導(dǎo)語：如何才能寫好一篇排列組合例題，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、解排列問題的基本方法

解排列問題的基本方法主要有特殊元素（位置）法、插空法、捆綁法、對稱性。

例1：7個人站在一起照相，

（1）全部排成一排，有多少種排法？

（2）排成兩排，前排3人，后排4人，有多少種排法？

（3）站成一排，甲不能站左端，也不能站右端，有多少種不同的站法？

（4）站成一排，甲不在左端，乙不在右端，有多少種排法？

分析：

（1）這是一個沒有限制條件的問題，7個人可以任意站，直接解得A=5040種站法。

（2）看起來比剛才復(fù)雜，仔細(xì)分析，實(shí)際上每個人都沒有限制，7個人對應(yīng)7個位置，所以還是A=5040種站法。

（3）①甲有了限制，只有5個位置可以站，我們先安排甲站，有A種站法，其他人沒有限制，有A種站法，AA=3600種站法。這種方法叫特殊元素法。

②也可以這樣思考，先找除甲以外的2人將左端的位置站好，有A種站法，接下來就沒有限制了，5人任意站，有A種站法，所以共有AA=3600種站法。這種方法叫特殊位置法。

③還可以用間接法解：不考慮甲的限制條件，有A種，甲站左右各有A種方法，要去掉，共有A-2A=3600種站法。

實(shí)際上，當(dāng)某些元素不能在某個（或某些）位置、某個（或某些）位置只能放某些元素時(shí)，我們應(yīng)該優(yōu)先處理這些特殊要求。在計(jì)算時(shí)先處理特殊元素或先處理特殊位置，再考慮其他條件。

先不考慮限制條件，把所有的排列種數(shù)算出，再從中減去全部不符合條件的排列數(shù)，間接得出符合條件的排列種數(shù)，這種方法也稱為間接法。用這種方法特別注意要不重復(fù)，不遺漏。

（4）這是在（3）的基礎(chǔ)上將限制條件增加為兩個，變得難一些，但解題的基本方法不變。

①用先處理特殊元素（特殊位置）的方法：甲在右有A種方法，甲在中間位置有A種，這時(shí)乙不能在右，也有A種，共有AAA+A=3720種方法。

②若用間接法，特別注意要不重復(fù)，不遺漏。要注意在右這種情況，共有A-2A+A=3720種方法。

二、解組合問題的基本方法

分組分配問題要注意分組后是否拿走。注意均勻與非均勻，編號與不編號限制條件的分組問題。

例2：6本不同的書按下列方法分配，有多少種分法？

（1）分給3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本。

（2）分給3人，1人1本，1人2本，1人3本。

（3）平均分成3組。

（4）分給3人，每人2本。

分析：

（1）各組元素?cái)?shù)目確定，分配對象確定，按要求分配到人。

先從6本不同的書中任取1本給甲有C，然后從剩余的5本中任取2本給乙有C，最后把剩余的3本都給丙C，由乘法原理，共有CCC=60種分法。

（2）與（1）相比，各組元素?cái)?shù)目確定，分配對象不固定，哪個得多少是不知道的。各組元素?cái)?shù)目仍分別為1，2，3，但哪個人得幾本沒有固定。

仿（1）分成三組，有CCC種分法，然后讓3人自由選取，有A種，所以共有CCCA=360種分法。

（3）平均分組，相當(dāng)于分成三組放在一起，不管怎么按什么順序分，放在一起只能算一種情況。按CCC分，是實(shí)際情況的A倍，因此只有=15種分法。

注意：有n個平均分組時(shí)應(yīng)除以A。

（4）各組元素?cái)?shù)目相等，分配給具體對象。可以分兩步走：先分成三組，每組2本，然后三人再來拿走。先分組，有分法。三人的拿法有A種。共有A=CCC=90種分法。

篇2

1.將編號為1、2、3、4的四個球放入A、B、C、三個盒子中，每個盒子中至少放一個球，且1、4號兩個球不能放在同一盒子中，則不同的放法有（）

A．15B．18 C．30D．36

2.某省教育廳從外地引進(jìn)5名專家擔(dān)任該省的特聘教師，現(xiàn)欲將5名特聘教授安排到三個大學(xué)講學(xué)，每所大學(xué)至少1名，最多2名，則不同的分配方案有（）

A．30種 B．90種 C．180種 D．270種

3.某省教育部門擬從10位有突出貢獻(xiàn)的教師中選6人作為教育標(biāo)兵進(jìn)行表彰獎勵，其中甲、乙兩位教師不能同時(shí)當(dāng)選，則表彰獎勵的不同方法有（）

A．84種 B．98種 C．112種 D．140種

4.若 ，則 =（ ）

A．32B．1 C．-1 D．-32

5.某項(xiàng)運(yùn)動會閉幕式結(jié)束后擬舉行文藝匯演，要將A、B、C、D、E、F六個不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如下表：

序號 1 2 3 4 5 6

節(jié)目

如果A、B兩個節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號位置，那么節(jié)目單上不同的排序方式有 （）

A 192種 B 144種 C 96種 D 72種

6.若m∈A，則 ∈A，就稱集合A是和諧的。集合M={－1，0， ， ，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有和諧關(guān)系的集合的個數(shù)為（）

A．15 B．16 C．28 D．25

7. 若 的展開式中 的系數(shù)是( )

A． B． C．D．

8.已知 為等差數(shù)列 中的第8項(xiàng)，則二項(xiàng)式 展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）

A．第7項(xiàng) B．第8項(xiàng) C．第9項(xiàng) D．第10項(xiàng)

9.在 的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有（）

A．3項(xiàng) B．4項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng)

10.多項(xiàng)式 的展開式中 的系數(shù)是（）

A. B. C.D.

11. 某開發(fā)商計(jì)劃在我國的四個候選城市投資3個不同的旅游項(xiàng)目，且在同一個城市投資的項(xiàng)目不超過2個，則該開發(fā)商不同的投資方案有（）

A．16種 B．36種 C．42種 D．60種

12. 若 ， ，則 =（）

A.2012 B.1 C.-1 D.-2

二、填空題

13.從5名外語系大學(xué)生中選派4名同學(xué)參加在廣州舉辦的大學(xué)生運(yùn)動會當(dāng)翻譯、交通、禮儀三項(xiàng)義工活動，要求翻譯有2人參加，交通和禮儀各有1人參加，則不同的選派方法共有。

14. 的展開式中的第四項(xiàng)是 。

15.某學(xué)校組織4名學(xué)生參加體格檢查，4名學(xué)生在同一天的上、下午參加視力、聽力、五官、體重、身高五個項(xiàng)目的檢查，每位學(xué)生上、下午各測試一個項(xiàng)目，且不重復(fù)。若上午不測“體重”項(xiàng)目，下午不測“視力”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上、下午都各測試一人。則不同的安排方式共有_________種。（用數(shù)字作答）

