的初步介紹來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的,前面三小節(jié),先學(xué)習(xí)函數(shù)的概念與表示法,這是為學(xué)習(xí)后面的幾種具體的函數(shù)作準(zhǔn)備的,從本節(jié)開(kāi)始,將依次學(xué)習(xí)一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的有關(guān)知識(shí),大體上,每種函數(shù)是按函數(shù)的解析式、圖象及性質(zhì)這個(gè)順序講述的,通過(guò)這些具體函數(shù)的學(xué)習(xí),學(xué)生可以加深對(duì)函數(shù)意義、函數(shù)表示法的認(rèn)識(shí),并且,結(jié)合這些內(nèi)容,學(xué)生還會(huì)逐步熟悉函數(shù)的知識(shí)及有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。
2、舊教材在講幾個(gè)具體的函數(shù)時(shí),是按先講正反比例函數(shù),后講一次、二次函數(shù)順序編排的,這是適當(dāng)照顧了學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)了正反比例關(guān)系的知識(shí),注意了中小學(xué)的銜接,新教材則是安排先學(xué)習(xí)一次函數(shù),并且,把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例予以介紹,而最后才學(xué)習(xí)反比例函數(shù),為什么這樣安排呢?第一,這樣安排,比較符合學(xué)生由易到難的認(rèn)識(shí)規(guī)津,從函數(shù)角度看,一次函數(shù)的解析式、圖象與性質(zhì)都是比較簡(jiǎn)單的,相對(duì)來(lái)說(shuō),反比例函數(shù)就要復(fù)雜一些了,特別是,反比例函數(shù)的圖象是由兩條曲線組成的,先學(xué)習(xí)反比例函數(shù)難度可能要大一些。第二,把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例介紹,既可以提高學(xué)習(xí)效益,又便于學(xué)生了解正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系,從而,可以更好地理解這兩種函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)。
3、“函數(shù)及其圖象”這一章的重點(diǎn)是一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),一方面,在學(xué)生初次接觸函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容時(shí),一定要結(jié)合具體函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí),因此,全章的主要內(nèi)容,是側(cè)重在具體函數(shù)的講述上的。另一方面,在大綱規(guī)定的幾種具體函數(shù)中,一次函數(shù)是最基本的,教科書對(duì)一次函數(shù)的討論也比較全面。通過(guò)一次函數(shù)的學(xué)習(xí),學(xué)生可以對(duì)函數(shù)的研究方法有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)與了解,從而能更好地把握學(xué)次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)方法。
三、教學(xué)過(guò)程
復(fù)習(xí)提問(wèn):
1、什么是函數(shù)?
2、函數(shù)有哪幾種表示方法?
3、舉出幾個(gè)函數(shù)的例子。
新課講解:
可以選用提問(wèn)時(shí)學(xué)生舉出的例子,也可以直接采用教科書中的四個(gè)函數(shù)的例子。然后讓學(xué)生觀察這些例子(實(shí)際上均是一次函數(shù)的解析式),y=x,s=3t等。觀察時(shí),可以按下列問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考:
(1)這些式子表示的是什么關(guān)系?(在學(xué)生明確這些式子表示函數(shù)關(guān)系后,可指出,這是函數(shù)。)
(2)這些函數(shù)中的自變量是什么?函數(shù)是什么?(在學(xué)生分清后,可指出,式子中等號(hào)左邊的y與s是函數(shù),等號(hào)右邊是一個(gè)代數(shù)式,其中的字母x與t是自變量。)
(3)在這些函數(shù)式中,表示函數(shù)的自變量的式子,分別是關(guān)于自變量的什么式呢?(這題牽扯到有關(guān)整式的基本概念,表示函數(shù)的自變量的式子也就是等號(hào)右邊的式子,都是關(guān)于自變量的一次式。)
(4)x的一次式的一般形式是什么?(結(jié)合一元一次方程的有關(guān)知識(shí),可以知道,x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)
由以上的層層設(shè)問(wèn),最后給出一次函數(shù)的定義。
一般地,如果y=kx+b(k,b是常數(shù),k≠0)那么,y叫做x的一次函數(shù)。
對(duì)這個(gè)定義,要注意:
(1)x是變量,k,b是常數(shù);
(2)k≠0(當(dāng)k=0時(shí),式子變形成y=b的形式。b是x的0次式,y=b叫做常數(shù)函數(shù),這點(diǎn),不一定向?qū)W生講述。)
由一次函數(shù)出發(fā),當(dāng)常數(shù)b=0時(shí),一次函數(shù)kx+b(k≠0)就成為:y=kx(k是常數(shù),k≠0)我們把這樣的函數(shù)叫正比例函數(shù)。
在講述正比例函數(shù)時(shí),首先,要注意適當(dāng)復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過(guò)的正比例關(guān)系,小學(xué)數(shù)學(xué)是這樣陳述的:
兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
寫成式子是(一定)
需指出,小學(xué)因?yàn)闆](méi)有學(xué)過(guò)負(fù)數(shù),實(shí)際的例子都是k>0的例子,對(duì)于正比例函數(shù),k也為負(fù)數(shù)。
其次,要注意引導(dǎo)學(xué)生找出一次函數(shù)與正比例函數(shù)之間的關(guān)系:正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。
課堂練習(xí):
教科書13、4節(jié)練習(xí)第1題.
