導(dǎo)語(yǔ)：數(shù)學(xué)教學(xué)兩種思維形式分析一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢(xún)客服老師，歡迎參考。

摘要：在人們的初始印象中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主要是訓(xùn)練邏輯思維能力。在以往的教學(xué)中，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的“三性”，即抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性、系統(tǒng)性。這固然是一個(gè)重要的方面，但我們也不能忽視生動(dòng)活潑的形象思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用。該文分析了這兩種思維形式的特點(diǎn)、作用和相互關(guān)系，從而對(duì)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性思維有一個(gè)更全面的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育；邏輯思維；形象思維

數(shù)學(xué)是最講究邏輯思維的，而形象思維多見(jiàn)于文學(xué)藝術(shù)領(lǐng)域，但兩種思維并沒(méi)有不可逾越的界線。數(shù)學(xué)的最終表達(dá)形式必須嚴(yán)格按照邏輯規(guī)則書(shū)寫(xiě)出來(lái)，不能有絲毫的含混。從某種意義上說(shuō)，全部的數(shù)學(xué)是可以從用少數(shù)的邏輯公式推演出來(lái)的。因此，人們經(jīng)常強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和系統(tǒng)性。這種把豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容歸結(jié)為簡(jiǎn)單的邏輯規(guī)則就叫做“收斂思維”。但是，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、理解、講授和創(chuàng)作過(guò)程又充滿(mǎn)著形象思維的特點(diǎn)，不拘一格地進(jìn)行由此及彼、由表及里、去粗取精、去偽存真的體會(huì)和感悟。這種思維是開(kāi)放的、自由的，因而叫做“發(fā)散思維”。因此，成功的教學(xué)必須是這二者的有機(jī)結(jié)合。自從出現(xiàn)了數(shù)學(xué)的公理化方法之后，數(shù)學(xué)理論的表述都要遵循嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，一步一步地進(jìn)行演繹推理，否則就不能保證結(jié)果的正確性。但是，豐富多彩、生動(dòng)活潑的創(chuàng)造性思維絕不是一些形式化的邏輯規(guī)則所能包容的。一個(gè)數(shù)學(xué)定理的誕生往往要經(jīng)過(guò)一個(gè)從不合邏輯到合乎邏輯的醞釀過(guò)程：觀察—直覺(jué)—猜想—修正—證明。這里存在著形象思維的要素：聯(lián)想、類(lèi)比、暗示、啟發(fā)、預(yù)感和意會(huì)。數(shù)學(xué)的書(shū)面形式，就像一幕劇的最終演出，總是那樣有條不紊、天衣無(wú)縫；而產(chǎn)生這最終形式的創(chuàng)作過(guò)程，卻有如后臺(tái)的排練，經(jīng)歷設(shè)想與修改的多次反復(fù)，思路縱橫，不拘一格。這種“前臺(tái)演出”與“后臺(tái)創(chuàng)作”的思維方式是不同的：前者以邏輯思維為主，后者更多地表現(xiàn)出形象思維的特色。數(shù)學(xué)教學(xué)則是往返于這兩者之間的活動(dòng)：它把抽象的原則、原理、公式溶解于豐富的直觀想象；反過(guò)來(lái)又把粗糙的感性理解凝練成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚?。這種教學(xué)活動(dòng)的目的是培養(yǎng)學(xué)生從想象到理論的創(chuàng)造能力，不只是讓學(xué)生去記憶和復(fù)述書(shū)本的推理過(guò)程和計(jì)算方法。[1]

1數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的主要問(wèn)題

想要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，就必須分析當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的主要問(wèn)題，只有這樣才能從問(wèn)題出發(fā)來(lái)解決問(wèn)題，幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的思維能力。下文中筆者從教師和學(xué)生兩個(gè)方面出發(fā)，分析了當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的主要問(wèn)題，希望能夠提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

1.1教師教學(xué)存在的問(wèn)題

很多教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，還是選擇以往的教學(xué)方式，教師依然是課堂教學(xué)的中心，這種情況下，教師的教學(xué)不但無(wú)法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，課堂教學(xué)的效率也很難提高。隨著新課改的不斷深化，中學(xué)教育也更加重視學(xué)生綜合能力的提高，但現(xiàn)在很多教師開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，依然比較重視知識(shí)的傳授，對(duì)學(xué)生解題能力以及綜合能力的培養(yǎng)不夠重視。