篇3

排列：從n個不同元素中，任取m個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

組合：從n個不同元素種取出m個元素拼成一組，稱為從n個不同元素取出m個元素的一個組合。

解答排列組合問題，首先必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析，同時(shí)還要注意講究一些策略和方法技巧。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。

解決排列組合問題有幾種相對比較特殊的方法。下面通過例題逐個掌握：

一、相鄰問題---捆綁法不鄰問題---插空法

對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。

【例題1】一張節(jié)目表上原有3個節(jié)目，如果保持這3個節(jié)目的相對順序不變，再添進(jìn)去2個新節(jié)目，有多少種安排方法？

A.20B.12C.6D.4

【答案】A。

【解析】首先，從題中之3個節(jié)目固定，固有四個空。所以一、兩個新節(jié)目相鄰的的時(shí)候：把它們捆在一起，看成一個節(jié)目，此時(shí)注意：捆在一起的這兩個節(jié)目本身也有順序，所以有：C(4，1)×2=4×2=8種方法。二、兩個節(jié)目不相鄰的時(shí)候：此時(shí)將兩個節(jié)目直接插空有：A(4，2)=12種方法。綜上所述，共有12+8=20種。

二、插板法

一般解決相同元素分配問題，而且對被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只對分成的份數(shù)有要求。

【例題2】把20臺電腦分給18個村，要求每村至少分一臺，共有多少種分配方法？

A.190B.171C.153D.19

【答案】B。

【解析】此題的想法即是插板思想：在20電腦內(nèi)部所形成的19個空中任意插入17個板，這樣即把其分成18份，那么共有：C(19，17)=C(19，2)=171種。

三、特殊位置和特殊元素優(yōu)先法

對有限制的排列組合問題中的特殊元素或特殊位置優(yōu)先考慮。

【例題2】從6名運(yùn)動員中選4人參加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的參賽方案各有多少種？

A.120B.240C.180D.60

【答案】B。

【解析】方法一：特殊位置優(yōu)先法：首先填充第一棒，第一棒共有5個元素可供選擇，其次第4棒則有4個元素可以選擇；然后第2棒則有4個元素可以選擇，第3棒則有3個元素可以選擇。則共有5×4×4×3=240種。

方法二：特殊元素優(yōu)先法：首先考慮甲元素的位置

第一類，甲不參賽有A(5,4)=120種排法；

第二類，甲參賽，因只有兩個位置可供選擇，故有2種排法；其余5人占3個位置有A(5,3)=60種占法，故有2×60=120種方案。

所以有120+120=240種參賽方案。

四、逆向考慮法

對于直接從正面算比較復(fù)雜的排列、組合題，我們就要學(xué)會間接的方法。

正方體8個頂點(diǎn)中取出4個，可組成多少個四面體？

A.70B.64C.61D.58

【答案】D。

【解析】所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，共C(8，4)-12=70-12=58個。

五、分類法

解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。

【例題3】五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有

A.120種B.96種C.78種D.72種

【答案】C。

【解析】由題意可先安排甲，并按其分類討論：1)若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A(4，4)=24種排法；2)若甲在第二，三，四位上，則有3×3×3×2×1=54種排法，由分類計(jì)數(shù)原理，排法共有24+54=78種，選C。

專家點(diǎn)評：解排列與組合并存的問題時(shí)，一般采用先選(組合)后排(排列)的方法解答。解決一道排列、組合提的方法很多，但我們必須選擇一種最快做有效的解題方法。這就要求我們準(zhǔn)確掌握各種解題方法，能迅速的判斷出哪種方法最適合解答該題。

下面我們?yōu)榭忌鷾?zhǔn)備5道習(xí)題，請考生們注意選擇最合適的解題方法。

1、丙丁四個人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，則所有可能的站法數(shù)為多少種？

A.6B.12C.9D.24

2、馬路上有編號為l，2，3，……，10十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？

A.60B.20C.36D.45

3、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，可組成多少個不同的四位數(shù)？

A.300B.360C.120D.240

4、10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法？

A.45B.36C.9D.30

5、六人站成一排，求甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)？

A.120B.64C.124D.136

1、【解答】C。能站在第一位，因此甲必然站在后三個位置中的某一個位置。

如果甲站在第二位，則共有三種可能：乙甲丁丙，丙甲丁乙，丁甲丙乙

如果甲站在第三位，則共有三種可能，乙丁甲丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙

如果甲站在第四位，則共有三種可能，乙丙丁甲，丙丁乙甲，丁丙乙甲

因此一共有9種可能

2、【解答】B。關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。所以共C(6，3)=20種方法。

3、【解答】A。排除法解P(6,4)-P(5,3)個=300個

4、【解答】B。把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共C(9，7)=36種。

5、【解答】D。先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。

篇4

關(guān)鍵詞： 排列組合 概念 常用解法 以學(xué)生為主體

一、通過比較，理清排列組合的概念

為能較好地提高學(xué)生的識別能力，強(qiáng)化“排列既取又排，組合只取不排”的意識，我們在平時(shí)的教學(xué)中可以把內(nèi)容類似、易混淆的排列、組合問題并列起來，進(jìn)行對比分析，這樣比較直觀，學(xué)生更容易理解掌握。

比如：

（1）8名畢業(yè)生，見面互相握手，共握幾次手？

8名畢業(yè)生，每人互贈照片一張，共需準(zhǔn)備多少張照片？

（2）從15個學(xué)生中任選3人參加學(xué)代會，共有幾種不同的選法？

從15個學(xué)生中任選3人分別參加語數(shù)外三門課程的競賽，共有幾種不同的選法？……

通過分析可知以上的幾個例題都是前者涉及組合知識點(diǎn)、后者涉及排列知識點(diǎn)，這樣把易混淆的問題擺出來，比較分析，不但能加強(qiáng)學(xué)生對概念的理解，而且能提高教學(xué)效果。

二、認(rèn)真審題，多角度分析問題

下面介紹幾種有條件限制的排列組合應(yīng)用題的常用解法：

1.插空法

把甲、乙兩類不同的元素安排在一起，求甲類元素不安排在一起的方法總數(shù)，一般是先安排乙類元素，然后在乙類元素之間的空檔中選出部分安排甲類元素，最后由乘法原理得到所求的結(jié)果。

例1：4本不同的數(shù)學(xué)書、3本不同的語文書放在同一層書架上，要求4本數(shù)學(xué)書必須分開，有多少種排法？

解：第一步，先排語文書有P種排法；

第二步，在3本語文書之間（包括兩端）的4個空檔中插入數(shù)學(xué)書有P排法；

最后根據(jù)分步原理共有：P•P=144（種）。

2.特殊優(yōu)先法

對于存在特殊元素或特殊位置的排列組臺問題，我們可先從這些“特殊”入手，先滿足特殊元素或特殊位置，再去滿足其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法。

