導語：如何才能寫好一篇數(shù)學中的反證法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

何 昊

（江蘇省南京市第十三中學鎖金分校）

摘 要：系統(tǒng)地介紹了理論基礎(chǔ)，對反證法的邏輯形式，唯一的負命題，命題，肯定命題三用反證法適用的命題類型進行了詳細討論。

關(guān)鍵詞：反證法；否定性；唯一性

在數(shù)學的諸多方法中，反證法是一種重要的證明方法，尤其在數(shù)學證明中，它是一種間接的證據(jù)，被稱為“一個最先進的武器”的數(shù)學家.反證法經(jīng)常被用來證明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命題.用反證法證明命題成立的基本步驟可以簡單地概括為“否定―推理―反駁―肯定”四個步驟.一個數(shù)學問題的解決方案，如果你覺得不足或沒有啟動的“條件”，不妨考慮反證法的使用.反證法的應用范圍很廣，比如代數(shù)、數(shù)論、幾何、組合等方面的應用.

一、反證法的概念及類型

反謂反證法，就是在要證明“若A則B”時，可以先將結(jié)論B予以否定，記作，然后從A與出發(fā)，經(jīng)正確的邏輯推理而得到矛盾，從而原命題得證.

反證法大致可分為以下兩種類型：

歸謬法：論題結(jié)論的反面只有一種情況，只要把這種情況就達到了目的.

窮舉法：論題結(jié)論的反面不止一種情況，要一一駁倒，最后才能肯定原命題結(jié)論正確.

二、反證法常用于以下幾種命題的證明

1.存在性命題

例1：證明A，B，C，D，E五數(shù)之和等于5，則其中必有一個不小于1.

分析：這個問題似乎很簡單，但直接的證明是不容易的.因此，應用反證法，它可以很容易地證明.

證明：假設(shè)A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+E

所以5個數(shù)都小于1不成立，故必有一個數(shù)不小于1，即原命題是正確的.

2.否定性命題

例2：設(shè)平面上有六個圓，每個圓的圓心都在其余各圓的外部.試證明：平面上任一點都不會同時在這六個圓的內(nèi)部.

分析：直接證明某點在哪些圓的內(nèi)部，在哪些圓的外部，有些困難，故最好用反證法來證明.

證明：假設(shè)平面內(nèi)有一點M同時在這六個圓的內(nèi)部，為了方便，我們把繞M的六個圓心從某個開始按順時針方向分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，連結(jié)MA，MB，MC，MD，ME，MF.

考慮AMB，M在A內(nèi)，B在A外，所以有AB>AM，同理，AB>BM，即在AMB中，AB大于其他兩邊.

由“大邊對大角”知，∠AMB>∠ABM.同理，∠AMB>∠BAM.

所以，3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，

所以∠AMB>60°.

同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.

所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.

但是，很顯然，這個角圍成了一個周角，它們的和不可能大于360°，出現(xiàn)矛盾.

故而假設(shè)不正確，所以原命題成立.

3.唯一性命題

例3：求證方程x=sinx+a（a為常數(shù)）的解唯一.

分析：直接解或證明是非常困難的，作為唯一的命題往往采用反證法證明.

所以原方程的解是唯一的.

從上面的例子中，我們可以看到，最大的優(yōu)勢是反證法――超過一個或幾個條件，從相反的結(jié)論來看，與一些已知的條件下，原出口的沖突，從而達到負的假設(shè)、肯定原命題的目的.從上面，我們應該充分利用反證法，必須正確把握靈活運用“反設(shè)”“歸謬”這兩個反證步驟.反設(shè)是反證法的第一步，能否正確否定結(jié)論，對論證的正確性有著直接的影響.

反證法是很巧妙的，它的應用是很廣泛的，但究竟怎樣的命題證明才適于用反證法，卻很難回答，這是一個經(jīng)驗問題.

參考文獻：

[1]李建泉.中等數(shù)學[M].中國學術(shù)電子出版社，2004.

[2]劉廣云.數(shù)學分析選講[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，1993.

[3]張順燕.數(shù)學的思想、方法和應用[M].北京：北京大學出版社，2003.

篇2

法國數(shù)學家阿達瑪對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導致矛盾”.具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明.

反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”.反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假.再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真.所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的.

反證法的證題模式可以簡要的概括為“否定推理否定”.即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”.應用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 推導出矛盾 結(jié)論成立.實施的具體步驟是：

第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；

第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；

第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立.

在應用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進行推理，否則就不是反證法.用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”.

在數(shù)學解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯.具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進行反面思考，問題可能會迎刃而解.

例1直線 ∥b，b∥c，那么直線 與c平行嗎？為什么？

學生通過自學之后再小組討論，很容易應用反證法想到：若直線 與c不平行，則與平行公理矛盾，從而得到結(jié)論.

例2 證明2為無理數(shù).

假設(shè)2為有理數(shù)，那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)p、q，使得：2=pq，于是p=2q.

兩邊平方得p2=2q2.

由2q2是偶數(shù)，可得p2是偶數(shù).而只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù).

因此，可設(shè)p=2s，代入上式，得：4s2=2q2.即：q2=2s2.

所以q也是偶數(shù).這樣，p、q都是偶數(shù)，不互質(zhì)，這與假設(shè)p、q互質(zhì)矛盾.

這個矛盾說明，根號2不能寫成分數(shù)的形式，即2不是有理數(shù).

歸謬是反證法的關(guān)鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木.推理必須嚴謹.導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾.

圖1例3 如圖1，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點.求證：AC與平面SOB不垂直.