一、目的要求
1、使學(xué)生初步理解一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念。
2、使學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件,確定一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式。
二、內(nèi)容分析
1、初中主要是通過(guò)幾種簡(jiǎn)單的函數(shù)的初步介紹來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的,前面三小節(jié),先學(xué)習(xí)函數(shù)的概念與表示法,這是為學(xué)習(xí)后面的幾種具體的函數(shù)作準(zhǔn)備的,從本節(jié)開(kāi)始,將依次學(xué)習(xí)一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的有關(guān)知識(shí),大體上,每種函數(shù)是按函數(shù)的解析式、圖象及性質(zhì)這個(gè)順序講述的,通過(guò)這些具體函數(shù)的學(xué)習(xí),學(xué)生可以加深對(duì)函數(shù)意義、函數(shù)表示法的認(rèn)識(shí),并且,結(jié)合這些內(nèi)容,學(xué)生還會(huì)逐步熟悉函數(shù)的知識(shí)及有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。
2、舊教材在講幾個(gè)具體的函數(shù)時(shí),是按先講正反比例函數(shù),后講一次、二次函數(shù)順序編排的,這是適當(dāng)照顧了學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)了正反比例關(guān)系的知識(shí),注意了中小學(xué)的銜接,新教材則是安排先學(xué)習(xí)一次函數(shù),并且,把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例予以介紹,而最后才學(xué)習(xí)反比例函數(shù),為什么這樣安排呢?第一,這樣安排,比較符合學(xué)生由易到難的認(rèn)識(shí)規(guī)津,從函數(shù)角度看,一次函數(shù)的解析式、圖象與性質(zhì)都是比較簡(jiǎn)單的,相對(duì)來(lái)說(shuō),反比例函數(shù)就要復(fù)雜一些了,特別是,反比例函數(shù)的圖象是由兩條曲線組成的,先學(xué)習(xí)反比例函數(shù)難度可能要大一些。第二,把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例介紹,既可以提高學(xué)習(xí)效益,又便于學(xué)生了解正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系,從而,可以更好地理解這兩種函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)。
3、“函數(shù)及其圖象”這一章的重點(diǎn)是一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),一方面,在學(xué)生初次接觸函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容時(shí),一定要結(jié)合具體函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí),因此,全章的主要內(nèi)容,是側(cè)重在具體函數(shù)的講述上的。另一方面,在大綱規(guī)定的幾種具體函數(shù)中,一次函數(shù)是最基本的,教科書對(duì)一次函數(shù)的討論也比較全面。通過(guò)一次函數(shù)的學(xué)習(xí),學(xué)生可以對(duì)函數(shù)的研究方法有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)與了解,從而能更好地把握學(xué)次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)方法。
三、教學(xué)過(guò)程
復(fù)習(xí)提問(wèn):
1、什么是函數(shù)?
2、函數(shù)有哪幾種表示方法?
3、舉出幾個(gè)函數(shù)的例子。
新課講解:
可以選用提問(wèn)時(shí)學(xué)生舉出的例子,也可以直接采用教科書中的四個(gè)函數(shù)的例子。然后讓學(xué)生觀察這些例子(實(shí)際上均是一次函數(shù)的解析式),y=x,s=3t等。觀察時(shí),可以按下列問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考:
(1)這些式子表示的是什么關(guān)系?(在學(xué)生明確這些式子表示函數(shù)關(guān)系后,可指出,這是函數(shù)。)
(2)這些函數(shù)中的自變量是什么?函數(shù)是什么?(在學(xué)生分清后,可指出,式子中等號(hào)左邊的y與s是函數(shù),等號(hào)右邊是一個(gè)代數(shù)式,其中的字母x與t是自變量。)
(3)在這些函數(shù)式中,表示函數(shù)的自變量的式子,分別是關(guān)于自變量的什么式呢?(這題牽扯到有關(guān)整式的基本概念,表示函數(shù)的自變量的式子也就是等號(hào)右邊的式子,都是關(guān)于自變量的一次式。)
(4)x的一次式的一般形式是什么?(結(jié)合一元一次方程的有關(guān)知識(shí),可以知道,x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)
由以上的層層設(shè)問(wèn),最后給出一次函數(shù)的定義。
一般地,如果y=kx+b(k,b是常數(shù),k≠0)那么,y叫做x的一次函數(shù)。
對(duì)這個(gè)定義,要注意:
(1)x是變量,k,b是常數(shù);
(2)k≠0(當(dāng)k=0時(shí),式子變形成y=b的形式。b是x的0次式,y=b叫做常數(shù)函數(shù),這點(diǎn),不一定向?qū)W生講述。)
由一次函數(shù)出發(fā),當(dāng)常數(shù)b=0時(shí),一次函數(shù)kx+b(k≠0)就成為:y=kx(k是常數(shù),k≠0)我們把這樣的函數(shù)叫正比例函數(shù)。
在講述正比例函數(shù)時(shí),首先,要注意適當(dāng)復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過(guò)的正比例關(guān)系,小學(xué)數(shù)學(xué)是這樣陳述的:
兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
寫成式子是(一定)
需指出,小學(xué)因?yàn)闆](méi)有學(xué)過(guò)負(fù)數(shù),實(shí)際的例子都是k>0的例子,對(duì)于正比例函數(shù),k也為負(fù)數(shù)。
其次,要注意引導(dǎo)學(xué)生找出一次函數(shù)與正比例函數(shù)之間的關(guān)系:正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。
篇4
一、 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)的興趣
在課堂上,經(jīng)常會(huì)看到個(gè)別學(xué)生活躍的身影,他們總是在教師講完甚至未講完的時(shí)候就迫不及待地將答案脫口而出。難道這些學(xué)生有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的天賦嗎?難道是他們有與生俱來(lái)的才智嗎?不,都不是,是因?yàn)樗麄儗?duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有熱情。他們總是充滿激情,充滿學(xué)習(xí)的樂(lè)趣,善于思考,如此,就會(huì)形成自己的思維。因此,要想教好數(shù)學(xué),教好一次函數(shù),首先就應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)的興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性,為學(xué)生營(yíng)造充滿生機(jī)和活力的課堂氛圍。
二、 明確函數(shù)及一次函數(shù)的概念
要學(xué)習(xí)一種新事物,首先要明確它是什么。因此,在學(xué)習(xí)一次函數(shù)前,應(yīng)該讓學(xué)生先明確函數(shù)的概念,以及所要學(xué)習(xí)的一次函數(shù)的概念。所謂函數(shù),其實(shí)表示的是一種關(guān)系,表示每個(gè)輸入值對(duì)應(yīng)唯一輸出值的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。而一次函數(shù)是函數(shù)的一種,它表示在某一變化過(guò)程中,設(shè)有兩個(gè)變量分別為x和y,如果將其寫成y=kx+b(k為一次項(xiàng)系數(shù),b為常數(shù))這樣的表達(dá)式,那么我們就說(shuō)y是x的一次函數(shù),其中x是自變量,y是因變量。看起來(lái)似乎很復(fù)雜,那么如何來(lái)理解這個(gè)概念呢?就是說(shuō)在某一個(gè)變化過(guò)程中,設(shè)有兩個(gè)變量x和y,如果可以寫成y=kx+b(k為一次項(xiàng)系數(shù),b為常數(shù)),即每一個(gè)x都有唯一一個(gè)y與之對(duì)應(yīng),那么我們就說(shuō)y是x的函數(shù),其中x是自變量,y是因變量,它隨x的變化而變化。當(dāng)x取一個(gè)值時(shí),y有且只有一個(gè)值與x對(duì)應(yīng)。如果有2個(gè)或2個(gè)以上的值與x對(duì)應(yīng),那就不是函數(shù)。然后教師可以寫出一些表達(dá)式,讓學(xué)生來(lái)區(qū)分一下哪些是一次函數(shù),哪些不是。比如這樣的一個(gè)習(xí)題:確定下面哪些是一次函數(shù)?哪些不是?