例2：特殊位置――由0、1、2、3、4可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解：百位是特殊位置（不能選0），所以先排百位有P種排法，再排個位和十位有P種排法，據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有：P•P=48（個）。

例3：特殊元素――七個人站成一排照像，若甲不站在兩端，有多少種不同的排法？

解：甲是特殊元素（不站在兩端），所以從中間五個位置中選一個位置安排甲，有P種站法，然后其他六名人在其余6個位置上，有P種站法，據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有：P•P=3600（種）站法。

3.捆綁法

對于帶有附加條件是某些元素必須相鄰的排列組合問題，可以把這些要求相鄰的元素作為一個整體捆綁在一起，看成一個“新元素”參與排列或組合，但還要注意這個整體內(nèi)部元素之間是否有序。

例4：7個人站成一排照像，甲乙丙3人必須站在一起的排法有多少種？

解：把甲乙丙3人看成一個整體，問題就轉(zhuǎn)化為“5人”，有P種站法，“甲乙丙”整體有種站法，據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有P•P=720（種）站法。

4.換位思維法（間接法）

如果從正面思考問題比較困難的話，我們可以換一種思維方式思考，也許問題就迎刃而解了。

例5：現(xiàn)從6名男生和4名女生中，任選3名同學(xué)參加學(xué)校朗誦比賽，則至少有一名女生當(dāng)選的選法有多少種？

解：“至少一名女生”就等價(jià)于“排除三個全選男生”。從10名學(xué)生中任選3名有C種選法，其中全選男生的選法有C種，那么至少有一名女生的選法有：C-C=100（種）。

除此以外還有分類討論法和樹圖分析法，這七種方法只是我們常用的思考方法，并非是解題方法的分類。對于一些較復(fù)雜的有條件限制的排列組合問題，還需要綜合應(yīng)用多種思考方法。

三、以學(xué)生為主體，充分調(diào)動學(xué)生的積極性

在教學(xué)過程中，要讓學(xué)生主動參與，針對排列組合教材的特點(diǎn)，要盡可能地為學(xué)生提供參與解題的機(jī)會，當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，予以適當(dāng)?shù)奶崾?。例如：?本不同的書分給甲、乙、丙三個人，（1）如果每人分得2本，有多少種分法？（2）如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種分法？（3）如果1個人得1本，1個人得2本，1個人得3本，則有多少種分法？

給出題目后，讓學(xué)生相互之間充分地討論，在討論中得出相應(yīng)的解法，對于學(xué)生的錯誤要及時(shí)發(fā)現(xiàn)并予以解釋糾正。在這樣一個學(xué)生參與解題的過程中，會自然而然幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的分析問題的習(xí)慣，掌握正確的分析方法，從而培養(yǎng)探索的精神和毅力。

總之，在排列、組合的教學(xué)中，教師應(yīng)研究不同的教學(xué)方法，隨機(jī)應(yīng)變，轉(zhuǎn)換策略，使學(xué)生在做題時(shí)，思維進(jìn)退自如，得出正確結(jié)果。當(dāng)然，教師還需不斷探索，不斷總結(jié)，使自己的教學(xué)工作上一個新的臺階。

篇5

一、加大兩個計(jì)數(shù)原理、排列與組合的對比力度

分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的知識的應(yīng)用貫穿著排列組合及概率的學(xué)習(xí)，是學(xué)好這部分知識的關(guān)鍵.如果對分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理的理解不充分，就會影響解決排列組合問題的準(zhǔn)確性.而且近幾年高考將側(cè)重點(diǎn)放在兩個計(jì)數(shù)原理的考查上.所以在進(jìn)行這兩個原理的教學(xué)中一定要講清講透.我的做法是，先通過教材（人教A版）給出的問題利用列舉法得出答案，讓學(xué)生對分類、分步有初步的了解，分析兩個問題的區(qū)別，明白類和步的區(qū)別，使學(xué)生清楚“類”和“類”是相互獨(dú)立的，任何一類辦法中的一種方法都能單獨(dú)完成這件事，求完成這件事的方法數(shù)就用分步計(jì)數(shù)原理；“步”和“步”是相互依存、缺一不可的，完成一件事需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，求完成這件事的方法數(shù)就用分步計(jì)數(shù)原理.最后總結(jié)出：分類相加，分步相乘.然后再做一些深化鞏固練習(xí).為了激發(fā)學(xué)生的興趣并與高考接軌，可以讓學(xué)生練習(xí)一些高考題.

【例1】（2012年高考全國卷理，11）將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有（）.

A.12種B.18種C.24種D.36種

師生互動：先排第一行第一列，可以在a，b，c中任意選一個，有三種方法；再排第一行第二列，可以在剩下的兩個字母中任意選一個，有兩種方法；最后排第二行第一列，有兩種方法.排完這三個位置后其他位置的字母就確定了，完成這件事分3步，所以用乘法.可得3×2×2=12種.

【例2】（2012年高考北京理，6）從0，2中選一個數(shù)字.從1、3、5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個數(shù)為（）.

A.24B.18C.12D.6

師生互動：組成的三位數(shù)可以分成兩類：奇偶奇，和偶奇奇.第一種先填個位（3種選擇），再十位（2種選擇），最后百位（2種選擇），共12種；如果是偶奇奇，同理，個位（3種選擇），再十位（2種選擇），最后百位（1種選擇），共6種，因此共有12+6=18種情況.得到結(jié)果后再來與學(xué)生一起分析用乘法或加法的原因.這樣設(shè)計(jì)使學(xué)生從具體到抽象到具體地去掌握兩個原理，符合人的認(rèn)識規(guī)律.

而區(qū)分某一問題是排列還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān).若交換兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即有序排列，無序組合，并用例題來說明.在教學(xué)中加大分類與分步計(jì)數(shù)原理、排列與組合的對比力度，就能強(qiáng)化它們在學(xué)生頭腦中的可辨別性，避免在解題中產(chǎn)生混淆.