分析：結(jié)論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設(shè)“垂直”后再導出矛盾后，再肯定“不垂直”.

證明：假設(shè)AC平面SOB，因為 直線SO在平面SOB內(nèi)， 所以 ACSO，因為 SO底面圓O， 所以 SOAB，所以 SO平面SAB， 所以平面SAB∥底面圓O，這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立.即AC與平面SOB不垂直.

注：否定性的問題常用反證法.例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導出矛盾.

例4已知三個方程x2+4ax-4a+3=0

x2+（a-1）x+a2=0，

x2+2ax-2a=0.

至少有一個方程有實根，使求實數(shù)a的取值范圍.

分析： 三個方程至少有一個方程有實根的反面情況僅有一種：三個方程均沒有實根.先求出反面情況時 的范圍，再所得范圍的補集就是正面情況的答案.

解： 設(shè)三個方程均無實根，則有：

Δ1=16a2-4（-4a+3）

Δ2=（a-1）2-4a2

Δ2=4a2-4（-2a）

解得-32

a13

-2

即-32

所以，當a≥-1或a≤-32時，三個方程至少有一個方程有實根.

注：“至少”、“至多”問題經(jīng)常從反面考慮，有可能使情況變得簡單.本題還用到了“判別式法”、“補集法”（全集R），也可以從正面直接求解，即分別求出三個方程有實根時（≥0） 的取值范圍，再將三個范圍并起來，即求集合的并集.兩種解法，要求對不等式解集的交、并、補概念和運算理解透徹.

例5 給定實數(shù)a， a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y=x-1ax-1 （其中x∈R且x≠1a），證明：①.經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點的直線不平行于x軸； ②.這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖象.

分析：“不平行”的否定是“平行”，假設(shè)“平行”后得出矛盾從而假設(shè).

證明： ① 設(shè)M （x ，y ）、M （x ，y ）是函數(shù)圖象上任意兩個不同的點，則x1≠x2，

假設(shè)直線M1M2平行于x軸，則必有y1=y2，

即x1-1ax1-1=x2-1ax2-1，

整理得a（x1-x2）=x1-x2.

因為x1≠x2，所以a=1， 這與已知“a≠1”矛盾，

因此，假設(shè)不對，即直線M1M2不平行于x軸.

② 由y=x-1ax-1得axy-y=x-1，即（ay-1）x=y-1，所以x=y-1ay-1，

即原函數(shù)y=x-1ax-1的反函數(shù)為y=x-1ax-1，圖象一致.

由互為反函數(shù)的兩個圖象關(guān)于直線y=x對稱可以得到，函數(shù)y=x-1ax-1的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖象.

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關(guān)鍵詞：錯題整理；反饋矯正；教學策略

一、問題的提出

高中學生數(shù)學學習已經(jīng)一年了，但學生對高中數(shù)學學習有很大的困惑。有學生跟我說：“老師，我自認為我的數(shù)學基礎(chǔ)不錯，為什么有些問題平時上課錯了，后來我自認為弄懂了，可在單元測試中又錯了，而期末考試考到本題，我還是失分了。這是怎么回事呢？這樣，一錯再錯，我真得對自己沒信心了?！币灿袑W生說：“我數(shù)學怎么考不了高分呢？每次總會在某些地方出錯?！蔽艺J為，我們的學生在數(shù)學錯題整理中存在問題：（1）由于長期受應試教育的影響，學校以及教師缺乏明確的較為系統(tǒng)的錯題整理教學策略，我們高中生普遍重視錯題，但并沒有很好地處理錯題，相對缺乏明確的錯題整理意識；（2）有些學生可能比較積極地面對自己的錯誤，較少感受到因犯錯誤而被他人貶低的心理壓力，在錯題整理態(tài)度和觀念上必定高于普通生；（3）有些學生基于個人經(jīng)驗積累了一些錯題整理經(jīng)驗，在錯題整理行為與策略上必定強于一般學生。可見，構(gòu)建高中學生數(shù)學“錯題整理―反饋矯正”的教學策略和方法顯得尤為重要。

二、教學策略和方法的實施

1.學生方面：（1）避免錯題發(fā)生的預防。培養(yǎng)學生在每一次作業(yè)或練習時，能主動地進行檢查和檢驗，以降低錯題出現(xiàn)的概率。操作上，從課堂練習進行訓練。（2）形成“錯題整理―反饋矯正”的氛圍。在班級中營造解決錯題的氛圍，讓學生共同關(guān)注錯題，激發(fā)反思錯題的熱情。定期從學生的“錯題集”中選出有代表性的錯題，讓學生在課堂上進行剖析，充分暴露解題思路，討論錯誤原因。在學生常犯錯誤的關(guān)鍵之處，經(jīng)常適時地引導學生去反思、回顧。（3）養(yǎng)成“錯題整理―反饋矯正”的習慣。努力幫助每個學生逐步養(yǎng)成獨立反思的良好習慣。擬采取以下方法：①有錯必糾，②堅持訓練。（4）善于錯題成因的分析。學生對練習、檢測中的錯題，缺乏獨立分析的能力，因此，教師必須教給他們錯題分析的方法。①反饋矯正題目要求。②反饋矯正解題過程。③反饋矯正生活實際。④反饋矯正書寫及筆誤。（5）勤寫日記，課后反思。引導學生隨時寫反思日記，讓學生在反思日記中逐漸成長，成為一個自律的學習者。