1. y=2x-1 2. y=x2 3. y-2=x 4y=-x
很顯然第二個(gè)是不符合一次函數(shù)定義的,而其他的幾項(xiàng)都符合,所以其他幾項(xiàng)都屬于一次函數(shù)。
三、 通過(guò)圖象理解一次函數(shù)解析式的性質(zhì)特征
將數(shù)與形進(jìn)行有機(jī)結(jié)合,對(duì)于理解函數(shù)來(lái)說(shuō)是一種很好的方式,因此教師要讓學(xué)生熟練掌握一次函數(shù)的圖形,能夠熟練作圖以及通過(guò)圖形得出一次函數(shù)的基本性質(zhì)特征。圖象的畫法一般是通過(guò)三個(gè)步驟來(lái)完成的:1.列表;2.描點(diǎn);3.連線。通過(guò)分析圖,我們可以得出一次函數(shù)的基本性質(zhì):(1)在一次函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)P(x,y),則都滿足等式:y=kx+b(k≠0).(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0,b),與x軸總交于(-,0).a.當(dāng) k>0,b>0, 此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限;b.當(dāng) k>0,b
四、加強(qiáng)訓(xùn)練和鞏固
篇5
知識(shí)準(zhǔn)備
一、解析式:一次函數(shù)的解析式為y=kx+b(k,b都是常數(shù)且k≠0)。當(dāng)b=0時(shí),y=kx(k≠0)叫做正比例函數(shù)。
二、圖象:一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象是一條直線。
三、性質(zhì)
1、當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大;
當(dāng)k
2、當(dāng)b>0時(shí),直線與y軸的正半軸相交;
當(dāng)b
當(dāng)b=0時(shí),直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)
3、當(dāng)k>0,b>0時(shí),直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限;
當(dāng)k>0,b
當(dāng)k0時(shí),直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限;
當(dāng)k
4、畫一次函數(shù)的圖象只需取直線上兩個(gè)不同點(diǎn)即可。一般取直線y=kx+b與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(- ,0)和(0,b)
5、兩直線y1=k1x+b1與y2=k2x+b2
當(dāng)k1=k2 b1≠b2時(shí),兩直線平行;
當(dāng)k1≠k2 b1=b2時(shí),兩直線交于y軸同一點(diǎn)(0,b)
四、一次函數(shù)的表示法有:解析法、列表法、圖象法。
方法解析
一、一次函數(shù)的判定方法
1、定義法:一次函數(shù)需同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:
①函數(shù)的解析式是關(guān)于自變量(如x)的整式;
②函數(shù)自變量x的最高次數(shù)是1;
③函數(shù)自變量x的系數(shù)不等于0.
2、數(shù)形結(jié)合法:一次函數(shù)的圖象是一條直線(或直線上的一部分)。
二、求一次函數(shù)的解析式。
1、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式。
①待定系數(shù)法:先設(shè)出函數(shù)的解析式,再根據(jù)已知條件確定解析式中未知的系數(shù),從而求出函數(shù)解析式的方法,叫做待定系數(shù)法。
②一般步驟:
I:設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0)
II:由已知條件得出關(guān)于k、b的方程(組);
III:解方程(組)求出k、b的值;
IV:寫出所求的函數(shù)關(guān)系式。
③例題詳解
例1:(2007年?樂(lè)山)直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,1),B(0,-2),將該直線向右平移2個(gè)單位得到直線l2,求直線l2的解析式。
解題導(dǎo)引:根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線,故只需找出l2上的兩點(diǎn)即可。
解:A(-3,1),B(0,-2)向右平移兩個(gè)單位后的點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,1)和(2,-2),即直線l2經(jīng)過(guò)(-1,1)和(2,-2)。
設(shè)直線l2的解析式為y=kx+b(k≠0)
由已知得解方程組得
直線l2的解析式為y=-x。
2、用數(shù)形結(jié)合法求一次函數(shù)的解析式。
①解題思路:從題目中讀懂信息,找到兩組對(duì)應(yīng)值,從而得到相應(yīng)的函數(shù)解析式。利用數(shù)形結(jié)合的方法解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題,使抽象的數(shù)形象化、直觀化,化數(shù)為形,以形思數(shù)。
②例題詳解
例2:某商店試銷售一種成本單價(jià)為100元/件的商品,規(guī)定試銷時(shí)售價(jià)不低于成本價(jià),又不高于180元/件,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元/件)之間的關(guān)系滿足一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)其圖象如右圖所示。
(1)根據(jù)圖象求一次函數(shù)的解析式;
(2)若銷售量y不低于80件,求銷售價(jià)
x的范圍。
解題導(dǎo)引:由函數(shù)圖象可知直線y=kx+b
經(jīng)過(guò)點(diǎn)(120,120),(140,100),從而可求其解
析式。
解:(1)由圖象可得:
解這個(gè)方程組得
所求的一次函數(shù)的解析式為:y=-x+240(100≤x≤180)
(2)由題意得:
即
100≤x≤160
3、運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)求解析式
例3:已知一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù)且k≠0)中自變量的取值范圍是-2≤x≤6,相應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是-10≤y≤6,求此函數(shù)的解析式。
解題導(dǎo)引:欲求函數(shù)的解析式,只需求出函數(shù)的兩組對(duì)應(yīng)值。但本題中沒(méi)有指出函數(shù)值隨自變量的變化情況,故應(yīng)分兩種情況:
①y隨x的增大而增大和②y隨x的增大而減小考慮。
解:(1)當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)
則由已知得x=-2時(shí),y=-10,x=6時(shí),y=6
解這個(gè)方程組得
所求的函數(shù)解析式為y=2x-6