1.2學(xué)生學(xué)習(xí)存在的問(wèn)題

數(shù)學(xué)教學(xué)要求學(xué)生具有基本的抽象思維能力以及邏輯思維能力，而能力培養(yǎng)對(duì)于學(xué)生而言是比較困難的，想要解決這個(gè)問(wèn)題就要幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)課后習(xí)題往往比較注重學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力，要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)解題的思路。但是現(xiàn)在很多學(xué)生還是選擇傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法，對(duì)于數(shù)學(xué)思路的養(yǎng)成不夠重視，這也給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成極大的影響。學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性較差，也是當(dāng)前的一個(gè)重要問(wèn)題，以往的填鴨式教學(xué)很難激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，教師一味地講課，學(xué)生被動(dòng)地聽(tīng)課，枯燥無(wú)味。這種情況下，教師可以給學(xué)生一定的時(shí)間，讓學(xué)生去講臺(tái)上解答相關(guān)問(wèn)題甚至是教學(xué)，這也能讓學(xué)生更好地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，拉近師生的距離，更好地開(kāi)展課堂互動(dòng)。

2數(shù)學(xué)教學(xué)中兩種思維能力的培養(yǎng)

如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)邏輯思維和形象思維能力，是一個(gè)需要著力研究的大課題。下面談一些體會(huì)和認(rèn)識(shí)：

2.1教師要起示范的作用

基礎(chǔ)課教師在課堂教學(xué)中，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言、清晰的表達(dá)、規(guī)范的板書(shū)對(duì)學(xué)生的影響極大。如果教師在講課中的每一步推理都有理有據(jù)、一環(huán)扣一環(huán)；分析問(wèn)題層次分明、切中要害；所用的術(shù)語(yǔ)記號(hào)準(zhǔn)確簡(jiǎn)練，對(duì)做學(xué)問(wèn)的態(tài)度嚴(yán)肅認(rèn)真；這樣日復(fù)一日的耳濡目染，便會(huì)逐漸使學(xué)生養(yǎng)成形成良好的思維習(xí)慣，因此，要對(duì)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯訓(xùn)練，必須先從教師自身做起。另外，現(xiàn)在學(xué)生普遍存在的問(wèn)題是動(dòng)手寫(xiě)得少。應(yīng)該提倡用“寫(xiě)讀法”讀書(shū)，按照規(guī)范的格式寫(xiě)筆記、寫(xiě)作業(yè)、寫(xiě)總結(jié)、寫(xiě)札記、寫(xiě)小論文。[2]

2.2重視原始思想的闡發(fā)

課堂教學(xué)要著力于分析各種理論的原始思想，以便認(rèn)識(shí)抽象思維的根基。人們常說(shuō)要重視“引論”的教學(xué)，這就是要講清楚一些重要理論建立之前的背景、動(dòng)機(jī)和思想的萌發(fā)。而在理論的闡述過(guò)程中往往會(huì)出現(xiàn)思維的“斷層”或“倒置”，如猛然給出一個(gè)定義或一個(gè)構(gòu)造，然后推出所需的結(jié)果來(lái)，從書(shū)面表達(dá)上說(shuō)，這是為了簡(jiǎn)練；但在學(xué)生學(xué)會(huì)這種跳躍式思維之前，我們必須做一些鋪墊，或者把思考過(guò)程顛倒過(guò)來(lái)。[3]這就是說(shuō)，我們經(jīng)常跑到“后臺(tái)”去，看看那些跌宕起伏的情節(jié)是怎么排演出來(lái)的，這種在“后臺(tái)”里講的臺(tái)詞也許不嚴(yán)謹(jǐn)、不完整、不成熟，但有啟發(fā)作用。