2.教師方面：（1）及時建立學生錯題檔案。教師在改作業(yè)的過程中及時建立學生錯題集，幫助教師積累教學過程，對學生產(chǎn)生錯題的原因做到胸有成竹。（2）相互交流。學生是有差異的個體，加上基礎(chǔ)不同，每位學生所犯的錯誤也有差異，通過交流錯題本，學生可以從別人的錯誤中吸取教訓，揚長避短，以此警示自己不犯同類錯誤，達到更深刻地理解所學知識的目的。（3）加強教學中的預防。教師結(jié)合課堂教學，借助錯題集及學生的錯題反饋矯正，課內(nèi)安排更多的相關(guān)的錯題的矯正訓練，進行一些課堂內(nèi)的辨析訓練、改錯訓練，以幫助學生培養(yǎng)自我反思的本領(lǐng)。（4）采用多種方法反饋矯正。關(guān)注各個層次的學生，對于學習一般的學生，就采用“一看、二想、三算、四查”的方法進行反饋矯正。定期從學生的“錯題集”中選出有代表性的錯題，讓學生在課堂上進行剖析，充分暴露解題思路，討論錯誤原因。

三、修正方案

根據(jù)以上幾點，對實施方案加以完善。

1.加強個別指導。教師結(jié)合學生自身的特點，引導學生尋找最佳的學習方法，學生才能更有信心學好數(shù)學。教師應當指導學生增強數(shù)學意識。數(shù)學意識是指學生在面對數(shù)學問題時該做什么及怎么做，我們應該加強數(shù)學意識教學，指導學生以意識帶動雙基，對易分化的地方采取多次反復，加強輔導，開辟專題講座，指導閱讀參考書等方法，將出現(xiàn)的錯誤提出來讓學生議一議，充分展示他們的思維過程，通過變式練習，達到靈活掌握、運用知識的目的。

2.常改變練習的形式，如：（1）例題變式訓練，讓學生學會觀察歸納。（2）讓學生上臺當小老師，進行錯解剖析，培養(yǎng)批判性思維。（3）讓學生根據(jù)要求進行命題，相互考察，讓學生在興趣中學習。適時組織和指導學生歸納知識和技能的一般規(guī)律，有助于學生更好地學習、記憶和應用。

3.數(shù)學學科擔負著培養(yǎng)學生運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力以及運用所學知識分析問題、解決問題能力的重任。它的特點是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高。而且學生的認知水平具有差異性，所以應將學生分為三個層次，布置不同的任務。

A層次（學習基礎(chǔ)較差的同學）要求：會審題。

B層次（學習中等的同學）要求：會建模、會轉(zhuǎn)化。

C層次（學習較好的同學）要求：會歸類、會反思、會編題。

綜上所述，在高中數(shù)學教學中，要結(jié)合學生的個性學習心理品質(zhì)的發(fā)展，利用學生身邊最常見的錯誤――錯題，進行分析和整理，找出個體錯誤多發(fā)帶，結(jié)合對個性心理品質(zhì)的分析，學生自我反饋矯正策略，開展具有針對性的訓練，以改善學生個性學習心理品質(zhì)，提高學生在學習過程中的自我反饋矯正能力，形成良好的學習自我調(diào)整系統(tǒng)，促進學生學習能力充分發(fā)展，以真正達到“減負增效”的目的。

參考文獻：

[1]羅增儒.數(shù)學解題的錯例分析[J].中學數(shù)學教學參考：中旬，2009（07）.

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關(guān)鍵詞：中職數(shù)學；解題方法

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】C

【文章編號】1671-8437(2012)01-0022-01

數(shù)學的解題方法是隨著對數(shù)學對象的研究的深入而發(fā)展起來的。教師鉆研習題、精通解題方法，可以促進教師進一步熟練地掌握中學數(shù)學教材，練好解題的基本功，提高解題技巧，積累教學資料，提高業(yè)務水平和教學能力。

下面介紹的幾種解題方法，都是中學數(shù)學中最常用的，有些方法也是中學教學大綱要求掌握的。

1、配方法：所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪和的形式。通過配方解決數(shù)學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用非常廣泛。在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都會經(jīng)常用到它。

2、因式分解法：因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學的一個有力工具、一種數(shù)學方法在代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等的解題過程中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除了中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項、添項、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。

3、換元法：換元法是數(shù)學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數(shù)學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題變得容易解決。

4、判別式法與韋達定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b、c∈R，a≠0)根的判別式=b2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至解析幾何、三角函數(shù)的運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個根的和與積，求這兩個根等簡單應用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等方面，都有非常廣泛的應用。

5、待定系數(shù)法：在解數(shù)學問題時，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式。最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學問題。這種解題方法稱為待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是中學數(shù)學中常用的重要方法之一。

6、構(gòu)造法：在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學方法，我們稱為構(gòu)造法。運用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學知識互相滲透，有利于問題的解決。

7、反證法：反證法是一種間接證明方法，首先要提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達到論證原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。

反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是／不是；存在／不存在；平行于／不平行于；垂直于／不垂直于；等于／不等于；大(小)于／不大(小)于；都是／不都是；至少有一個／一個也沒有；至少有n個／至多有(n－1)個：至多有一個／至少有兩個；唯一／至少有兩個。

歸謬是反證法的關(guān)鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)條件出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)條件矛盾；自相矛盾。

8、等(面或體)積法：平面(立體)幾何中講的面積(體積)公式以及由面積(體積)公式推出的與面積(體積)計算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計算面積(體積)，而且用它來證明(計算)幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積(體積)關(guān)系來證明或計算幾何題的方法，稱為等(面或體)積法，它是幾何中的一種常用方法。