(2)當(dāng)y隨x的增大而減小時(shí),
則由已知得,x=-2時(shí)y=6,x=6時(shí),y=-10
解這個(gè)方程組得
所求的函數(shù)解析式為y=-2x+2
由(1)(2)得所求函數(shù)的解析式為y=2x-6或y=-2x+2
4、由函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積求解析式。
例4:若直線y=2x+b與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,求此一次函數(shù)的解析式。
解題導(dǎo)引:此題得解的關(guān)鍵是求b,于是需由已知條件建立一個(gè)關(guān)于b的方程。
解:在y=2x+b中
當(dāng)x=0時(shí)y=b,當(dāng)y=0時(shí),x=-
直線y=2x+b與x,y軸的交點(diǎn)分別是
(- ,0) 和(0,b)
由已知條件得: |b|?|- |=4
所求的一次函數(shù)的解析式為y=2x+4或y=2x-4。
5、由對(duì)稱性求一次函數(shù)的解析式。
例5:已知直線l1:y=x-2與直線l2關(guān)于x軸對(duì)稱,求直線l2的解析式。
解題導(dǎo)引:求直線l2的解析式,關(guān)鍵要找出l2上兩個(gè)點(diǎn),因?yàn)閘2與l1關(guān)于x軸對(duì)稱,則l1上的每個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)都在l2上,故只需在l1上任取兩點(diǎn),再求出它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)即可。
解:在y=x-2中
當(dāng)x=0時(shí),y=-2,當(dāng)y=0時(shí),x=2
(0,-2)和(2,0)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)分別是(0,2)和(2,0)
設(shè)l2的解析式為y=kx+b
篇6
例1 (2009吉林)A,B兩地相距45千米,圖中折線表示某騎車人離A地的距離y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系.有一輛客車9點(diǎn)從B地出發(fā),以45千米/時(shí)的速度勻速行駛,并往返于A,B兩地之間.(乘客上、下車停留時(shí)間忽略不計(jì))
(1)從折線圖可以看出,騎車人一共休息次,共休息 小時(shí);
(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出9點(diǎn)至15點(diǎn)之間客車與A地距離y隨時(shí)間x變化的函數(shù)圖象;
(3)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明,何時(shí)騎車人與客車第二次相遇.
點(diǎn)撥:①休息的次數(shù)就是折線中平行于x軸的線段的條數(shù),休息的時(shí)間就是這些的線段長(zhǎng)度之和.
②A,B兩地相距45千米,而客車正好以45千米/時(shí)的速度勻速行駛,可知客車在A,B兩地間的行進(jìn)時(shí)間為1小時(shí),據(jù)此不難作出如圖所示的由6條線段組成的端點(diǎn)分別是(9,45),(10,0)(11,45),(12,0),(13,45),(14,0)(15,45)的折線.
③騎車人與客車相遇在圖象上的體現(xiàn),就是相應(yīng)的函數(shù)圖象相交.觀察函數(shù)圖象,從左至右的第二個(gè)交點(diǎn),是直線EF與直線y=30的交點(diǎn).先求出線段EF的解析式,再把y=30(10≤x≤11)代入,即可求出騎車人與客車第二次相遇的時(shí)間.
解:(1)兩.兩.
(2)
(3)設(shè)直線EF所表示的函數(shù)解析式為y=kx+b.
把E(10,0),F(11,45)分別代入y=kx+b,得
解得
直線EF所表示的函數(shù)解析式為y=45x-450.
把y=30代入y=45x-450,得45x-450=30,x=10.
答:10點(diǎn)40分騎車人與客車第二次相遇.
二、工程類應(yīng)用題
例2(2009南寧)南寧市獅山公園計(jì)劃在健身區(qū)鋪設(shè)廣場(chǎng)磚.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參加競(jìng)標(biāo),甲工程隊(duì)鋪設(shè)廣場(chǎng)磚的造價(jià)y甲(元)與鋪設(shè)面積x(m2)的函數(shù)關(guān)系如圖所示;乙工程隊(duì)鋪設(shè)廣場(chǎng)磚的造價(jià)y乙(元)與鋪設(shè)面積x(m2)滿足函數(shù)關(guān)系式:y乙=kx.
(1)根據(jù)圖象寫出甲工程隊(duì)鋪設(shè)廣場(chǎng)磚的造價(jià)y甲(元)與鋪設(shè)面積x(m2)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果獅山公園鋪設(shè)廣場(chǎng)磚的面積為1600m2,那么公園應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)施工更合算?
點(diǎn)撥:①函數(shù)圖象由一條線段和一條射線組成可知,故需分別求出0≤x≤500和x≥500時(shí)的函數(shù)解析式,再合成為分段函數(shù)解析式.
②由已知鋪設(shè)廣場(chǎng)磚的面積為1600m2,可求得甲工程隊(duì)的造價(jià).因?yàn)橐夜こ剃?duì)鋪設(shè)廣場(chǎng)磚的造價(jià)y乙(元)與鋪設(shè)面積x(m2)滿足函數(shù)關(guān)系式為y乙=kx,所以公園應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)施工更合算,就取決于k值.分類建立不等式,求出相應(yīng)的k值,即可作出正確的判斷.
解:(1)當(dāng)0≤x≤500時(shí),設(shè)y甲=k1x,把(500,28000)代入上式得:
28000=500k1,k1==56.y甲=56x.
當(dāng)x≥500時(shí),設(shè)y甲=k2x+b,把(500,28000)、(1000,48000)代入上式得:
解得:y甲=40x+8000.
y甲=
(2)當(dāng)x=1600時(shí),y甲=40600+8000=72000,y乙=1600k.
當(dāng)y甲
當(dāng)y甲>y乙時(shí),即72000>1600k,解得0
當(dāng)y甲=y乙時(shí),即72000=1600k,k=45.
答:當(dāng)k>45時(shí),選擇甲工程隊(duì)更合算,當(dāng)0
三、銷售類應(yīng)用題
例3(2008荊州)“5•12”汶川大地震后,某健身器材銷售公司通過(guò)當(dāng)?shù)亍凹t十字會(huì)”向?yàn)?zāi)區(qū)獻(xiàn)愛(ài)心,捐出了五月份全部銷售利潤(rùn).已知該公司五月份只售出甲、乙、丙三種型號(hào)器材若干臺(tái),每種型號(hào)器材不少于8臺(tái),五月份支出包括這批器材進(jìn)貨款64萬(wàn)元和其他各項(xiàng)支出(含人員工資和雜項(xiàng)開(kāi)支)3.8萬(wàn)元.這三種器材的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表,人員工資y1(萬(wàn)元)和雜項(xiàng)支出y2(萬(wàn)元)分別與總銷售量x(臺(tái))成一次函數(shù)關(guān)系(如圖).