二、把抽象轉(zhuǎn)化為具體

教育家杜威曾說：“教學(xué)絕對不僅僅是簡單地告訴，教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一種過程的經(jīng)歷，一種體驗(yàn)，一種感悟.”對于排列組合的應(yīng)用題，學(xué)生覺得比較難，主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性.如果能把抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得具體形象起來，把問題與學(xué)生的生活緊密聯(lián)系，就能使學(xué)生體驗(yàn)到生活中的數(shù)學(xué)是無處不在的，從而培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和解決實(shí)際問題的能力.如對于這樣的問題：4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的1個運(yùn)動隊(duì)，不同的報(bào)名方法種數(shù)是多少？剛開始解決這類問題時(shí)學(xué)生老弄不清是34還是44.我是這樣處理的：在講臺上準(zhǔn)備3個盒子，分別寫上足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，先讓一名學(xué)生上來選隊(duì)，選上哪個隊(duì)就把紙團(tuán)扔到哪個盒子里，問：1號同學(xué)有幾種選擇？生：3種.師：完成選球隊(duì)這件事了嗎？生：沒有.師：2號同學(xué)上來選.通過這樣的過程，學(xué)生知道每個同學(xué)都有3種選擇，只有當(dāng)4位同學(xué)都選完球隊(duì)后才完成這件事，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得3×3×3×3，即34.這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛.同時(shí)，學(xué)生也能順利地解決這個問題.又讓學(xué)生做鞏固練習(xí)：汽車上有乘客10人，沿途有5個車站，問乘客下車的方式有幾種？有些學(xué)生能迅速地得到答案，有些學(xué)生覺得難以下手.我對一個學(xué)生說：假設(shè)你在車上，可以有幾種下車方式？通過引導(dǎo)，最后大部分學(xué)生都可以得到正確的答案.由此可見，對于排列組合中的許多抽象問題，讓學(xué)生變成題目當(dāng)中的人，使學(xué)生身臨其境，成為解決問題的決策者，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體意識和主觀能動性，能讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，達(dá)到解決問題的目的.

三、注意解題方法、解題策略的歸納總結(jié)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)是人們頭腦中的知識結(jié)構(gòu)，它具有整體性和概括性.認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體性越強(qiáng)、概括水平越高，就越有利于學(xué)習(xí)的保持與遷移.經(jīng)常有學(xué)生說：上課聽得懂，但課后不會做.這些學(xué)生在解題過程中，不會利用或利用不好已學(xué)的相關(guān)知識，找不到解題途徑或解題方法，以致解題速度不快、解答過程繁雜、解答結(jié)果出現(xiàn)重復(fù)或漏缺等.這時(shí)需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的反思，提升學(xué)生的解題能力.不能就題論題，問題解決后要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的總結(jié).如，有限制條件的排列問題的解題策略：特殊位置、特殊元素要優(yōu)先考慮；相鄰問題先捆后松，不相鄰問題見空插入，分組問題等.通過例題的講解再加以概括，使學(xué)生真正掌握解題的策略.如：7人站成一排，甲不站兩端，有幾種站法？引導(dǎo)學(xué)生明白7人排隊(duì)，與順序有關(guān)，這是一個有條件限制的排列問題，可以通過分步及排列知識來解答.不少學(xué)生先考慮甲，有5個位置可以站，其他6個人可以隨便地站6個位置，得到A15A66；師：可以先考慮前后兩個位置嗎？由學(xué)生思考，回答：前后兩個位置可以由甲以外的6個人中選兩個來排，其他5個位置由包括甲等5人來排，共有A26A55；讓學(xué)生比較兩種解法，并發(fā)現(xiàn)其結(jié)果是一樣的.前一種方法考慮人（元素），后一種方法考慮位置.教師歸納出特殊元素法和特殊位置法.在巡視和學(xué)生回答的過程中發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生先考慮甲站在哪，又考慮前后兩個位置可以站什么人，出現(xiàn)了思維混亂.強(qiáng)調(diào)：在解題過程中，應(yīng)以某一元素（或位置）為軸心展開討論，不能一會以這個元素來展開，過一會又以位置來展開，這樣會造成思路不清，引起重復(fù)或遺漏.再如：

【例3】（2012年高考遼寧理，5）一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐一起，則不同的坐法種數(shù)為（）.

A.3×3！B.3×（3！）3

篇6

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 排列組合 素質(zhì)教育 能力培養(yǎng)

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合，主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性，那么解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識和主觀能動性，能讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應(yīng)萬變。當(dāng)然，在具體的教學(xué)過程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價(jià)性，可操作性。

下面筆者將就教學(xué)過程中的兩個難點(diǎn)通過兩個特例作進(jìn)一步的說明：

1、占位子問題

例1：將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進(jìn)編號為1、2、3、4、5的5個盒子中，要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的方法？

①仔細(xì)審題：在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手，清楚這是一個“排列問題”，然后對題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目：在審題的基礎(chǔ)上，為了激發(fā)學(xué)生興趣進(jìn)入角色，我將題目轉(zhuǎn)換為：

讓學(xué)號為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準(zhǔn)備好放在講臺前），要求只有兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同，問有多少種不同的坐法？

③解決問題：這時(shí)我在選另一名學(xué)生來安排這5位學(xué)生坐位子（學(xué)生爭著上臺，積極性已經(jīng)得到了極大的提高），班上其他同學(xué)也都積極思考（充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀能動性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時(shí)間，同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學(xué)，有C種方法，讓他們坐到與自己編號相同的凳子上，然后剩下的三位同學(xué)不坐編號相同的凳子有2種排法，最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C=20（種）。這樣原題也就得到了解決。

④學(xué)生小結(jié)：接著我讓學(xué)生之間互相討論，根據(jù)自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來）

⑤老師總結(jié)：對于這一類占位子問題，關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手，再考慮一般對象，從而最終解決問題。

2、分組問題

例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個和2個數(shù)組成五位數(shù)，問這樣的五位數(shù)有幾個？

（本題我是先讓學(xué)生計(jì)算，有很多同學(xué)得出的結(jié)論是P×P）

①仔細(xì)審題：先由學(xué)生審題，明確組成五位數(shù)是一個排列問題，但是由于這五個數(shù)來自兩個不同的組，因此是一個“分組排列問題”，然后對題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目：在學(xué)生充分審題后，我讓學(xué)生自己對題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，有一位同學(xué)A將題目轉(zhuǎn)換如下：

從班級的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)競賽，問有多少種不同的選法？

③解決問題：接著我就讓同學(xué)A來提出選人的方案

同學(xué)A說：先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽，有P×P種選法；再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P×P種選法；最后由乘法原理得出結(jié)論為（P×P）×（P×P）（種）。（這時(shí)同學(xué)B表示反對）

同學(xué)B說：如果第一組的3個人先選了3門科目，那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P×P.（同學(xué)們都表示同意，但是同學(xué)C說太蘩）

同學(xué)C說：可以先分別從兩組中把5個人選出來，然后將這5個人在5門學(xué)科中排列，他列出的計(jì)算式是C×C×P（種）。（再次通過互相討論，都表示贊賞）

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來C×C×P（種）。

④老師總結(jié)：針對這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對象選定，再對它們進(jìn)行排列。

以上是我一節(jié)課兩個例題的分析過程，旨在通過這種方法的嘗試（教學(xué)效果比較明顯），進(jìn)一步活躍課堂氣氛，更全面地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在互相討論的過程中學(xué)會自己分析轉(zhuǎn)換問題，解決問題。

篇7

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合,主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性,那么解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化,我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換,讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中,成為“演員”,成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍了課堂氣氛,還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識和主觀能動性,讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā),逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律,從而做到以不變應(yīng)萬變。當(dāng)然,在具體的教學(xué)過程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價(jià)性、可操作性。

下面筆者將就教學(xué)過程中的兩個難點(diǎn)通過兩個特例作進(jìn)一步的說明:

一、占位子問題

例1:將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進(jìn)編號為1、2、3、4、5的5個盒子中,要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同,問有多少種不同的方法?