用歸納法或分析法證明幾何題，其困難在添置輔助線。等(面或體)積法的特點是將已知和未知各量用面積(體積)公式聯(lián)系起來，通過運算達到求證的結(jié)果。所以用等(面或體)積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計算，有時可以不添置補助線。即使需要添置輔助線，也很容易想到。

9、幾何變換法：在數(shù)學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題從而簡單的得以解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數(shù)學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數(shù)學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結(jié)合起來，有利于對圖形本質(zhì)的認識。

10、客觀性題的解題方法：選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎(chǔ)知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識的覆蓋面。填空題是標準化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識覆蓋面廣，評卷準確迅速，有利于考查學生的分析判斷能力和計算能力等優(yōu)點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生有猜估答案的情況發(fā)生。下面通過實例介紹常用方法。

(1)直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接推演法。

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所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學問題的方法叫配方法。其 中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求 函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學的一個有力工具、一種數(shù)學方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題 中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、 待定系數(shù)等等。

3、換元法

換元法是數(shù)學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數(shù)學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c屬于R，a≠0)根的判別，=b2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根;已知兩個數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)等簡單應用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

5、待定系數(shù)法

在解數(shù)學問題時，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學數(shù)學中常用的方法之一。

6、構(gòu)造法

在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題 等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學方法，我們稱為構(gòu)造法。運用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學知識互 相滲透，有利于問題的解決。 　7、反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達到肯定原命 題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為： (1)反設(shè);(2)歸謬;(3)結(jié)論。

反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于 /不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一個/一個也沒有;至少有n個/至多有(n一1)個;至多有一個/至少有兩 個;唯一/至少有兩個。

歸謬是反證法的關(guān)鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設(shè)矛盾;自相矛盾。

8、面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關(guān)系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。

用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運算達到求證的結(jié)果。所以用面積法來 解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

9、幾何變換法

在數(shù)學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中 學數(shù)學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到 中學數(shù)學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結(jié)合起來，有利于對圖形本質(zhì)的認識。

幾何變換包括：(1)平移;(2)旋轉(zhuǎn);(3)對稱。

10、客觀性題的解題方法

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關(guān)鍵詞：比較法；分析法；綜合法；反證法；放縮法；數(shù)學歸納法；換元法；基本不等式；導數(shù)法

不等式是中學數(shù)學教學中的重點與難點，因此在歷年高考復習中頗令師生們?yōu)橹^疼。由于不等式的形式各異，證明沒有固定的模式模仿，并且技巧多樣，方法靈活多變，因此熟練掌握不等式的證明是中學數(shù)學教學的重難點之一。這里精選了九種不同方法對不等式證明進行了詳細講解和研究。

一、比較法

二、分析法

分析法的思路是逆向思維，用分析法證明必須從結(jié)論出發(fā)，倒著分析，尋找結(jié)論成立的充要條件。應用分析法證明問題時要嚴格按照分析法的語言表達，下一步是上一步的充要條件。

需要注意的是：運用分析法時，當已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的不等式，常考慮用分析法。

三、綜合法

從已知或證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導出欲證的不等式，這種證明方法叫做綜合法。

四、反證法

從命題否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的，這種證明方法叫做反正法。用反證法證明不等式時，必須將命題結(jié)論的反面的各種情形一一推出矛盾。

反證法證明一個命題的思路及步驟：

（1）假定命題的結(jié)論不成立。（2）從假設(shè)出發(fā)進行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾。（3）由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以肯定原來的假設(shè)“結(jié)論不成立”是錯誤的。（4）肯定原來命題的結(jié)論是正確的。

如果待證命題是否定性命題或唯一性命題或以“至多”“至少”等方式給出，一般要考慮用反證法。

五、放縮法

放縮法就是在證明過程中，利用不等式的傳遞性，作適當?shù)姆糯蠡蚩s小，證明比原不等式更好的不等式來代替原不等式的證明。放縮法的目的性強，必須恰到好處，同時在放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。否則不能達到目的。

在證明過程中，適當?shù)剡M行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點，掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。

六、數(shù)學歸納法

當遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明，應用其他辦法不容易證時，可以考慮采用數(shù)學歸納法。

用數(shù)學歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立，推證n=k+1時也成立，證明時用上歸納假設(shè)后，可以采用分析法、比較法、綜合法、放縮法等證明。

七、換元法

所謂“換元法”，就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當?shù)淖兞看鷵Q，從而化繁為簡，或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化，以便證題。其換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。

八、基本不等式

創(chuàng)造基本不等式的條件，護理拆分項或配湊項是常用技巧，其中拆與湊的目的在于滿足基本不等式條件，通常是考慮分母的代數(shù)式，考慮將整式拆分與配湊成與分母有關(guān)的式子與常數(shù)的和。

九、導數(shù)法

利用導數(shù)法證明不等式f（x）>g（x）在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h（x）>0，其中一個重要技巧就是找到函數(shù)h（x）什么時候可以等于0，這往往就是解決問題的一個突破口。

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關(guān)鍵詞: 數(shù)學教學 學生逆向思維 能力培養(yǎng)

逆向思維蘊育著創(chuàng)造思維的萌芽,作為思維的一種形式,它是創(chuàng)造性人才必備的素質(zhì) ,同時也是人們學習和生活過程中必備的一種思維品質(zhì)。在數(shù)學教學中充分認識逆向思維的作用,結(jié)合教材內(nèi)容,注重學生的逆向思維能力的訓練,不僅能進一步完善學生的知識結(jié)構(gòu),開闊思路,更好地實現(xiàn)教學目標,而且能達到激發(fā)學生的創(chuàng)造精神,提升學生的學習能力的目的。