(1)求y1與x的函數(shù)解析式;
(2)求五月份該公司的總銷售量;
(3)設(shè)公司五月份售出甲種型號(hào)器材t臺(tái),五月份總銷售利潤(rùn)為W(萬(wàn)元),求W與t的函數(shù)關(guān)系式;(銷售利潤(rùn)=銷售額-進(jìn)價(jià)-其他各項(xiàng)支出)
(4)請(qǐng)推測(cè)該公司這次向?yàn)?zāi)區(qū)捐款金額的最大值.
點(diǎn)撥:①依圖象所提供的信息,用待定系數(shù)法求y1與x的函數(shù)解析式.
②已知人員工資和雜項(xiàng)開(kāi)支為3.8萬(wàn)元,而人員工資和雜項(xiàng)開(kāi)支與銷售總量的關(guān)系分別為y=0.05x+0.2,y2=0.005+0.3,據(jù)此建立方程即可求得五月份該公司的總銷售量.
③已知五月份售出甲種型號(hào)器材t臺(tái),再設(shè)五月份售出乙種型號(hào)器材p臺(tái),則售出丙種型號(hào)器材(60-t-p)臺(tái). 由五月份這批器材進(jìn)貨款為64萬(wàn)元可列出方程,化簡(jiǎn)方程即可得到p與t的關(guān)系式. 由“銷售利潤(rùn)=銷售額-進(jìn)價(jià)-其他各項(xiàng)支出”列出函數(shù)解析式,再化簡(jiǎn)即可得到W與t的函數(shù)關(guān)系式.
④由“每種型號(hào)器材不少于8臺(tái)”列出不等式組,解不等式組就得到t的取值范圍,再利用一次函數(shù)的增減性,即可推測(cè)該公司這次向?yàn)?zāi)區(qū)捐款金額的最大值.
解:(1)設(shè)y1=kx+b(x>0),則解得
y1與x的函數(shù)關(guān)系式為y=0.05x+0.2.
(2)依題意得y1+y2=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8.解得x=60.
五月份該公司的總銷售量為60臺(tái).
(3)設(shè)五月份售出乙種型號(hào)器材p臺(tái),則售出丙種型號(hào)器材(60-t-p)臺(tái).
依題意得0.9t+1.2p+1.1(60-t-p)=64.p=2t-20.
W=1.2t+1.6(2t-20)+1.3(60-t-2t+20)-64-3.8.
即W與t的函數(shù)關(guān)系式為W=0.5t+4.2.
(4)依題意有解得14≤t≤24.
W是關(guān)于t的一次函數(shù),由(3)W隨t的增大而增大,
篇7
關(guān)鍵詞:一次函數(shù);現(xiàn)實(shí)背景;模型探究
作者簡(jiǎn)介:周占鋒(1963-),男,福建省龍巖市武平縣,本科,高級(jí)教師,武平縣教師進(jìn)修學(xué)校中學(xué)教研室主任.數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科六個(gè)核心素養(yǎng)之一,而模型思想是初中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)指出:數(shù)學(xué)與人類發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步息息相關(guān),隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展,數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面. 課標(biāo)把模型思想作為十個(gè)核心概念之一,認(rèn)為模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.一次函數(shù)是初中學(xué)生學(xué)習(xí)和理解函數(shù)的重要素材,其中自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是初學(xué)者理解兩個(gè)變量間對(duì)應(yīng)關(guān)系的難點(diǎn),探究一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型,有利于學(xué)生理解一次函數(shù)中兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及其圖象和性質(zhì),并利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.以下是幾種一次函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景模型探究.
一、行程問(wèn)題的一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型
設(shè)路程為s,速度為v,時(shí)間為t,則s=vt . 當(dāng)速度v為常量,如v=30km/s,s=30t是正比例函數(shù);而正比例函數(shù)是最特殊的一次函數(shù). 若行程問(wèn)題中出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上對(duì)象,不同時(shí)間段有不同的位置狀態(tài),就構(gòu)成一次函數(shù)的分段函數(shù)模型.
例1甲乙兩人勻速?gòu)耐坏攸c(diǎn)到1500米處的體檢中心體檢,甲出發(fā)5分鐘后,乙以50米/分的速度沿同一路線行走,s關(guān)于t的函數(shù)圖象的一部分如圖1所示.設(shè)甲乙兩人相距s(米),甲行走的時(shí)間為t(分).
(1)求甲行走的速度;
(2)在坐標(biāo)系中,補(bǔ)畫s關(guān)于t函數(shù)圖象的其余部分;
(3)問(wèn)甲、乙兩人何時(shí)相距360米?
分析此現(xiàn)實(shí)背景中出現(xiàn)甲、乙兩人為兩個(gè)不同對(duì)象,出發(fā)時(shí)間不同使各個(gè)時(shí)間段兩人的相對(duì)位置不同,構(gòu)成距離s與時(shí)間t在不同時(shí)間段有各自不同的一次函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系,其中題設(shè)信息以文字信息和圖象信息相結(jié)合的形式出現(xiàn),從圖象信息發(fā)現(xiàn)背景涉及四種不同情形:
①t=5分鐘時(shí)甲走了150米;
②甲出發(fā)5分鐘后,乙開(kāi)始出發(fā),t=12.5分鐘時(shí),甲追上乙,s=0;
③t=35分鐘時(shí),甲走了1050米;乙用時(shí)30分鐘走了1500米,到達(dá)體檢中心,s=450米;
④t>35分鐘時(shí),乙已到達(dá)體檢中心,甲還要用15分鐘走完450米的路程,t=50分鐘時(shí)甲也到達(dá)體檢中心,s=0.
根據(jù)以上分析s與t的函數(shù)關(guān)系式是:
s=30t(0≤t≤5)
-20t+250(5
20t-250(125
-30t+1500(35
試題設(shè)計(jì)要點(diǎn):
1.基礎(chǔ)題設(shè)置:從圖象信息中發(fā)現(xiàn)甲5分鐘走的路程為150米,可求甲行走的速度為30米/分.