2.3尋找恰當(dāng)?shù)闹庇^解釋和形象啟示

對(duì)具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)理論的理解，應(yīng)該通過(guò)直觀的例子、生動(dòng)的聯(lián)想和具有啟發(fā)的類(lèi)比，使之過(guò)渡到形象思維的境界，達(dá)到一種體味和感受的效果。[4]在這一點(diǎn)上，常常借助于幾何直觀與物理模型的描述，有時(shí)還借鑒各種自然和社會(huì)的現(xiàn)象，設(shè)法給學(xué)生一個(gè)易于接受的整體印象。有時(shí)對(duì)一個(gè)艱澀的定義進(jìn)行連篇累牘的注釋?zhuān)蝗缫粋€(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔鞲芮兄幸?；有時(shí)一個(gè)定理的周密證明不如一個(gè)具體的例子更能揭示其實(shí)質(zhì)。在這個(gè)意義上，有人說(shuō)：“例子比定理更重要”。例如，在微積分中，“極限”“導(dǎo)數(shù)”“積分”等，都是一些抽象的概念，我們?cè)诮o出它們的正式定義之前，一定是從它們的幾何意義和物理意義的介紹入手，通過(guò)實(shí)際的例子引出導(dǎo)數(shù)的極限定義。當(dāng)然，形象的理解最終仍復(fù)歸于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摚皇亲鳛楦喂痰恼莆绽碚摰倪^(guò)程。按照慣用的三段模式，我們的教學(xué)過(guò)程應(yīng)該是“抽象—直觀—抽象”或“邏輯—形象—邏輯。從書(shū)本的抽象表述出發(fā)，經(jīng)過(guò)講解達(dá)到形象的理解；再?gòu)男蜗蟮睦斫馍仙秊楦顚哟蔚倪壿嬎季S成果。這后一轉(zhuǎn)化往往體現(xiàn)在解決問(wèn)題（做習(xí)題、做研究）的進(jìn)程中———從理解、想象、設(shè)想、猜測(cè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)清洗、提煉、升華，到達(dá)邏輯的實(shí)現(xiàn)，這就是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性過(guò)程。所謂培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，就是要培養(yǎng)這種轉(zhuǎn)化的能力。

2.4將數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生生活結(jié)合在一起

數(shù)學(xué)知識(shí)本身便來(lái)源于生活，生活化教學(xué)能夠?qū)⒊橄髲?fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更加直觀和形象的理解，這對(duì)學(xué)生邏輯思維能力和形象思維能力的養(yǎng)成非常重要。[5]這便要求教師在教學(xué)時(shí)必須重視生活化教學(xué)方式的運(yùn)用，將生活化方式合理地運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中，給學(xué)生營(yíng)造一個(gè)良好的生活教學(xué)情境，幫助學(xué)生更好地理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。

2.5兩種思維方式的有機(jī)結(jié)合

邏輯思維方式和形象思維方式在人們的思想中是相輔相成的，二者缺一不可。忽視數(shù)學(xué)的邏輯表現(xiàn)形式，稀里糊涂、漏洞百出，這不叫數(shù)學(xué)。而只強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，輕視其比比劃劃、拼拼湊湊、憑直覺(jué)印象進(jìn)行綜合推理的醞釀構(gòu)思過(guò)程，這也是片面的。邏輯的方法與非邏輯的方法應(yīng)該有機(jī)結(jié)合，從它們之間的相互轉(zhuǎn)化中不斷提高數(shù)學(xué)能力。[6]抽象的理論經(jīng)過(guò)消化理解之后，將會(huì)變成更高層次的直觀；而這又將成為消化理解更深層次理論的依據(jù)。邏輯思維能力的提高，將促進(jìn)直覺(jué)判斷和機(jī)敏思維的發(fā)展；而這又將為創(chuàng)造更深刻的邏輯思維成果鋪平道路。一個(gè)數(shù)學(xué)工作者的成長(zhǎng)，是與這兩種能力的交互發(fā)展分不開(kāi)的。在文學(xué)藝術(shù)領(lǐng)域，有些人認(rèn)為邏輯思維會(huì)使文學(xué)藝術(shù)“索然敗興”，而在數(shù)學(xué)中的一些流派也同樣排斥形象思維。實(shí)際上，邏輯思維使人思想更嚴(yán)密、更有條理；形象思維使人思想更開(kāi)闊、更豐富。只有把兩種思維方式有機(jī)結(jié)合，才能取長(zhǎng)補(bǔ)短、相互促進(jìn)，達(dá)到更高的境界。

參考文獻(xiàn)

[1]波利亞.數(shù)學(xué)與猜想：數(shù)學(xué)中的歸納和類(lèi)比(第一卷)[M].北京:科學(xué)出版社,2020.

[2]徐利治.數(shù)學(xué)方法論[M].遼寧:大連理工大學(xué)出版社,2018.

[3]波利亞.怎樣解題:數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海:上海科技教育出版社,2011.

[4]張順燕.數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用[M].3版.北京:北京大學(xué)出版社,2009.

[5]米山國(guó)藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2019.

[6]張世斌.數(shù)學(xué)建模的思想和方法[M].上海:上海交通大學(xué)出版社,2015.

作者：林浩 單位：河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院