一、激發(fā)學生思維的興趣

外因是變化的條件,內(nèi)因是變化的根據(jù)。興趣是最好的老師,因此在數(shù)學教學中教師應想方設(shè)法激發(fā)學生思維的興趣,增強學生逆向思維的積極性。

(一)真正確立學生在教學中的主體地位,使學生成為主宰學習的主人,學習活動的主動參與者,探索者和研究者。

在教師的教學和學生的學習活動過程中,教師只能是引路人和啟蒙者,只有學生真正理解和掌握了知識,課堂教學才能算真正成功。所以說在整個教學過程中,一切活動都應該以學生的思維活動來展開,也就是說學生才是課堂活動真正的主人。在課堂教學活動中,教師和學生只有真正擺正了各自的位置,教學活動才真正有效。在數(shù)學教學過程中,很容易出現(xiàn)教師在講,學生只是跟著教師的思維在走的局面,這樣學生的思維很難得到充分的鍛煉。教師應該創(chuàng)設(shè)問題的情景,引導學生自己思維,讓學生真正自己解決問題。

(二)實例引路。

教師要有意識地剖析,演示一些應用逆向思維的經(jīng)典例題,用他們說明逆向思維在數(shù)學中的巨大作用和他們所體現(xiàn)出來的數(shù)學美;另外可列舉實際生活中的一些經(jīng)典事例,說明逆向思維的重要性,從而逐漸激發(fā)學生思維的興趣,增強學生思維的主動性和積極性。例如講高等數(shù)學中的不定積分和原函數(shù),就可以和導數(shù)聯(lián)系在一起;講概率論中的分布函數(shù),就可以和概率密度函數(shù)聯(lián)系在一起。數(shù)學中有許許多多這樣的例子,教師在教學活動中一定要充分地利用這樣的機會鍛煉學生的逆向思維。

(三)不斷提高自身的素質(zhì)。

教師淵博的知識和超凡的人格魅力也能在一定程度上激發(fā)學生的學習興趣和思維的積極性和主動性。師者,傳道授業(yè)解惑也。要傳授給學生知識,教師自己必須有廣博的知識,不僅在自己的專業(yè)方向上要深、精,而且要有非常廣泛的知識面。同時,要做一個合格的教師,還要有高尚的情操,要富于正義感,要有愛心,要有責任感和事業(yè)心,要有淡泊名利的胸懷。教師要不斷地加強自身的修養(yǎng),淵博的知識加上高尚的道德品質(zhì),才可能成為一名合格的教師。

二、幫助學生理順教材的邏輯順序。

由于種種原因,教材的邏輯順序與學生的心理順序可能或多或少的存在著矛盾,而這些矛盾勢必妨礙學生思維活動的正常進行。因此,教師在鉆研教材時必須找出這些矛盾并幫助學生加以理順,只有這樣,才能保證學生思維活動的展開。

(一)從定義的互逆明內(nèi)涵。

1.重視定義的再認與逆用,加深對定義內(nèi)涵的認識。許多數(shù)學問題實質(zhì)上是要求學生能對定義進行再認或逆用。在教學實踐中,有的學生能把書上的定義背得滾瓜爛熟,但當改變一下定義的敘述方式或通過一個具體的問題來表述時,他們就不知所措了。因此在教學中教師應加強這方面的訓練。逆用定義思考問題,往往能挖掘題中的隱蔽條件,使問題迎刃而解。

2.通過互逆定義把握定義間的聯(lián)系。指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù),函數(shù)與反函數(shù)等都是互逆的定義,互逆定義之間有著天然的聯(lián)系。在教學中教師要著重使學生理解怎樣從一個定義導出另一個與它互逆的定義,向?qū)W生灌輸轉(zhuǎn)化的思想,揭示定義間的相互聯(lián)系,當然也包括找出不同點。

(二)從公式的互逆找靈感。

1.公式的互逆記憶。數(shù)學公式是數(shù)學問題的精華之一,學習數(shù)學公式是鍛煉學生思維能力的一個好好的形式之一。許多的數(shù)學公式之間聯(lián)系都很緊密,很多數(shù)學問題是逆用公式的問題,要更好地解決這類問題,首先應該讓學生知道公式的互逆形式,學會公式的互逆記憶。只有先記住這些公式,才有可能來解決相關(guān)的實際問題。

2.逆用公式。這樣做往往可以使問題簡化,經(jīng)常性地注意這方面的訓練可以培養(yǎng)學生思維的靈活性,變通性,使學生養(yǎng)成善于逆向思維的習慣,提高靈活應用知識的能力。公式逆用是學生常感到困惑的一個問題,也是教學中的一個難點,教師必須強化這方面的訓練。

(三)從定理,性質(zhì),法則的互逆悟規(guī)律。

理工科中有許多可逆的定理、性質(zhì)和法則,恰當?shù)貞眠@些可逆的定理、性質(zhì)和法則,可以達到使學生將所學知識融會貫通的目的。

1.讓學生學會構(gòu)作已知命題的逆命題和否命題,掌握可逆定理,性質(zhì)和法則的互逆表述。交換原命題的條件和結(jié)論,所得的命題是逆命題;同時否定命題的條件和結(jié)論,所得命題是否命題。在教學中,教師要用一定的時間,適當?shù)丶訌妼W生這方面的訓練,打好基礎(chǔ)。

2.掌握四種命題之間的關(guān)系。互逆命題和互否命題都不是等價命題,而互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。學生搞清四種命題之間的關(guān)系,不僅能掌握可逆的互逆定理、性質(zhì)、法則,而且能增強思維的嚴謹性和靈活性,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力,這也是科學發(fā)現(xiàn)的途徑之一。