2.對(duì)實(shí)際問(wèn)題的再現(xiàn):t=35分鐘時(shí),乙實(shí)際用時(shí)30分鐘,乙已經(jīng)到達(dá)圖書館,此時(shí)s=450米,甲用時(shí)t=15分鐘才能到達(dá)圖書館,此時(shí)s=0. 在坐標(biāo)系中,補(bǔ)畫s關(guān)于t函數(shù)圖象的其余部分是連接(35,450),(50,0)的一條線段.
3.設(shè)甲、乙兩人t分鐘后相距360米,此處的難點(diǎn)是乙實(shí)際用時(shí)為(t-5)分鐘,而不是t分鐘,根據(jù)圖象信息時(shí)間應(yīng)在12.5
二、收費(fèi)問(wèn)題的一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型
收費(fèi)問(wèn)題通常與兩種或兩種以上的收費(fèi)方式相關(guān),收費(fèi)金額有的與時(shí)間建立一次函數(shù)關(guān)系,有的與用量建立一次函數(shù)關(guān)系.
例2(2014龍巖中考第23題)隨著地球上的水資源日益枯竭,各級(jí)政府越來(lái)越重視倡導(dǎo)節(jié)約用水.某市對(duì)居民生活用水按“階梯水價(jià)”方式進(jìn)行收費(fèi),人均月生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖2所示.圖中x表示人均月生活用水的噸數(shù),y表示收取的人均月生活用水費(fèi)(元).請(qǐng)根據(jù)圖象信息,回答下列問(wèn)題:
(1)該市人均月生活用水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:不超過(guò)5噸,每噸按元收??;超過(guò)5噸的部分,每噸按元收??;
(2)請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若某個(gè)家庭有5人,五月份的生活用水費(fèi)共76元,則該家庭這個(gè)月用了多少噸生活用水?
水費(fèi)問(wèn)題通常采用“階梯水價(jià)”方式進(jìn)行收費(fèi),水費(fèi)與用水量建立一次函數(shù)的分段函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型,考查學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出一次函數(shù)模型的數(shù)學(xué)思考,并用數(shù)學(xué)思考進(jìn)行問(wèn)題解決的考量.
三、銷售問(wèn)題的一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型
銷售問(wèn)題通常以何種銷售、銷售單價(jià)與銷售量為現(xiàn)實(shí)背景模型出現(xiàn),多數(shù)是利潤(rùn)與銷售量建立一次函數(shù)關(guān)系的模型,關(guān)注利潤(rùn)的合理區(qū)間. 有時(shí)通過(guò)圖象信息提供已知條件,考查學(xué)生的讀圖能力.
例3(2016龍巖中考第23題)某廠家在甲、乙兩家商場(chǎng)銷售同一商品所獲利潤(rùn)分別為y甲、y乙(單位:元),y甲、y乙與銷售數(shù)量x(單位:件)的函數(shù)關(guān)系如圖3所示,試根據(jù)圖象解決下列問(wèn)題:
(1)分別求出y甲、y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)現(xiàn)廠家分配該商品800件給甲商場(chǎng),400件給乙商場(chǎng),當(dāng)甲、乙商場(chǎng)售完這批商品后,廠家可獲得總利潤(rùn)是多少元?
該題以圖象信息顯示問(wèn)題背景,突現(xiàn)從實(shí)際生活中抽象出一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力,考查用解析法求解一次函數(shù)解析式.
四、圖形運(yùn)動(dòng)的一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型
圖形運(yùn)動(dòng)通常有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和面動(dòng)等,其構(gòu)成的軌跡、距離、面積等可以用函數(shù)來(lái)刻畫,初中數(shù)學(xué)常有用一次函數(shù)刻畫圖形運(yùn)動(dòng)的情況.
例4已知如圖4,在矩形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BC,CD,DA運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,ABP的面積為y,如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖5所示,則ABC的面積是()
A.10B.16C.18D.20
篇8
關(guān)鍵詞:二元一次方程 一次函數(shù) 圖象 方程組解
中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:B 文章編號(hào):1002-7661(2015)08-187-02
如果我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中,注意引導(dǎo)學(xué)生用二元一次方程的知識(shí)和觀點(diǎn)來(lái)看待一次函數(shù),往往會(huì)收到意想不到的效果。
一、用二元一次方程的解理解一次函數(shù)圖象
一個(gè)二元一次方程 (m、n都是常數(shù),且m、n都不為0)是一個(gè)不定方程,有無(wú)數(shù)組解。如果把x看作橫坐標(biāo)、y看作縱坐標(biāo),那么每一組解就是一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。以二元一次方程組 的解為坐標(biāo)的所有的點(diǎn)集中在一起,就構(gòu)成了直線 。也就是說(shuō),直線 的點(diǎn)與二元一次方程 的解是一一對(duì)應(yīng)的。這樣理解后,下面的問(wèn)題就容易理解了。
求直線 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。這問(wèn)題相當(dāng)于知道x(或y)的值為0,求y(或x)的值。
例:直線 與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),求A、B的坐標(biāo)。
解:當(dāng)y=0時(shí),代入直線解析式方程 ,得 ,解得 所以A點(diǎn)的坐標(biāo)是 。
當(dāng)x=0時(shí),代入直線解析式方程 ,得 ;所以B點(diǎn)的坐標(biāo)是 。
二、利用二元一次方程組來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)圖象的位置
設(shè)二元一次方程組的一般形式為 ,可轉(zhuǎn)化為 ,令 ,則上述形式又可以寫成 。這就對(duì)應(yīng)著兩個(gè)一次函數(shù)。
(1)當(dāng) 時(shí),二元一次方程組 有唯一解,此時(shí)直線 和直線 相交。
(2)當(dāng) 時(shí),方程組 無(wú)解,此時(shí)直線 和直線 平行,沒(méi)有公共點(diǎn)。
(3)當(dāng) 時(shí),方程組 有無(wú)數(shù)組解,此時(shí)直線 和直線 重合,有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)。
三、二元一次方程組解決一次函數(shù)問(wèn)題
在學(xué)習(xí)過(guò)程中,不少一次函數(shù)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的問(wèn)題來(lái)解決,下面這種題型就是很好的例子。
如何求兩個(gè)一次函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)。這個(gè)交點(diǎn),同時(shí)在這兩個(gè)函數(shù)圖象上,所以同時(shí)滿足這兩個(gè)函數(shù)解析式方程。我們可以通過(guò)解這兩個(gè)解析式組成的方程組來(lái)解決問(wèn)題。
例:求兩個(gè)一次函數(shù) 和 圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)。
解:由題意可得: ;解方程組得: ;所以交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,1)。
四、二元一次方程與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用
實(shí)際問(wèn)題一直是個(gè)難點(diǎn),應(yīng)根據(jù)具體情況把一次函數(shù)和二元一次方程組有機(jī)地結(jié)合,靈活運(yùn)用,從而順利解決問(wèn)題。
例:中國(guó)移動(dòng)公司開(kāi)設(shè)兩種通訊業(yè)務(wù),“全球通”使用者先繳50元月租費(fèi),每通話1分鐘再付0.4元;“神州行”不繳月租費(fèi),每通話1分鐘付話費(fèi)0.6元?,F(xiàn)在小明想開(kāi)通其中一種通訊業(yè)務(wù),請(qǐng)問(wèn)他應(yīng)該開(kāi)通哪一種更省錢?
