導(dǎo)語(yǔ)：數(shù)學(xué)對(duì)物理化學(xué)的應(yīng)用一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等方法在解答物理、化學(xué)題中具有非常重要的作用，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)在物理、化學(xué)教學(xué)中也多用到。對(duì)中學(xué)生來(lái)說(shuō)，若能很好地利用數(shù)學(xué)這個(gè)工具去處理物理、化學(xué)問(wèn)題，那么一些物理、化學(xué)難題便會(huì)迎刃而解，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)?，F(xiàn)舉例分析如下：

一、數(shù)學(xué)在物理學(xué)習(xí)中的具體應(yīng)用

（一）將均值不等式用于求解物理中的最值問(wèn)題

均值定理：a+b≥2ab（a≥0，b≥0），若ab=p（定值），當(dāng)a=b時(shí)，（a+b）有最小值2P；若a+b＝M（定值），當(dāng)a=b時(shí)，ab有最大值22M。使用均值不等式求最值時(shí)，要遵循“一正、二定、三相等”三步驟，三者缺一不可，若不滿足，應(yīng)化歸轉(zhuǎn)化條件，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等進(jìn)行解答。【例1】己知電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)阻為r的電源，當(dāng)外電路電阻R為多大時(shí)，電源輸出功率最大？【解析】要求電源輸出動(dòng)率的最大值，須列出輸出功率關(guān)于外電阻R的函數(shù)表達(dá)式，然后求這個(gè)函數(shù)的最大值。根據(jù)公式很容易求出P出=I2R=ε+2RRr，其中ε，r為已知，R為自變量。這樣只須求出這個(gè)函數(shù)的最大值即可。解答過(guò)程如下：P=ε+2RRr=ε++222rRrR≤!!"!#!槡$%&'()*&'(!"+,&)"+,&!%)*))"")%%-'(=ε24r，當(dāng)且僅當(dāng)R=2rR，即R＝r時(shí)，等號(hào)成立。這道題直接運(yùn)用均值不等式a+b≥2ab（a＞0，b＞0）求解，簡(jiǎn)潔、明了。