3.掌握反證法及其思想。反證法是一種間接證法,它是通過證明一個命題的逆否命題來證明原命題正確的一種方法,是應用逆向思維的一個范例。一些問題應用反證法后就顯得非常簡單,還有一些問題只能用反證法來解決,反證法是學生必須掌握的一種方法。

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少數(shù)民族地區(qū)的初中數(shù)學教學具有其自身的特點，因此，在教學中，如何滲透數(shù)學思想和數(shù)學方法是教學的重點，以下幾點方法值得參考：

一、了解《數(shù)學新課標》要求，把握教學方法

1.從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”。關(guān)于初中數(shù)學中的數(shù)學思想和方法內(nèi)涵與外延，目前尚無公認的定義。其實，在初中數(shù)學中，許多數(shù)學思想和方法是一致的，它既相輔相成，又相互蘊含。只是方法較具體，是實施有關(guān)思想的技術(shù)手段，而思想是屬于數(shù)學觀念一類的東西，比較抽象。因此，在少數(shù)民族初中數(shù)學教學中，加強學生對數(shù)學方法的理解和應用，以達到對數(shù)學思想的了解，使數(shù)學思想與方法得到交融的有效方法，比如圖像法、配方法等。在數(shù)學教學中，通過對具體數(shù)學方法的學習，使學生逐步領(lǐng)略內(nèi)含于方法的數(shù)學思想；同時，數(shù)學思想的指導，又深化了數(shù)學方法的運用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯(lián)璧合，將創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神寓于教學之中，教學才能卓有成效。

2.新課標要求，滲透“層次”教學?！稊?shù)學新課標》對初中數(shù)學中滲透的數(shù)學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”。在教學中，要求學生“了解”數(shù)學思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等。

少數(shù)民族教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領(lǐng)悟到這些數(shù)學思想的應用，而且要激發(fā)學生學習數(shù)學思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題。在《數(shù)學新課標》中要求“了解”的方法有：分類法、類比法、反證法等。要求“理解”的或“會應用”的方法有：待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、圖像法等。在教學中，要認真把握好“了解”、“理解”、“會應用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，不然的話，學生初次接觸就會感到數(shù)學思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導致他們失去信心。如初中數(shù)學三年級上冊中明確提出“反證法”的教學思想，且揭示了運用“反證法”的一般步驟，但《數(shù)學新課標》只是把“反證法”定位在通過實例，“體會”反證法的含義的層次上，我們在教學中，應牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意加深。

二、遵循認識規(guī)律，把握教學原則，實施創(chuàng)新教育

1、以數(shù)學知識為載體，將數(shù)學思想方法有機地滲透入教學計劃之中

教學計劃的制訂應體現(xiàn)數(shù)學思想方法教學的綜合考慮，要明確每一階段的載體內(nèi)容、教學目標、展開步驟、教學程序和操作要點。數(shù)學思想方法往往借助現(xiàn)實原型使其得以生動地表現(xiàn)，有利于對其深入理解和把握，在教學中要引導學生對所討論的對象進行合理分類，然后逐類討論，最后歸納總結(jié)。教師要幫助學生掌握好分類的方法原則，形成分類思想。

數(shù)學思想方法的滲透應根據(jù)教學計劃有步驟地進行。一般在知識的概念形成階段導入概念型數(shù)學思想，如方程思想、相似思想等等。在知識的結(jié)論、公式、法則等規(guī)律的推導階段，要強調(diào)和灌輸思維方法，如解方程的如何消元降次、函數(shù)的數(shù)與形的轉(zhuǎn)化有哪些常用思路等。在知識的總結(jié)階段或新舊知識結(jié)合部分，要選配結(jié)構(gòu)型的數(shù)學思想，如函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化，分數(shù)討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化。

2、結(jié)合新課標，就初中數(shù)學教材進行數(shù)學思想方法的教學研究

要通過對教材完整的分析和研究，把握教材的體系和脈絡(luò)，統(tǒng)攬教材全局，然后，建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關(guān)系，歸納和揭示其特殊性質(zhì)和內(nèi)在的一般規(guī)律。如在“因式分解”這一章中，我們接觸到許多數(shù)學方法――提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法等。這是學習這一章知識的重點，只要我們學會了這些方法，按知識──方法──思想的順序提煉數(shù)學思想方法，就能運用它們?nèi)ソ鉀Q成千上萬分解多項式因式的問題。進一步確定數(shù)學知識與其思想方法之間的結(jié)合點，建立一整套豐富的教學范例或模型，最終形成一個活動的知識與思想互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)。毋用置疑，必須指導學生緊緊抓住掌握數(shù)學思想方法是這一數(shù)學鏈條中的最重要的一環(huán)。許多數(shù)學家和教育家歷來強調(diào)對中學生的數(shù)學思想教育，其目的就是要提高學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學素養(yǎng)。在初中數(shù)學教材中集中了大量的優(yōu)秀例題和習題，它們所體現(xiàn)的數(shù)學知識和數(shù)學方法固然重要，但其蘊涵的數(shù)學思想?yún)s更顯重要，作為一個執(zhí)教者，要善于挖掘例題、習題的潛在功能。

總之，在少數(shù)民族地區(qū)初中數(shù)學教學中滲透數(shù)學思想和數(shù)學方法，是一項系統(tǒng)工程，需要我們廣大少數(shù)民族地區(qū)的數(shù)學教育工作者對這一工程的滿腔熱情。