分析:每月付話費(fèi)的多少與小明每月通話時(shí)間有關(guān),我們可設(shè)小明每月通話x分鐘,付的話費(fèi)為y元,分別建立起兩種通訊業(yè)務(wù)方案的函數(shù)模型,然后再進(jìn)行比較。
解:設(shè)小明每月通話x分鐘,付的話費(fèi)為y元。
全球通每月付款為y=0.4x+50;神州行通每月付款為y=0.6x
在同一直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象
解方程組 ;解之得: ;所以兩圖象交于點(diǎn)(250,150)
由圖象易知:
當(dāng) 時(shí), ,此時(shí)選擇神州行更省錢;
當(dāng) 時(shí), ,此時(shí)兩種方案沒(méi)有區(qū)別;
當(dāng) 時(shí), ,此時(shí)選擇全球通更省錢。
總之,在一次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生把一次函數(shù)和二元一次方程有機(jī)聯(lián)系起來(lái),給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間來(lái)體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程,適當(dāng)?shù)木毩?xí)來(lái)熟練應(yīng)用各知識(shí)點(diǎn)。這樣,相信學(xué)生學(xué)好一次函數(shù)不成問(wèn)題。
參考文獻(xiàn):
篇9
下面是我從《一次函數(shù)》這節(jié)課的教學(xué)反思中得到的幾點(diǎn)體會(huì)。
一、備課要關(guān)注學(xué)生差異,重視基礎(chǔ)知識(shí)
新課程指出,課堂教學(xué)要面向全體學(xué)生,目的是促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。心理學(xué)表明,學(xué)生的發(fā)展是存在差異的。教師要關(guān)注學(xué)生的差異,在備課的時(shí)候根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平,要有針對(duì)性。
在引入一次函數(shù)的時(shí)候,我展示了一個(gè)學(xué)生熟悉的生活實(shí)例,讓學(xué)生更好地找出兩個(gè)變量的關(guān)系。比如,某彈簧的自然長(zhǎng)度是3厘米。在彈性限度內(nèi),所掛物體的質(zhì)量x每增加1千克,彈簧長(zhǎng)度y增加0.5厘米。(1)計(jì)算所掛物體的質(zhì)量分別為1千克、2千克、3千克、4千克、5千克時(shí)彈簧的長(zhǎng)度。(2)你能寫出x與y之間的關(guān)系式嗎?對(duì)于問(wèn)題(1),學(xué)生已有比較豐富的生活經(jīng)驗(yàn),很快就可以得出結(jié)果;對(duì)于問(wèn)題(2),學(xué)生因?yàn)楸容^陌生,要求學(xué)生先思考,再與其他同學(xué)討論,我也參與了學(xué)生的討論,適當(dāng)引導(dǎo)。教師不能一味追求結(jié)論,而忽略學(xué)生的差異,對(duì)接受能力較差的學(xué)生要適當(dāng)進(jìn)行引導(dǎo),降低難度,幫助學(xué)生找出兩個(gè)變量的關(guān)系式。同時(shí),為了讓學(xué)生找出一次函數(shù)中兩個(gè)變量的特點(diǎn),我在教學(xué)中展示了幾個(gè)與生活聯(lián)系緊密的實(shí)例。讓學(xué)生分析從幾個(gè)實(shí)例得到的關(guān)系式的共同點(diǎn),再引導(dǎo)學(xué)生歸納出一次函數(shù)的定義。這樣既滿足了學(xué)生的求知欲,提高了學(xué)生分析的能力,又大大提高了課堂的教學(xué)質(zhì)量。
在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的定義后,為了加深學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的理解,我讓學(xué)生完成了以下的練習(xí)。判斷下列函數(shù)哪些是一次函數(shù)?哪些是正比例函數(shù)?(1)y=2x;(2)y=3x+1;(3)y=2x-3;(4)y=■x。在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中,其實(shí)還可以添加一些形如(5)y=■和(6)y=x2+1類型的函數(shù)。在學(xué)生完成這幾道練習(xí)題后,再讓學(xué)生分析一次函數(shù)與其他函數(shù)的不同之處,明確一次函數(shù)的特點(diǎn)。這里要給學(xué)生充足的時(shí)間思考和討論,因?yàn)檫@是學(xué)生形成知識(shí)的重要環(huán)節(jié)。新課程指出,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,所有的新知識(shí)只有通過(guò)學(xué)生自身的“再創(chuàng)造”活動(dòng),才能納入其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,才能成為有效的知識(shí)。
二、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性
第一,打破沉悶的課堂氣氛,讓課堂教學(xué)變得更有生機(jī)
美國(guó)心理學(xué)家布魯納指出:“學(xué)習(xí)的刺激乃是對(duì)所學(xué)材料的興趣,要想使學(xué)生上好課,就得千方百計(jì)點(diǎn)燃學(xué)生心靈上的興趣之火。”所以在教學(xué)時(shí),不一定要完全按照課本的引入去設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)。在引入兩個(gè)變量的關(guān)系的時(shí)候,我們可以設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生在生活中遇到的問(wèn)題情境,讓數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系,學(xué)生就會(huì)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)就在我們身邊,萌發(fā)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的好奇心。例如,小明現(xiàn)有5元,他想存錢買一本價(jià)值30元的數(shù)學(xué)興趣書,假如他每月存5元。(1)請(qǐng)你幫他算算1個(gè)月、2個(gè)月、3個(gè)月、4個(gè)月后一共有多少錢?(2)經(jīng)過(guò)x個(gè)月后,小明一共有多少錢?這樣設(shè)計(jì)可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,促使學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)。實(shí)踐表明,學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)是獲得知識(shí)的最有效的方法。
第二,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與課堂教學(xué)