（二）函數(shù)圖象在解物理題中的應(yīng)用

在解答物理問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)常遇到一些物理計(jì)算式與方程、不等式、分段函數(shù)、幾何圖形密切相關(guān)。當(dāng)學(xué)生遇到這種物理問(wèn)題的時(shí)候，我們要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意建立函數(shù)模型，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題。比如下面兩個(gè)例子?！纠?】由功率定義式可知P出=U路·I。而U路=ε-Ir，是一個(gè)關(guān)于I的一次函數(shù)，其圖象是一條直線。不妨以I為橫縱，U路為縱軸建立坐標(biāo)系，如圖1所示。這條直線與坐標(biāo)軸圍成一個(gè)直角三角形εOI短。從直線上的一點(diǎn)A作三角形的內(nèi)接矩形，則矩形面積的數(shù)值就等于電源的輸出功率的數(shù)值，即P=UI′。圖1由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)A為直線中點(diǎn)時(shí)內(nèi)接矩形面積最大，即輸出的功率最大。而R＝U／I′＝tan，由圖可以得到△OAI′≌△I′AI短，即＝，故R＝tan＝tan＝ε／I短＝r。【例3】勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E=2.0×103v·m-1，方向水平。電場(chǎng)中有兩個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)，它們的質(zhì)量均m=1.0×10-5kg。質(zhì)點(diǎn)A帶負(fù)電，質(zhì)點(diǎn)B帶正電，電量皆為q=1.0×10-9C。開(kāi)始時(shí)，兩質(zhì)點(diǎn)位于同一等勢(shì)面上，A的初速度VA0=2.0m/s，B的初速度VB0=1.2m/s，這兩個(gè)速度的方向均沿場(chǎng)強(qiáng)方向。在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若用ΔS表示任一時(shí)刻兩質(zhì)點(diǎn)間的水平距離。問(wèn)當(dāng)ΔS的數(shù)值在什么范圍內(nèi)，可判斷哪個(gè)質(zhì)點(diǎn)在前面（規(guī)定圖2－1中右方為前）。當(dāng)ΔS的數(shù)值在什么范圍內(nèi)，不可判斷誰(shuí)前誰(shuí)后？時(shí)刻變化，怎么可能僅憑ΔS便可判斷出前后順序呢？這時(shí)可別只想著單一地利用物理知識(shí)來(lái)求解，要把數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合分析。那么怎樣才能將之與數(shù)學(xué)思想方法聯(lián)系起來(lái)呢？由物理知識(shí)我們知道，兩物體的位移均是時(shí)間t的二次函數(shù)，距離ΔS也應(yīng)是關(guān)于t的二次函數(shù)，只須討論ΔS的值域，即二次函數(shù)的值域就可以解決問(wèn)題。由物理情景知：t＜2s時(shí)，A在前，A的速度大于B的速度，A和B距離在增大；當(dāng)t＝2s時(shí)，A和B的速度相等，A和B相距最遠(yuǎn)，ΔS最遠(yuǎn)為0.8m；當(dāng)2s＜t＜4s時(shí)，B的速度大于A的速度，B追A，距離在拉近；當(dāng)t＝4s時(shí)，B追上A，ΔS＝0。即當(dāng)0＜t＜4時(shí)，A在前，ΔS由0增加到0.8米又由0.8米減小至0。當(dāng)t＞4s時(shí)，B在前且加速，A在后減速，A不可能再追上B，ΔS由0開(kāi)始一直增大。所以當(dāng)0≤ΔS≤0.8時(shí)，有可能A在前也有可能B在前，但是ΔS＞0.8后，一定是B在前。圖象判斷：由t可判斷誰(shuí)在前，那么只須找ΔS與t的關(guān)系即可用ΔS來(lái)判斷誰(shuí)在前。對(duì)某個(gè)△S，若對(duì)應(yīng)的t值在兩個(gè)區(qū)間（0，4）及（4，＋∞）時(shí)，不能判斷；對(duì)某個(gè)ΔS對(duì)應(yīng)的t值唯一，那么便可判斷誰(shuí)在前。由圖2-2知，當(dāng)0≤ΔS≤0.8時(shí)，對(duì)應(yīng)的t值在（0，4）及（4，＋∞）兩個(gè)區(qū)間；當(dāng)ΔS＞0.8時(shí)，對(duì)應(yīng)一個(gè)區(qū)間（4，＋∞）。故當(dāng)0≤ΔS≤0.8時(shí)，不能判斷；ΔS＞0.8時(shí)，可判斷B在A前方。

（三）幾何知識(shí)與三角函數(shù)知識(shí)在解物理題中的應(yīng)用

物理問(wèn)題中常存在幾何關(guān)系，因此可將物理中有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的幾何圖形關(guān)系問(wèn)題，再利用幾何知識(shí)和方法解決。有些力學(xué)問(wèn)題、光學(xué)問(wèn)題和電學(xué)問(wèn)題除了用幾何知識(shí)，還可用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)解答，如解三角形模型的物理，可利用三角函數(shù)的有界性，求某一變量的最大值或最小值等?！纠?】如圖3，在斜槽ABCD中，各面動(dòng)摩擦因子相同，一小球從A處由靜止開(kāi)始滾下，經(jīng)AB、BC、CD，至D點(diǎn)停下，AD與BC夾角為，試求球與斜槽的動(dòng)摩擦因子。此題難度較大，難點(diǎn)在于怎樣作輔助線，找出幾何關(guān)系。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生能敏銳地找出隱藏在題目中的幾何關(guān)系，巧妙地利用數(shù)形結(jié)合思想和三角函數(shù)知識(shí)解答。【例5】如圖4－1所示，A為帶正電荷Q的金屬板，沿金屬板的垂直平分線在距離板r處放一質(zhì)量為m、電荷量為q的小球，小球受水平向右的電場(chǎng)力作用而偏轉(zhuǎn)角后靜止。設(shè)小球是用絕緣絲線懸掛于O點(diǎn)，求小球住處的電場(chǎng)強(qiáng)度。此題利用數(shù)形結(jié)合思想，用解三角形知識(shí)解答，發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)。可見(jiàn)，恰當(dāng)?shù)匕褦?shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、簡(jiǎn)明的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于解答物理問(wèn)題中，能使物理問(wèn)題更清晰明了，有利于我們分析物理過(guò)程和題目的求解。函數(shù)、等差數(shù)列、等比數(shù)列、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、求極限和導(dǎo)數(shù)等知識(shí)和方法都可廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)習(xí)中，幫助我們求解物理問(wèn)題。