參考文獻：

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關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；方法；技巧

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）02-0151-02

DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.02.096

高中數(shù)學不同于其他科目，對求解的方法和技巧要求很高，教師常常會讓學生注重建立數(shù)學模型，緊緊抓住數(shù)學題中的重要條件，根據(jù)重要條件進行分析，讀懂問題，有目的地答題，而且答題思路清晰。

一、轉(zhuǎn)換法

轉(zhuǎn)換思想在解決數(shù)學問題中起著很重要的作用，轉(zhuǎn)化法能夠?qū)⒛吧膯栴}轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的問題。有的數(shù)學題目看似很難，無從下手，其實不然，或許經(jīng)過轉(zhuǎn)換法的使用，靈活轉(zhuǎn)變思路，問題就會迎刃而解。下面筆者來引入一道題對轉(zhuǎn)化方法的思想進行具體分析。

例題：若函數(shù)y=a^x-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是a>1

解題思路分析：首先對零點的概念要熟悉，零點就是當y=0時對應的x的值，轉(zhuǎn)化為圖像的思路解決問題就是函數(shù)y=a^X（a>0且a≠1）與函數(shù)y=x+a的圖像的交點所對應的橫坐標。畫圖可知，當01時，兩個函數(shù)圖像有兩個交點，符合題意，因此，答案為a>1。

二、分類討論法

分類討論法是解答數(shù)學問題的重要方法之一，分類討論方法可以培養(yǎng)學生考慮問題周到、全面的意識，能夠提高學生解決問題的能力。運用分類討論法一般有以下幾個步驟：

1.明確并確定對象。

2.正確擬定分類標準。

3.對分類標準逐一討論分析。

4.綜上所述，合并討論結(jié)果。

在對分析討論中，學生應該認真審題，擇優(yōu)討論，選擇操作簡單、省時的討論方法，避免操作復雜，錯誤率高的解題思路。

三、特殊代值法和圖像法的綜合使用

有的高中數(shù)學題目比較抽象復雜，陌生的概念讓學生抓耳撓腮，這時候就要引進特殊代值法，特殊代值法的使用是建立在基礎(chǔ)知識之上的，合理正確地利用特殊代值法可以使問題簡單化。同時，圖像法的使用，能夠使問題簡單明了化。特殊代值法和圖像法的綜合使用，大大降低了解題的難度，因此，我們必須重視對高中數(shù)學方法技巧的學習。以下就該類題型的解決方法進行具體分析：

例題：已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=f（x）恒不為零，同時滿足f（x+y）=f（x）?f（y），且當x>0時，f（X）>1，那么當x

①f（x）

解題思路：找關(guān)鍵條件，f（x+y）=f（x）?f（y），通過聯(lián)系以前學過的知識，發(fā)現(xiàn)該公式符合指數(shù)相乘的公式，于是引進2^X，畫出圖像，根據(jù)圖像得出當x0時，函數(shù)值大于o并且小于1。

四、構(gòu)造輔助函數(shù)的方法

解決高中數(shù)學難度較大的題目時，條件一般不夠，這就需要學生在解題的過程中引入輔助線。構(gòu)造輔助線法是以問題為目的進行構(gòu)造，在什么地方加入輔助線是解題過程的難點，這就需要學生對該類型題的構(gòu)造法進行規(guī)律總結(jié)。在對數(shù)學問題進行解答時，要選擇適合題目的輔助函數(shù)，常常會用到聯(lián)系分析、對比分析、綜合分析方法等。

五、反證法

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關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；教學課堂；數(shù)學文化

引言

高中數(shù)學進行的新課程改革中要求數(shù)學教師在教學課堂中較好的將數(shù)學文化融入到教學中，強調(diào)了數(shù)學文化的重要性。這種教學改革相對于很多的教師而言都是一種教學方式以及教學理念的挑戰(zhàn)，需要數(shù)學教師在實踐教學中多加研結(jié)教學經(jīng)驗，讓數(shù)學文化更好的融入到數(shù)學教學中。與此同時，學生也可以在這樣的新的教學方式中更好的認知數(shù)學文化以及培養(yǎng)數(shù)學感情[1]。

1.將數(shù)學文化融入到高中數(shù)學課堂教學中的重要意義

1.1數(shù)學文化的融入有助于提高學生學習數(shù)學的積極性

高中的數(shù)學知識中有有很多的抽象概念與公式，比較晦澀難懂，如果缺乏興趣的話會比較排斥數(shù)學知識，覺得數(shù)學這門學科特別的枯燥難懂。如果數(shù)學教師在教學中不能很好的引導學生明白數(shù)學文化意義或者把教學學習安排的比較有趣味性的話，學生很容易覺得數(shù)學課堂枯燥無味甚至害怕過著排斥數(shù)學課堂。其實這是由于很多的同學較難體會到數(shù)學學習的樂趣。數(shù)學教師在課堂上較好的融入數(shù)學文化，更可讓學生更加理解數(shù)學的文化與歷史，有文化作為課堂引入，可以比較容易激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，達到較好的課堂效果。