1.仔細(xì)審題:在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題,從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手,清楚這是一個“排列問題”,然后對題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

2.轉(zhuǎn)換題目:在審題的基礎(chǔ)上,為了激發(fā)學(xué)生興趣并進(jìn)入角色,我將題目轉(zhuǎn)換為:讓學(xué)號為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上(已準(zhǔn)備好放在講臺前),要求只有兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同,問有多少種不同的坐法?

3.解決問題:這時(shí)我再選另一名學(xué)生來安排這5位學(xué)生坐位子(學(xué)生爭著上臺,積極性已經(jīng)得到了極大的調(diào)動),班上其他同學(xué)也都積極思考(充分發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動性),努力地“出謀劃策”,不到兩分鐘的時(shí)間,同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學(xué),有C種方法,讓他們坐到與自己編號相同的凳子上,然后剩下的三位同學(xué)不坐編號相同的凳子有2種排法,最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C=20(種)。這樣原題也就得到了解決。

4.學(xué)生小結(jié):接著我讓學(xué)生之間互相討論,根據(jù)自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。(課堂氣氛又一次活躍起來)

5.老師總結(jié):對于這一類占位子問題,關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件,先從特殊對象如特殊位子入手,再考慮一般對象,從而最終解決問題。

二、分組問題

例2:從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個和2個數(shù)組成五位數(shù),問這樣的五位數(shù)有幾個?

1.仔細(xì)審題:先由學(xué)生審題,明確組成五位數(shù)是一個排列問題,但是由于這五個數(shù)來自兩個不同的組,因此是一個“分組排列問題”,然后對題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

2.轉(zhuǎn)換題目:在學(xué)生充分審題后,我讓學(xué)生自己對題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換,有一位同學(xué)A將題目轉(zhuǎn)換如下:

從班級的第一組(12人)和第二組(10人)中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)競賽,問有多少種不同的選法?

3.解決問題:接著我就讓同學(xué)A來提出選人的方案

同學(xué)A說:先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽,有P×P種選法;再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P×P種選法;最后由乘法原理得出結(jié)論為(P×P)×(P×P)(種)。(這時(shí)同學(xué)B表示反對)

同學(xué)B說:如果第一組的3個人先選了3門科目,那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P×P。(同學(xué)們都表示同意,但是同學(xué)C說太繁)

同學(xué)C說:可以先分別從兩組中把5個人選出來,然后將這5個人在5門學(xué)科中排列,他列出的計(jì)算式是C×C×P(種)。(再次通過互相討論,都表示贊賞)

這樣原題的解答結(jié)果C×C×P(種)就“浮現(xiàn)”出來。

4.老師總結(jié):針對這樣的“分組排列”題,我們多采用“先選后排”的方法:先將需要排列的對象選定,再對它們進(jìn)行排列。

以上是我一節(jié)課兩個例題的分析過程,旨在通過這種方法的嘗試(教學(xué)效果比較明顯),進(jìn)一步活躍課堂氣氛,更全面地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用,讓學(xué)生在互相討論的過程中學(xué)會自己分析轉(zhuǎn)換問題,解決問題。

篇8

1、相鄰問題捆綁法

例1 6名同學(xué)排成一排,其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有( )種。

A、720 B、360 C、240 D、120

解:因甲、乙兩人要排在一起,故將甲乙兩人捆在一起視作一人有 種排法,與其余四人進(jìn)行全排列有 種排法,由乘法原理可知,共有 =240種不同排法,故選(C)。

點(diǎn)評:從上述解法可以看出,所謂“捆綁法”,就是對元素進(jìn)行整體處理的形象化表述,體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的整體思想。對于以“某些元素必須相鄰”為附加條件的排列組合問題,只要把必須相鄰的元素“捆”成一個整體,視作一個“大”元素,再考慮相鄰元素內(nèi)部的排列或組合,就能保證這些元素相鄰而不散亂。

訓(xùn)練: 3名男教師,3名女教師,6名學(xué)生站成一排,要求男教師和女教師必須站在一起,且教師不站在兩端,則一共有多少種站法?

2、相隔問題插空法

例2 排一張5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單

(1) 任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種?

(2) 舞蹈節(jié)目和歌唱節(jié)目間隔排列的方法有多少種?

解:(1)先排歌唱節(jié)目有 種,歌唱節(jié)目及兩端有6個空位,從這6個空位中選4個放入舞蹈節(jié)目,共有 種方法,所以任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有 種。

(3)先排舞蹈節(jié)目有 種排法,在舞蹈節(jié)目和兩端有5個空位,恰好供5個歌唱節(jié)目放入,所以舞蹈節(jié)目和歌唱節(jié)目間隔排列的方法有 種。

訓(xùn)練:若將例題當(dāng)中的“4個舞蹈節(jié)目”改為“5個舞蹈節(jié)目”,求舞蹈節(jié)目和歌唱節(jié)目間隔排列的方法有多少種?

點(diǎn)評:從解題過程可以看出,“插”的策略是解決排列與組合中若干特殊元素互不相鄰問題的常用手段。在具體操作時(shí),可以先將其它元素排好,再將所指定的不相鄰的元素“插入”到它們的間隙及兩端位置,從而保證它們不相鄰。

3、限定問題優(yōu)限法

例3 由數(shù)字0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?

解:因所求是偶數(shù),所以個位必須是0,2,4中的任何一個,又首位不能為0,所以分個位為0時(shí)有 種,個位不為0時(shí)有 種。所以共有 種。

點(diǎn)評:所謂“優(yōu)限法”,即有限制條件的元素(或位置)在解題時(shí)優(yōu)先考慮,本題對四位偶數(shù)中的個位數(shù)字有特殊要求,首位數(shù)字又不能為0,故優(yōu)先考慮。

訓(xùn)練 本例條件不變,問題改為“求能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)?”,應(yīng)如何求解?

4、多元問題分類法

例4 三邊長均為整數(shù),且最大邊長為11的三角形有多少個?