二、數(shù)學(xué)在化學(xué)學(xué)習(xí)中的具體應(yīng)用

（一）分類討論思想在求解化學(xué)計(jì)算題中的應(yīng)用

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它蘊(yùn)含嚴(yán)密的邏輯推理這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這種思想方法能幫助我們準(zhǔn)確地把握分類標(biāo)準(zhǔn)，使我們的思維更俱全面性。因其要求的能力較高，難度較大，所以許多化學(xué)計(jì)算題的壓軸題都涉及分類討論思想。請(qǐng)看下例：【例6】寫(xiě)出H2S燃燒的化學(xué)方程式。1.0LH2S氣體在aL空氣混合點(diǎn)燃后，若反應(yīng)后氣體的溫度和壓強(qiáng)都不變，均為20℃，1.01×105Pa。試討論a的取值范圍不同時(shí)，燃燒后氣體的總體V（用含a的表達(dá)式表示，假定空氣中O2占空氣的15）H2S與O2反應(yīng)產(chǎn)物可能有多種，而題目所給空氣體積a是個(gè)不確定值，產(chǎn)物到底是什么呢？在數(shù)學(xué)中常要對(duì)一些不確定量進(jìn)行分類討論，因此，我們可以利用數(shù)學(xué)中的分類討論思想方法對(duì)不確定的a進(jìn)行討論，可很快地解答問(wèn)題。（解略）在解題中，利用數(shù)學(xué)分類思想方法進(jìn)行討論時(shí)，會(huì)遇到兩個(gè)難點(diǎn)：①如何選取分類標(biāo)準(zhǔn)，即如何尋找不定量的不同區(qū)間，并以此進(jìn)行討論；②如何做到討論全面、準(zhǔn)確。在化學(xué)的分類討論中難點(diǎn)①已不存在，因分類區(qū)間已經(jīng)給出限定，按化學(xué)方程式系數(shù)比即可寫(xiě)出，因此我們只需討論難點(diǎn)②。因此化學(xué)的分類討論題難度明顯比數(shù)學(xué)討論題容易得多。但若要運(yùn)用數(shù)學(xué)分類討論思想來(lái)解決的化學(xué)問(wèn)題則會(huì)比解其他化學(xué)題難得多，它對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求較高。

（二）不完全歸納法在化學(xué)中的靈活應(yīng)用

不完全歸納法的本質(zhì)就是由特殊到一般的思維方法，通過(guò)少數(shù)幾個(gè)具體情況歸納出一般規(guī)律，它與數(shù)學(xué)歸納法不同的是它不需要嚴(yán)格證明。請(qǐng)看下面例題。【例7】己知有一系列的有機(jī)物如圖5所示，求它的分子式通式?！窘馕觥拷?jīng)觀察得知，每增加一個(gè)環(huán)，即增加4個(gè)C，4個(gè)H。由數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列知識(shí)可知，其所求分子式通式為C4n+2H4n+2。由此可見(jiàn)，利用不完全歸納法解答一些選擇題或填空題，往往能出奇制勝。