1.2數(shù)學文化的融入有助于提高學生的思維能力

在我國傳統(tǒng)的數(shù)學教學中很多的教師直接將概念或者公式告訴學生或者然學生背下來直接用來做題就可以了，只要會做題會拿分就可以。這樣的應試教育的理念下很多的學生都不知道這些著名的公式或者概念的由來，對于這樣的教學方式也比較排斥，有很多的學生在這樣的應試教育的環(huán)境下產(chǎn)生的排斥或者畏懼的心理，這樣的教學方式也不利于學生的思維能力的鍛煉與提高[2]。在教育改革中很強調(diào)對于學生的綜合素質(zhì)的培養(yǎng)與發(fā)展，思維能力就是綜合素質(zhì)能力的重要體現(xiàn)。在新的教學模式中，數(shù)學教師在課堂上要盡量將數(shù)學文化巧妙地融入到數(shù)學課堂中，這樣可以讓學生更好的理解數(shù)學知識的由來以及背景，較好的理解了數(shù)學知識可以提高學生的思維能力，在實踐運用中不斷培養(yǎng)和拓展其思維能力以及邏輯推理能力。真正理解了的知識在實際的運用中會變得更加靈活，化作數(shù)學的邏輯思維能力，對一個人的終身學習與發(fā)展都具有重要的影響和作用。

1.3數(shù)學文化的融入有助于向?qū)W生較好的展現(xiàn)數(shù)學的文化價值以及美學價值

數(shù)學是一門很有魅力的學科，具有美學價值以及文化價值，看得到數(shù)學的魅力的學生是很少的，如果發(fā)現(xiàn)或者看到了數(shù)學的魅力的人是很難放下或者割舍數(shù)學的。數(shù)學是富有魔力與魅力的，其中蘊藏的奧妙需要有心人以及真心喜歡數(shù)學的人才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美妙之處。因此在新的教學理念改革下，數(shù)學教師要注重對數(shù)學對數(shù)學文化的融入，這樣才有助于激發(fā)學生的學習興趣，讓更多的學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的魅力并且愛上數(shù)學，向更多的學生展現(xiàn)數(shù)學的文化價值以及美學價值。

1.4數(shù)學文化的融入有助于轉(zhuǎn)變學生學習數(shù)學的方式

對于數(shù)學文化這個新概念大家的認識還是比較粗淺的，在數(shù)學的課堂教學中很多的教師不注重數(shù)學文化的融入，因此很多的學生對于數(shù)學文化的認識很少。其實所謂的數(shù)學文化不僅僅是數(shù)學教材上的數(shù)學知識或者其他書本上的關(guān)于數(shù)學家的故事，還包括數(shù)學知識的由來以及演變經(jīng)過，在數(shù)學知識的探究中遇到的困難等。學生掌握一定的數(shù)學文化，就會比較自覺的投入數(shù)學知識的學習中，逐步開始積極探究與合作，理解數(shù)學知識，學會用數(shù)學知識來解決實際問題，提高知識的應用能力，真正地轉(zhuǎn)變學生學習數(shù)學的方式[3]。

2.在數(shù)學課堂上融入數(shù)學文化的途徑

2.1在概念教學中融入數(shù)學文化

在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，由于很多的數(shù)學概念很抽象，推理過程比較晦澀難懂，為了節(jié)省課堂教學時間或者教師自身也難以解釋清楚這些數(shù)學概念與公式。因此很多的高中數(shù)學課堂中數(shù)學教師不注重概念的學習以及數(shù)學文化的融入，只是簡單地讓學生識記下概念或者公式，然后通過典型的題型來加深學生對于公式或者概念的理解與應用。其實概念或者公式的學習對于學生對于數(shù)學知識的理解和應用及其重要，如果在數(shù)學課堂中教師注重數(shù)學文化的融入，激發(fā)學生的興趣與好奇心，將數(shù)學概念結(jié)合數(shù)學文化講清楚講透徹可以讓學生深刻的理解數(shù)學知識以及課堂教學內(nèi)容。

2.2在數(shù)學知識的生成或者演變過程中巧妙的融入數(shù)學文化

在數(shù)學知識的生成或者演變過程中巧妙的融入數(shù)學文化不僅可以讓學生加深對于知識的理解也可以使數(shù)學課堂變得更加聲情并茂，較為生動的數(shù)學課堂教學也可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，讓學生較好的了解數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展、演變、形成的過程，了解數(shù)學知識背后的的文化魅力與美學價值。

3.案例分析

教師可以先讓學生討論自己對于反證法的理解或者自己試著概括反正法的概念。

教師可以先向?qū)W生講牛頓為何認為反證法是數(shù)學家最為精當?shù)奈淦鞯墓适伦鳛檎n堂引入。

學生領(lǐng)會了反證法的文化以及牛頓數(shù)學家的故事后，教師再向?qū)W生講解反證法的概念。

反證法的數(shù)學應用：

例：假設(shè)A是n階的矩陣，α是n維列向量，若Aα≠0，但A2α=0。

證明：向量組α，Aα線性無關(guān).

證明：利用反證法證明.

假設(shè)向量組α，Aα線性具有相關(guān)性，因為Aα≠0，推出α≠0，則Aα

可以由α線性來表示，假設(shè)Aα=kα（k≠0，否則α=0），于是A2α=A

（Aα）=A（kα）=kAα=k2α≠0，這與條件中的A2α=0是相互矛盾的，所以向量組α與Aα的線性無關(guān)。

4.結(jié)束語

高中的教學課堂中數(shù)學教師在教授數(shù)學過程中要有意識地將數(shù)學的文化很好的融入到數(shù)學教學中，讓學生理解數(shù)學文化進而更加深刻的理解教學課堂中的新知識。學生對于數(shù)學文化有更好的了解之后可以深化對于數(shù)學知識的理解，數(shù)學教師也可以在課堂教學中取得更好的教學效果。

參考文獻

[1]初延波.新課改環(huán)境下高中數(shù)學教學中“數(shù)學文化”的滲透[J].中國科教創(chuàng)新導刊.2011（24）：150.