解:設(shè)三角形的另外兩個邊分別為x和y,且不妨設(shè) ,要構(gòu)成三角形,必有 則分類討論如下:

當(dāng)y為11時(shí),x可以為:1,2,3,…,11,可有11個三角形;

當(dāng)y為10時(shí),x可以為:2,3,4,…,10,可有9個三角形;

當(dāng)y為9時(shí),x可以為:3,4,5,…,9,可有7個三角形;

當(dāng)y為8時(shí),x可以為:4,5,6,7,8,可有5個三角形;

當(dāng)y為7時(shí),x可以為:5,6,7,可有3個三角形;

當(dāng)y為6時(shí),x可以為:6,只有1個三角形;

所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36個。

點(diǎn)評:元素多,取出的情況也多種,可按結(jié)果要求,分成互不相容的幾類情況分別計(jì)算,最后總計(jì)。

訓(xùn)練 某城市在中心廣場建造一個花圃,花圃分為6個部分,如圖,現(xiàn)要栽4種不同顏色的花,每一部分栽種一種且相鄰部分不能栽同種顏色的花,不同的栽種方法有多少種?

5、標(biāo)號排位問題分步法

例5 同室4人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送來的賀年卡,則四張賀年卡的分配方式有( )

A. 6種 B. 9種 C. 11種 D. 23種

? 解:此題可以看成是將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號為1,2,3,4的四個方格里,每格填一個數(shù),且每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)不同的填法問題。所以先將1填入2至4號的3個方格里有 種填法;第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字,填入其它3個方格,又有 種填法;第三步將余下的兩個數(shù)字填入余下的兩格中,只有1種填法。故共有3×3×1=9種填法,而選B。

點(diǎn)評:把元素排在指定號碼的位置上稱為標(biāo)號排位問題。求解這類問題可先把某個元素按規(guī)定排放,第二步再排另一個元素,如此繼續(xù)下去,依次即可完成。

訓(xùn)練: 將標(biāo)有1,2,…10的10個小球投入同樣標(biāo)有1,2,…10的圓筒中,每個圓筒都不空,且所投小球與圓筒標(biāo)號均不相同的投法共有多少種?

6 自由選擇問題住店法

例6 現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的5個課外知識講座,每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座,不同的選法的種數(shù)是( )

A B C D

解:6名同學(xué)每人都可以在5個課外知識講座中任選一種,所以均有5種選法,故總共有 種,選 A 。

點(diǎn)評:自由選擇問題可以看成“顧客住店”問題。每名顧客(元素)都可以任意選擇旅店(位置),因而每個元素都有位置數(shù)種選法,所以總方法為 種。

訓(xùn)練:某同學(xué)要將標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6封信投遞出去,現(xiàn)有三個不同的信箱供選擇,則有多少種不同的投遞方法?

7 分配問題隔板法

例7 高一年級7個班級要組成籃球隊(duì),共需10名隊(duì)員,每個班級至少要出一名,則不同的組成方法共有多少種?

解: 由于10名隊(duì)員來自于7個不同的班級,每一個班級至少要一名,所以問題相當(dāng)于將10名隊(duì)員分成7組,10名隊(duì)員并排站立中間有9個空格,在這9個空格中插入6個隔板就將10名隊(duì)員分成了7組,每一組來自于一個班級,即得到了不同的組成方法共計(jì) 種.

點(diǎn)評:“隔板法”所解決的問題有以下特征:(1)被分的元素不加以區(qū)別;(2)被分的元素的個數(shù)不小于分得的組數(shù);(3)每個小組至少分得一個元素。具備這些條件時(shí)就可以用公式:將 個相同元素分成 份 時(shí),有 種分配方法

訓(xùn)練: 將10個相同的小球裝

入3個編號分別為1,2,3的盒子當(dāng)中,每次將10個球裝完,每個盒子里的球的個數(shù)都不小于合資的編號數(shù),則不同的裝法共有多少種? 8 定序問題縮倍法

例8 A、B、C、D、E五個人并排站成一排,如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰),那么不同的排法的種數(shù)是()

? (A)24 (B)60 (C)90 (D)120

解:B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同,所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半,即 60種,故選(B)。

點(diǎn)評:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序稱為定序問題,這類問題用縮小倍數(shù)的方法解決比較方便快捷。

訓(xùn)練: 從1,2,3,4,5五個數(shù)字當(dāng)中任選3個組成一個三位數(shù),其中十位比個位數(shù)字大的三位數(shù)共有多少個?

9 有序分配問題逐分法

例9 有6本不同的書,按照以下要求處理,各有幾種分法?

(1) 平均分給甲、乙、丙三人;

(2) 甲得一本,乙得兩本,丙得三本;

解:(1)每人得2本,可考慮甲先在6本書中任取2本,取法有 種,再由乙在余下的書中取2本,取法有 種,最后由丙取余下的2本,有 種取法,所有取法為 種。

(2)選取方法同(1),所以共有取法數(shù)為 種。

點(diǎn)評:有序分配問題是指把元素按要求分成若干組,常采用逐步分組法求解。

訓(xùn)練:有11名外語翻譯人員,其中5名是英語譯員,4名是日語譯員,另外兩名英、日都精通,從中找出8人,使他們能組成兩個翻譯小組,其中4名翻譯英語,另外4名翻譯日語,這兩個小組能同時(shí)工作,問這樣的8人名單共可開出幾張?

10 匹配問題配對法

例10 從6雙不同型號的鞋中任取4只,其中恰有兩只配成一雙的取法有多少種?

解:先在6雙鞋中任取一雙有 種取法,再在余下的5雙中任取兩雙,每雙中各取一只有 種取法,所以總?cè)》ㄓ?種。

點(diǎn)評:“配對法”就是將兩個相關(guān)元素之間建立一一對應(yīng)關(guān)系,如鞋子配對,鑰匙和鎖配對,比賽選手和比賽場次配對等,利用這些對應(yīng)關(guān)系,使得比較雜亂的問題簡單化,解答思路明晰化,能夠?qū)㈦y度分步化解,提升解答準(zhǔn)確度。

訓(xùn)練:有111名選手參加乒乓球比賽,比賽采取單淘汰制,需要打多少場比賽才能產(chǎn)生冠軍?

11 選排問題先選后排法

例11 有6名男醫(yī)生,4名女醫(yī)生,從中選3名男醫(yī)生和兩名女醫(yī)生到5個不同的地區(qū)巡回醫(yī)療,但規(guī)定男醫(yī)生甲不能到地區(qū)A,共有多少種不同的分派方法?

解:分兩類:

第一類:甲被選,共有 種分派方法;

第二類:甲未被選,共有 種分派方法;

所以共有 種分派方法。

點(diǎn)評:本題中不僅要選出5名醫(yī)生(元素),還要求分配到5個地區(qū)(空位),因此是一道“既選又排”的排列組合綜合問題,解決這類問題的方法是“先選后排”,同時(shí)要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排的原則。

訓(xùn)練:從1到9的九個數(shù)字當(dāng)中取出三個偶數(shù)四個奇數(shù),試問:

(1) 能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)?