（三）方程思想在化學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用

化學(xué)計(jì)算題中有很大一部分要列出方程求解。具體來(lái)說(shuō)，就是設(shè)出題目中要求的幾個(gè)未知量，根據(jù)反應(yīng)的關(guān)系列出幾個(gè)方程，組成一個(gè)方程組，然后進(jìn)行求解。這種題與數(shù)學(xué)中的應(yīng)用題十分相似，只不過(guò)數(shù)學(xué)應(yīng)用題是依據(jù)題目文字?jǐn)⑹黾耙恍┻f推關(guān)系列方程，且條件隱蔽性更強(qiáng)，列方程的難度更大。請(qǐng)看下面例題?！纠?】有一些含雜質(zhì)CaCO3的Na2CO3共11.6克，加入過(guò)量的鹽酸產(chǎn)生氣體2.46升，求CaCO3和Na2CO3的質(zhì)量。【解析】題目有兩個(gè)待求量，可設(shè)CaCO3和Na2CO3分別為X克，Y克，則X＋Y＝11.6　　　　　　　　　?、僭俜治鲱}給信息，產(chǎn)生的氣體CO2有2.46升，即0.11（md），而CaCO3、Na2CO3與鹽酸反應(yīng)都產(chǎn)生CO2，且每md的CaCO3或Na2CO3都產(chǎn)生1md的CO2。那么產(chǎn)生CO2物質(zhì)的量就等于CaCO3產(chǎn)生的CO2與Na2CO3產(chǎn)生的CO2的物質(zhì)的量之和。由①②聯(lián)立方程組可解得X＝1克，Y＝10.6克。在解題中，如果能把解數(shù)學(xué)應(yīng)用題及其他數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等方法應(yīng)用于化學(xué)計(jì)算題中，那么問(wèn)題便容易得以解決。

（四）立體幾何知識(shí)在化學(xué)中的應(yīng)用

要想理解和掌握好原子、分子、化學(xué)鍵、晶體等微觀結(jié)構(gòu)，我們需要有一定的三維想象能力。因?yàn)檫@些微觀結(jié)構(gòu)雖然具有高度對(duì)稱性，但都比較復(fù)雜，在日常的生活中很難看得到，所以學(xué)生難以理解。因此，教師要把所學(xué)的立體幾何知識(shí)及豐富的空間想象力應(yīng)用其中，由圖中的一個(gè)結(jié)構(gòu)想象出整個(gè)晶體排布，或畫(huà)出其立體圖或某個(gè)截面圖，才能對(duì)晶體結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。比如下面的例題?！纠?】（高考題改編）己知C60結(jié)構(gòu)是形如球狀的多面體，其分子中每個(gè)碳原子又跟三個(gè)質(zhì)子形成化學(xué)鍵，并且C60分子中R含五邊形和六邊形，求C60中五邊形數(shù)和六邊形數(shù)。【解析】設(shè)有X個(gè)五邊形，有Y個(gè)六邊形，則在此多面體中有60個(gè)頂點(diǎn)，而每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)三條棱，每條棱連接兩個(gè)頂點(diǎn)。故有多面體中棱數(shù)為60×3÷2＝90（條）；由歐拉定理知，頂點(diǎn)數(shù)＋面數(shù)－棱的條數(shù)＝2，即面數(shù)＝2＋棱的條數(shù)－頂點(diǎn)數(shù)＝2＋90－60＝32；所以，X＋Y＝32。又由對(duì)應(yīng)思想知，每個(gè)五邊形有5條邊，每個(gè)六邊形有6條邊，而每條棱對(duì)應(yīng)兩個(gè)面。所以，（5X＋6Y）÷2＝棱的條數(shù)＝90，即5X＋6Y＝180；又X＋Y＝32，解出X＝12，Y＝20；所以C60中五邊形數(shù)為12，六邊形數(shù)為20。此題看似化學(xué)問(wèn)題，但根本用不上任何化學(xué)知識(shí)來(lái)求解。如果學(xué)生沒(méi)能將之轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，那么就不可能做出來(lái)。對(duì)這種只以化學(xué)為基本素材的“數(shù)學(xué)題”，就要想一想，它與哪些數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)。如果能想到對(duì)應(yīng)原理和歐拉定理，那么就能迎刃而解。由此可見(jiàn)，如果能把數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用于求解化學(xué)難題中，那么往往就能化難為易，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，從而輕松解題。在教學(xué)中，我們?nèi)绻軐?shù)學(xué)知識(shí)及其思想方法應(yīng)用于物理、化學(xué)的學(xué)習(xí)中，那么就能較好地培養(yǎng)學(xué)生綜合能力，提高學(xué)生的智力，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。

作者：歐陽(yáng)群壯 歐陽(yáng)雙 單位：桂林十八中 桂林旅游學(xué)院