新課程指出,好的教學(xué)能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行有效地學(xué)習(xí)。而教師的主要作用在于組織教學(xué)活動(dòng),激發(fā)學(xué)生主動(dòng)從事數(shù)學(xué)活動(dòng)。有時(shí)候,教師的一個(gè)微笑,可以給學(xué)生很大的鼓舞,讓學(xué)生主動(dòng)去學(xué)習(xí)。如上面小明買數(shù)學(xué)興趣書的問(wèn)題中,在提問(wèn)一個(gè)學(xué)生的時(shí)候,他可能還沒(méi)想出來(lái),有點(diǎn)著急,我笑了笑說(shuō):“別急,慢慢想,你可以做得到的。”這位學(xué)生感受到老師對(duì)他的信任,更加積極地去思考問(wèn)題,雖然他花了很長(zhǎng)時(shí)間才回答出來(lái),但是我覺(jué)得這是值得的。我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)還可以通過(guò)設(shè)計(jì)一些有趣的問(wèn)題情境,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與課堂教學(xué)了。例如,果農(nóng)李大叔養(yǎng)的一只猴子幫李大叔摘了8個(gè)桃子,假如它從現(xiàn)在開(kāi)始每分鐘摘2個(gè),求x分鐘后這只猴子一共摘的桃子數(shù)y與時(shí)間x的關(guān)系式?在這里如果能用上多媒體的動(dòng)畫設(shè)計(jì)就更能吸引學(xué)生的注意力,讓學(xué)生在輕松愉快的課堂氣氛中學(xué)習(xí)、掌握新知識(shí),這樣他們對(duì)新知識(shí)更加樂(lè)于接受。
第三,多給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會(huì),讓學(xué)生得到更好地發(fā)展
每個(gè)學(xué)生都有分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和創(chuàng)造的潛能,關(guān)鍵是如何為學(xué)生提供機(jī)會(huì),讓學(xué)生發(fā)掘自己的潛能。學(xué)生總是喜歡把自己當(dāng)成探索者、研究者、發(fā)現(xiàn)者,并且往往是當(dāng)自己的觀點(diǎn)與其他人的觀點(diǎn)不一致的時(shí)候,會(huì)產(chǎn)生要證實(shí)自己思想的欲望。這里要注意,讓學(xué)生挑戰(zhàn)自己,不是要難倒學(xué)生。不要出太難的習(xí)題,否則會(huì)挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。從而激勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷獲得成功的體驗(yàn),提高自主學(xué)習(xí)的能力。如,寫出下列各題中y與x之間的關(guān)系式,并判斷y是否為x的一次函數(shù)?是否為正比例函數(shù)?(1)汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛,行駛路程y(千米)與行駛時(shí)間x(時(shí))之間的關(guān)系;(2)圓的面積y(平方厘米)與它的半徑x(厘米)之間的關(guān)系;(3)一棵樹(shù)現(xiàn)在高50厘米,每個(gè)月長(zhǎng)高2厘米,x月后這棵樹(shù)的高度為y(厘米)。在教學(xué)中,我特意讓幾個(gè)基礎(chǔ)不太好的學(xué)生上黑板演練,這幾個(gè)題目的背景都是和生活聯(lián)系比較緊密的,只要給學(xué)生足夠的時(shí)間,他們基本能自己解決。所以,在教學(xué)中教師不要一味地追求教學(xué)進(jìn)度,抹殺了學(xué)生體驗(yàn)成功的機(jī)會(huì)。特別是基礎(chǔ)比較差的學(xué)生,更應(yīng)該給他們一些這樣的機(jī)會(huì)去提高他們學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)的自信心,進(jìn)一步減少差距,讓他們學(xué)得更有動(dòng)力。
三、學(xué)有所用,培養(yǎng)學(xué)生掌握、運(yùn)用知識(shí)的能力
篇10
我們小組的觀察點(diǎn)是教師是否關(guān)注學(xué)生,是否根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系。觀察維度是教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如何提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力??偟膩?lái)說(shuō),這節(jié)課教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)間分配較合理,教師引導(dǎo)及時(shí)恰當(dāng)。教師教學(xué)思路清晰,教學(xué)重點(diǎn)突出,教師由淺入深、輕松愉悅地完成了教學(xué)目標(biāo)。教師親切的表情、流暢的語(yǔ)言、課件的精心準(zhǔn)備等等方面都為學(xué)生的引領(lǐng)提供了一個(gè)輕松和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境。課堂環(huán)節(jié)設(shè)計(jì),教師仔細(xì)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖象識(shí)圖辯圖,掌握信息,體會(huì)分析自變量和因變量的潛在規(guī)律,根據(jù)了解到的信息,解決提出的問(wèn)題,提高了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。
具體教學(xué)過(guò)程中,有以下幾個(gè)環(huán)節(jié)值得商議:
(1)在教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生的主體地位沒(méi)有充分展示出來(lái),對(duì)于問(wèn)題的生成,最好是教師引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,提出問(wèn)題,給每個(gè)學(xué)生充分的講話機(jī)會(huì),讓他們大膽講出自己的問(wèn)題,大膽地參與探索和交流,彼此分享各自的觀點(diǎn)和靈感,這樣才可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)積極性。而不是教師牽著學(xué)生走,扼殺了學(xué)生的思維。
(2)缺少對(duì)學(xué)生動(dòng)手能力的培養(yǎng)。缺少鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)性語(yǔ)言。通過(guò)交流,讓學(xué)生之間互評(píng),可以充分交流、碰撞,提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,積極性,參與性和創(chuàng)造性,是一種體驗(yàn)式的學(xué)習(xí)。
(3)小組合作探究再增加一個(gè)問(wèn)題環(huán)節(jié)效果更好。對(duì)于例2的講解,教師應(yīng)更加強(qiáng)小組合作的模式,通過(guò)小組內(nèi)探討發(fā)現(xiàn),找到問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。