(2) 上述七位數(shù)當(dāng)中三個偶數(shù)排在一起的有幾個?

(3) (1)中的七位數(shù)當(dāng)中,偶數(shù)排在一起奇數(shù)也排在一起的有幾個?

12、至少問題間接法

例12 課外活動小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各指定一名隊(duì)長?，F(xiàn)從中選5人主持某種活動,至少有一名隊(duì)長當(dāng)選的選法有多少種?

解:在選取的人員當(dāng)中,總的選法有 種,不包含隊(duì)長在內(nèi)的有 ,所以總的選法有 種。

訓(xùn)練: 從甲、乙等10名同學(xué)當(dāng)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動,要求甲、乙中至少有1人參加,則不同的挑選方法共有多少種?

點(diǎn)評:含“至多”或“至少”的排列組合問題,通常用分類法,但是往往分類較多,討論起來難度較大。本題所用的解法是間接法,即排除法(總體去雜),適用于反面情況明確且易于計(jì)算的情況。

13多排問題單排法

例13 兩排座位,第1排3個座位,第2排5個座位。若8名學(xué)生入座(每人1個座位),則不同的座法有多少種?

解:因8名學(xué)生可以在前后兩排座位中隨意入座,再無其他條件,所以兩排座位可以看成一排來處理,故不同的座法有 種。

點(diǎn)評:把元素排成幾排的問題,限定條件若不影響問題歸結(jié)為一排考慮,那么就將多排問題化為一排,再分段處理。

訓(xùn)練:12名同學(xué)合影,站成前排4人,后排8人。

(1) 總共有多少種不同的站法?

(2) 攝影師要從后排8人中抽調(diào)2人到前排,其他人順序不變,總共有多少種調(diào)整方法?

14交叉問題集合法

例14 從6名運(yùn)動員中選出4名參加4×100米接力賽,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少種不同的參賽方法?

解:設(shè)全集I={6人中任取4人參賽的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式可得參賽方法共有: (種)。

說明:某些排列組合問題幾部分之間有交集,可用集合中求元素個數(shù)的公式: 來求解。

訓(xùn)練:從7名運(yùn)動員當(dāng)中選出4人參加4×100米接力,求滿足下列條件的安排方法數(shù):(1)甲、乙二人都不跑中間兩棒;(2)甲、乙二人不都跑中間兩棒。

15 多排問題剔重法

例15 用5個數(shù)字0,1,1,2,2,組成的五位數(shù)總共有多少個?

解:特殊元素0先排,不能排在萬位,有 種排法,1與2共有 種排法,剔除掉11與22的重復(fù)排列,共得五位數(shù)有 個。

點(diǎn)評:元素在排列過程當(dāng)中出現(xiàn)重復(fù)排列稱之為多排,所以在總排列數(shù)當(dāng)中應(yīng)該剔除掉重復(fù)排列。

篇9

我們都知道"0"很特殊：數(shù)字"0"在排列構(gòu)成整數(shù)中不能放在首位；末尾是"0"的數(shù)一定是偶數(shù)，一定能被10整除等等。因此在有"0"時(shí)我們一般要特殊處理，優(yōu)先考慮"0".

例1：用數(shù)字0，2，3，4，5五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個？

分析：由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末位數(shù)字必然為偶數(shù)。還要注意的是"0"不能排在首位。所以這里我們將"0"視作特殊元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按"0"在末尾和"0"不在末尾分為兩類：（1）"0"排末尾時(shí)，只需要在剩下的4個數(shù)字中選出2個數(shù)字排在十位和百位，有A42=12種；（2）"0"不排在末尾時(shí)，應(yīng)該從2，4這兩個數(shù)字中選出一個排在末尾，然后再從剛才選中的這個數(shù)和"0"以外的3個數(shù)中選出一個排在百位，最后再從剩下的三個數(shù)中選出一個排在十位，故有C12 C13C13=18種。由分類計(jì)數(shù)原理可知本題的正確答案為30個。

2.若干個數(shù)字排列與指定數(shù)做比較

這一類問題通常是告訴你某幾個數(shù)字來排列成一個不重復(fù)的幾位數(shù)，問排出來有多少個數(shù)比已知數(shù)大；或者問某一個數(shù)按大小順序排出來應(yīng)該在第幾位。針對這類問題我們需要對這個數(shù)的每一個數(shù)位逐一考察，形如查字典，因此我們把這種方法稱為"查字典法"。

例2，用1，2，3，4四個數(shù)字無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，有多少個數(shù)比2314大？

分析：（1）首先如果某個數(shù)的首位排3或4，那么這個數(shù)的后面幾個數(shù)位無論怎么排都比我們的2314大，這時(shí)有2A33=12個；

（2）如果某個數(shù)的千位排的是2，它的百位是4，那么這個數(shù)后面的十位和個位無論怎么排都比2314大，這時(shí)有A22=2個；

（3）如果某個數(shù)的千位排的是2，它的百位是3，十位是4那么這個數(shù)后面的個位只能是1，它比2314大，這時(shí)有1個；

（4）如果某個數(shù)的千位排的是2，它的百位是3，十位是1，個位只能是4，它不比2314大，這時(shí)有0個。

由分類計(jì)數(shù)原理可知一共有：2A33+A22+1=15個數(shù)滿足題意。

這是這一類問題中比較簡單一點(diǎn)的問題，有時(shí)幾種特殊條件綜合在一起，需要我們引起高度的重視。比如我們一起來看下面的例3：

例3：用0， 1， 2， 3， 4五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù) ， 若按從小到大排列 ， 3204是第幾個數(shù)？

分析：這個問題實(shí)際上是：看排成的四位數(shù)中有多少個比已知數(shù)3204小。

解 ：由高位到低位逐級分為 ：

（1） 千位是1或2時(shí) ， 無論后面的三個數(shù)位怎么排列都比3204小，這時(shí)有A12A34 =48個；

（2）①千位是3時(shí)，當(dāng)百位排0， 1時(shí) ， 后面的兩個數(shù)位無論怎么排這個數(shù)都比3204小，有2A23 =12個； ②千位是3時(shí)，當(dāng)百位排2時(shí) ， 比3204小的僅有3201，有1個。

所以，比3204小的數(shù)一共有48+12+1=61個數(shù)，3204是第62個數(shù)。

3.循環(huán)問題

關(guān)于這一類問題，一般中學(xué)里面不會做深入的研究，但是循環(huán)排列在中學(xué)競賽中是有所涉及的。大學(xué)里面的初等代數(shù)，圖論組合課程研究的比較多，這里我們做一個簡單的介紹。如果是n個元素循環(huán)排列，那么它的排列種數(shù)共有（n-1）！ 種。因?yàn)槲覀冎酪粋€循環(huán)它是沒有固定起點(diǎn)，終點(diǎn)的，排列好后它可以以任何一個元素作為起點(diǎn)，終點(diǎn)也就隨之確定。所以它的排列種數(shù)為n1/n=（n-1）！。

例：學(xué)生6人，教師2人，師生8人圍桌而坐，在下面幾種約束條件下各有幾種不同的坐法？

（1）不加任何限制；

（2）兩位教師必須在相鄰的位置；

（3）兩位教師不相鄰。

解：（1）這顯然是一個很直接循環(huán)排列問題，由題易知有8！/8=（8-1）！=5040種坐法；

（2）這是在循環(huán)排列的基礎(chǔ)上要求了其中兩個元素必須相鄰的情況，首先把這兩個教師捆在一起作為一個元，則相當(dāng)于7個元素循環(huán)排列，其次兩位教師的內(nèi)部是需要講順序的，所以，一共有7！7×2！=1440種；

（3）這是在循環(huán)的基礎(chǔ)上要求了其中兩個元素不相鄰的情況，首先把6位學(xué)生排列好，則相當(dāng)于6個元素循環(huán)排列，最后兩位教師再插空且是需要講順序的。所以，一共有6！6×A36=3600種。

當(dāng)我們看了以上的例題后發(fā)現(xiàn)：其實(shí)循環(huán)排列和一般排列臉有在考慮總體排列情況時(shí)存在差別，形如相鄰，不相鄰這類問題的處理方法是一致的。

篇10

排列組合知識內(nèi)容抽象，方法獨(dú)特而且影響悠遠(yuǎn)，是進(jìn)行思維訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的絕好智能教材.加法原理和乘法原理是人們處理離散對象的計(jì)算原理.它像一條紅線貫穿教材始終：從推導(dǎo)排列數(shù)，至組合數(shù)公式，至處理應(yīng)用問題，至推導(dǎo)概率公式，至反復(fù)應(yīng)用，最后到步步加深，這是一個循序漸進(jìn)過程.要具備分析處理問題的實(shí)際能力，在教學(xué)和復(fù)習(xí)中就必須一切圍繞對加法原理和乘法原理的理解和應(yīng)用展開，在反復(fù)應(yīng)用中加深理解，進(jìn)而達(dá)到形成數(shù)學(xué)思想和提高學(xué)習(xí)能力的高度.

一、循序漸進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣

在加法原理和乘法原理的應(yīng)用中安排了介紹原理、推理原理、解應(yīng)用問題，必須使這幾次循環(huán)每次都有所側(cè)重，每次都有質(zhì)的飛躍.側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生分清、分類與分步的區(qū)別和聯(lián)系.加法原理需理解各類辦法的互斥性，對乘法原理，明確各個步驟聯(lián)系性，缺一不可是前提，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)對于完成上一步的任意一種方法，下一步都有同樣多種方法，這才能用乘法原理.對應(yīng)，應(yīng)在每一個例題和練習(xí)中強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生從開始就注意到應(yīng)用兩個原理的條件.

在導(dǎo)出排列數(shù)、組合數(shù)公式時(shí)，側(cè)重于強(qiáng)調(diào)元素的互異性，從而使學(xué)生認(rèn)識排列數(shù)、組合數(shù)公式應(yīng)用的局限性；同時(shí)應(yīng)用乘法原理說明兩個公式間的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用兩分法，講清組合數(shù)的兩個性質(zhì)公式.有比較才有鑒別.可以對比安排一些元素來重復(fù)排列、組合問題，可使學(xué)生加深對公式適用條件的印象，同時(shí)也有利于更進(jìn)一步熟悉加法原理和乘法原理.如：（1）三封信投入四個信箱，有多少種不同投法？（2）某縣使用7位電話號碼，前兩位都用2，其他各位不限，問該縣最多可安多少部電話？（3）6名同學(xué)報(bào)名參加音樂、美術(shù)、體育三個課外興趣小組，每人限報(bào)一個，有多少種報(bào)名方法？

在解應(yīng)用題教學(xué)中重點(diǎn)集中在對加法原理和減法原理應(yīng)用條件的理解和運(yùn)用上.教材的例題和習(xí)題既典型又符合學(xué)生的認(rèn)知水平，對它們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多問幾個為什么，多從不同角度、不同方向去探索應(yīng)用兩個原理分析處理問題的方法，充分挖掘每個題目的不同解題方案.例如，從1，3，5，7，9中任取三個數(shù)，從2，4，6，8中任取兩個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，一共可以組成多少個數(shù)？若先選元素后排列為C35C24P55=7200（個）；若先選位子，即先從5個位子中選定了3個放奇數(shù)（或從5個位子中選2個排偶數(shù)），再分別選排元素則為C35 P35 P24（或C25 P24 P25）=7200（個）.

適當(dāng)選擇既典型又聯(lián)系實(shí)際貼近生活且難易適中的課外練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生自覺用兩個原理去設(shè)計(jì)不同的解題方案.如3封信投4個郵箱，用乘法原理得43種投法固然簡便，但若用加法原理，分成分別由一個、兩個、三個郵箱去接受三封信這三大類，則得C14+C24C23P22+C34P33=64（種）投法.又如，10 名劃船運(yùn)動員，其中5名擅長劃左舷，3人擅長劃右舷，另兩個左右都行，今從10人中選6人均分到船的兩舷，有多少種選法？首先確定劃右舷的人，可以兩個左、右舷都行的人不參與劃右舷、有一個參與、兩個人都參與分類，則得C33 C37+ C23 C12 C36+ C13 C22C35=185（種）選法；若先定劃左舷的人，則得C35C35+ C25 C12 C34+ C15 C22 C33=185（種）選法.若先把劃左、右舷都行的人安排后再選配其他人，則須分兩人全安排、只排一人、兩人全不安排三大類，其中第一類又分全在右舷、全在左舷、一左一右三小類，第二類又分一人安排在左舷或右舷兩類，故共有（C22 C15 C33+ C22 C35 C13+ P22 C25 C23）+（C12 C25 C33+ C12 C35 C23）+ C35 C33=185（種）選法.此說明雖然都是加法原理，但分類的方案也可以是幾種.利用這些融知識性、趣味性融一體的問題，引導(dǎo)學(xué)生擺脫死板的模式，設(shè)身處地用加法原理和乘法原理去設(shè)計(jì)解題方案，對于消除畏難情緒，提高解題能力大有裨益.

不同側(cè)重點(diǎn)的講解和應(yīng)用，學(xué)生初步形成應(yīng)用處理簡單應(yīng)用題的能力和歸類、分步的數(shù)學(xué)思維雛形.

二、總結(jié)要點(diǎn)，培養(yǎng)能力

1.回顧教學(xué)過程，緊扣教材，理清思路前后貫通，使學(xué)生充分認(rèn)識加法原理和乘法原理的綱領(lǐng)作用.如圖所示.